苏科版九年级数学上学期期中考点大串讲专题06正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积【考题猜想34题9种题型】(原卷版+解析)

06正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积（34题9种题型）一、正多边形与圆有关的计算（共7小题）1．（2022秋·江苏徐州·九年级统考期中）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（1）求图1中∠MON的度数（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____2．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．3．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．4．（2022秋·江苏徐州·九年级统考期中）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点、都在格点上，以为圆心，为半径做圆，只用无刻度的直尺完成以下画图．(1)在图①中画的一个内接正四边形，___________；(2)在图②中画的一个内接正六边形，__________．5．（2022秋·宁夏吴忠·九年级统考期末）如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距．6．（2022秋·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考期末）圆周率的故事我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率的值．（1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为_________，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式，可以估算_________．（2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计的值．7．（2023春·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．二、计算扇形的弧长（共3小题）8．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，是的直径，半径弦，垂足为点D，连．

(1)求证：；(2)若，，求的长．QUOTEQUOTE9．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．(1)求证：；(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．10．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，．(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______．(2)求弧ABC的长．三、求某点的弧形运动路径长度（共3小题）11．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O建立平面直角坐标系，若绕点O逆时针旋转后，得到（A和是对应点）

(1)画出；(2)点坐标为______，点坐标为______；(3)点A的运动路径长为______．12．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段AB绕原点O逆时针旋转到．(1)求点的坐标；(2)求点B运动的路径长．13．（2022秋·江苏·九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，且AO=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM(1)求∠OMP的度数；(2)随着点P在半圆上位置的改变，∠CMO的大小是否改变，说明理由；(3)当点P在半圆上从点B运动到点C时，直接写出内心M所经过的路径长．四、求扇形面积（共4小题）14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图1，是的弦，，P是优弧上的一个动点（不与点A和点B重合），组成了一个新图形（记为“图形”），设点P到直线的距离为x，图形的面积为y．(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)记扇形的面积为，当时．①在图2中，作出一个满足条件的点P；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）②在第①题所作图中，连接，再画一条线，将图形分成面积相等的两部分．（画图工具不限，写出必要的文字说明．）15．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田．（1）计算弧田的实际面积．（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7）16．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）如图，弓形是由和弦所围成的图形，弓形的高是的中点到的距离，点是所在圆的圆心，，弓形的高为．(1)求的半径；(2)经测量的度数约为，则弓形的面积为__________．17．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）已知：如图，AB为的直径，点C、D在上，且，，．(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．五、求图形旋转后扫过的面积（共3小题）18．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在小正方形的顶点上．将△ABC向下平移2个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1．(1)在网格中画出△A1B1C1和△A2B2C1；(2)计算线段A1C1在变换到A2C1的过程中扫过区域的面积．19．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．20．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．(1)建立如图所示的直角坐标系，请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写：①圆心的坐标：（_______，_______）；②的半径为_______．(2)将绕点逆时针旋转得到，画出图形，并求线段扫过的图形的面积．六、求不规则图形面积（共5小题）21．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．22．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．23．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，直线l经过⊙O上一点C，点A、B在直线l上，且OA＝OB，CA＝CB．(1)直线l与⊙O相切吗？请说明理由；(2)若OC＝AC，⊙l的半径为2，求图中阴影部分的面积．24．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°．(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．25．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图1，已知扇形纸片，，半径．(1)求扇形的面积及图中阴影部分的面积；(2)如图2，在扇形的内部，与，都相切，且与只有一个交点，此时我们称为扇形的内切圆，试求的面积；(3)如图3，在扇形纸片中，剪出一个扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的余料中，再剪出一个圆作为这个圆锥的底面，并使得这个圆锥的表面积最大，若能，请求出这个圆锥的表面积；若不能，请说明理由．七、求圆锥的侧面积（共3小题）26．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）实践操作如图，是直角三角形，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中表明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）（1）①作的平分线，交于点；②以为圆心，为半径作圆．综合运用在你所作的图中，（2）与⊙的位置关系是；（直接写出答案）（3）若，，求⊙的半径．（4）在（3）的条件下，求以为轴把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积．27．（2022秋·江苏苏州·九年级校联考期中）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角．(1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）28．（2021秋·江苏苏州·九年级统考期中）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为、圆心角是的扇形剪去一半径的同心圆扇形所围成的（不计接缝）（如图1）．（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留）；（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？（3）如图3，若在一张半径为的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面（不允许有拼接），最多能裁出多少个？八、求圆锥的底面半径（共3小题）29．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为(结果保留根号)，∠ADC的度数为；（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．(结果保留根号)．

30．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点．(1)求证：与相切；(2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？31．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）．(1)求这个扇形的半径；(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．九、圆锥侧面积的最短路径问题（共3小题）32．（2018秋·甘肃定西·九年级校联考期末）圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?33．（2021秋·云南玉溪·九年级校考期末）如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？34．（2011秋·广东汕头·九年级统考期末）如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？

06正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积（34题9种题型）一、正多边形与圆有关的计算（共7小题）1．（2022秋·江苏徐州·九年级统考期中）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（1）求图1中∠MON的度数（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得；（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．【详解】（1）如图，连接OB、OC，则，是内接正三角形，中心角，∵点O是内接正三角形ABC的内心，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）如图1，连接OB、OC，四边形ABCD是内接正方形，中心角，同（1）的方法可证：；如图2，连接OB、OC，五边形ABCDE是内接正五边形，中心角，同（1）的方法可证：，故答案为：，；（3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是，的度数与正方形边数的关系是，的度数与正五边形边数的关系是，归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键．2．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论．【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，∵OE=OD，∠EOD=，∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，点E的坐标为（1，），又由题意知点D的坐标为（2，0），由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质．3．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，∵⊙O的面积＝πr2，∴．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．4．（2022秋·江苏徐州·九年级统考期中）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点、都在格点上，以为圆心，为半径做圆，只用无刻度的直尺完成以下画图．(1)在图①中画的一个内接正四边形，___________；(2)在图②中画的一个内接正六边形，__________．【答案】(1)图见解析，32(2)图见解析，【分析】（1）只需要作直径、，并使得即可；（2）如图所示，取格点B，C，D，E，F，然后顺次连接A、B、C、D、E、F得到正六边形，再求出求面积．【详解】（1）解：如图所示，正四边形即为所求；，故答案为32；（2）解：如图所示，正六边形即为所求；过点O作于H，∵正六边形，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知正多边形和圆的相关知识是解题的关键．5．（2022秋·宁夏吴忠·九年级统考期末）如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距．【答案】正方形ABCD的边长为，边心距为．【分析】过点O作，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出，然后在中，根据勾股定理求出即可．【详解】解：过点O作，垂足为E，∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形，，，．在中，，由勾股定理可得，，，，即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于．6．（2022秋·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考期末）圆周率的故事我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率的值．（1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为_________，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式，可以估算_________．（2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计的值．【答案】（1），；（2）3【分析】（1）由正方形的边长AB=a，用勾股定理得求AC=，由直径等于正方形对角线长可得，由正方形的周长4a等于它的外接圆周长，可求得即可；（2）设正六边形的边长AB=m，可知正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m．由C=，可得即可．【详解】（1）正方形的边长AB=a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，，∴AC=，∴正方形的对角线长为，，，∵用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，C=，∴，故答案为；；（2）解：设正六边形的边长AB=m，则该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m．∵C=，∴，所以估算值为3．【点睛】本题考查估算出圆周率的值问题，掌握用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率的值是解题关键．7．（2023春·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．【答案】(1)(2)，(3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可；（2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可；（3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，，故答案为：；（2）解：假设正方形边长1，∴此时正方形的内切圆半径为，∴；设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴；（3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键．二、计算扇形的弧长（共3小题）8．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，是的直径，半径弦，垂足为点D，连．

(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理得到QUOTE，则根据等弧所对的圆周角相等即可证明结论；（2）先利用（1）的结论得到，再根据圆周角定理得到，则可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：∵半径弦，∴QUOTE，∴．（2）解：∵，∴，∵,∴为等边三角形，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．9．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．(1)求证：；(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案；（2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴．（2）解：连接，如图，由（1）得，∵，∴，∴的长．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．10．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，．(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______．(2)求弧ABC的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．【详解】（1）解：由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，由网格可得该点P(2，0)，故答案为：(2，0)；（2）解：连接AC，根据网格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，∠AOP=∠PQC=90°，由勾股定理得，AP==PC，∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，∴AP2+CP2=AC2，∴∠APC=90°，∴弧ABC的长为，答：弧ABC的长为π．【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提．三、求某点的弧形运动路径长度（共3小题）11．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O建立平面直角坐标系，若绕点O逆时针旋转后，得到（A和是对应点）

(1)画出；(2)点坐标为______，点坐标为______；(3)点A的运动路径长为______．【答案】(1)见解析(2)，(3)【分析】（1）分别作出点A、B绕点O逆时针旋转后得到的对应点、，顺次连接点O、、即可得到；（2）根据（1）中的图形写出点、的坐标即可；（3）根据点A的运动路径是以点O为圆心，长为半径，圆心角为的弧长，勾股定理求出，利用弧长公式求出点A的运动路径长即可．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）由图可知，点的坐标为，的坐标为，故答案为：，（3）点A的运动路径是以点O为圆心，长为半径，圆心角为的弧长，,∴点A的运动路径长为．故答案为：【点睛】此题考查了图形的旋转的作图、弧长公式、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的作图和弧长公式是解题的关键．12．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段AB绕原点O逆时针旋转到．(1)求点的坐标；(2)求点B运动的路径长．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接、，作轴于点，轴于点，可证明，得，，则点的坐标是；（2）由旋转得，，以点为圆心，的长为半径作，根据弧长公式求出的长，就是点运动的路径长．【详解】（1）解：连接、，作轴于点，轴于点，则，将线段绕原点逆时针旋转到，，，，在和中，，，，，，点在第二象限，点的坐标是．（2）由旋转得，，以点为圆心，的长为半径作，则点运动的路径长为的长，作轴于点，，，，，，点运动的路径长是．【点睛】此题重点考查图形与坐标、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．13．（2022秋·江苏·九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，且AO=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM(1)求∠OMP的度数；(2)随着点P在半圆上位置的改变，∠CMO的大小是否改变，说明理由；(3)当点P在半圆上从点B运动到点C时，直接写出内心M所经过的路径长．【答案】(1)135°(2)不改变，理由见解析(3)【分析】（1）由内心的定义可知∠MOP=∠MOC=∠EOP，∠MPO=∠MPE=∠EPO，求出∠MOP与∠MPO的和为45°，利用三角形的内角和定理即可求出∠OMP的度数；（2）连接CM，证△COM≌△POM，即得出∠CMO=∠OMP=135°，可知∠CMO的大小不改变，为135°；（3）连接AC，证明△ACO为分别为等腰直角三角形，求出CQ=，∠CQO=90°，分析得出当点Q在半径OC的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上，根据弧长公式即可求出M所经过的路径长．【详解】（1）解：∵OC⊥AB，∴∠OEP=90°，∴∠EOP+∠EPO=90°，∵M为△OPE的内心，∴∠MOP=∠MOC=∠EOP，∠MPO=∠MPE=∠EPO，∴∠MOP+∠MPO=（∠EOP+∠EPO）=45°，∴∠OMP=180°-（∠MOP+∠MPO）=135°；（2）∠CMO的大小不改变，理由如下：如图2，连接CM，在△COM和△POM中，，∴△COM≌△POM（SAS），∴∠CMO=∠OMP=135°，∴∠CMO的大小不改变，为135°；（3）如图3，连接AC，CM，∵CO⊥AB，∴OA=OC，∴△ACO为等腰直角三角形，∴AC=AO=，取AC中点Q，连接OQ，则∠CQO=90°，∴CQ=AC=，∴当点P在半径OC的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上，所对圆心角为90°，∴=，∴内心M所经过的路径长为．【点睛】本题考查了三角形内心的定义，全等三角形的判定，弧长公式等，解题关键是能够根据题意判断出当点P在半径OC的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上．四、求扇形面积（共4小题）14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图1，是的弦，，P是优弧上的一个动点（不与点A和点B重合），组成了一个新图形（记为“图形”），设点P到直线的距离为x，图形的面积为y．(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)记扇形的面积为，当时．①在图2中，作出一个满足条件的点P；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）②在第①题所作图中，连接，再画一条线，将图形分成面积相等的两部分．（画图工具不限，写出必要的文字说明．）【答案】(1)．自变量x的取值范围是．(2)①图见详解②见详解．【分析】（1）根据垂径定理做辅助线，分别求出、、，然后由面积的和差关系建立等式即可；（2）①扇形的面积为，当时,那么根据同底等高即可；②扇形的面积为，当时，也就是画一条线把平分，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可作图．【详解】（1）解：∵在中，是的弦，∴．∵，∴是等边三角形，．如图1，过点O作，垂足为C．则．在中，．根据勾股定理，得．∴．又∵，是等边三角形且边长是2，∴．又∵点P到直线的距离为x，，∴．∴图中的阴影部分的面积．自变量x的取值范围是．（2）解：①如图2所示，点（或）即为所求（只要求作出一种情形即可）；②以点的情况为例，过点O作，垂足为C，延长交于点D．连接，则折线即为所求．弧线的画法：以点的情况为例，以为圆心，长为半径画弧，交于点F．则即为所求．【点睛】本题考查圆章节的垂直定理性质以及三角形扇形面积公式等知识内容，掌握面积等量代换是解题作图的关键．15．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田．（1）计算弧田的实际面积．（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7）【答案】（1）弧田的实际面积为；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差．【分析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性质求解AO与AB的长度，接着算出的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积．（2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之差．【详解】（1）解：弦AB，由垂径定理可知：平分AB，并且OD还平分．，在中，对应的角的为设，则．由勾股定理可知：解得（舍去），．，扇形AOB的面积为弧田实际面积为．（2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1，故矢长为1．按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为，∴两者之差面积之差为．【点睛】本题主要是考查了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了割补法求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握．16．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）如图，弓形是由和弦所围成的图形，弓形的高是的中点到的距离，点是所在圆的圆心，，弓形的高为．(1)求的半径；(2)经测量的度数约为，则弓形的面积为__________．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点作于点，交于点，设的半径为，根据垂径定理可得，，从而得出，然后利用勾股定理建立关于的方程，最后解方程即可；（2）弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可．【详解】（1）解：过点作于点，交于点，设的半径为，∵点为圆心，，弓形的高为．∴，点是的中点，∴，，在中，，∴，解得：．∴的半径为．（2）∵，，∴．∴弓形的面积为．故答案为：．【点睛】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，扇形的面积，三角形的面积等知识，运用了分割法求不规则图形面积的解题方法．解题的关键是过圆心作弦的垂线构造直角三角形求出圆的半径．17．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）已知：如图，AB为的直径，点C、D在上，且，，．(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据圆周角定理得出，再根据勾股定理求出，由求出，根据勾股定理求出即可；（2）求出，然后根据扇形的面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵AB为的直径，∴，∵，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∴；（2）解：∵AB为直径，，∴，∴．【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能求出的长和的度数是解此题的关键．五、求图形旋转后扫过的面积（共3小题）18．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在小正方形的顶点上．将△ABC向下平移2个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1．(1)在网格中画出△A1B1C1和△A2B2C1；(2)计算线段A1C1在变换到A2C1的过程中扫过区域的面积．【答案】(1)见解析(2)2π【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，则可得到△A1B1C1；然后利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1的对应点A2、B2，则可得到△A2B2C1；（2）线段A1C1在变换到A2C1的过程中扫过区域是扇形，于是根据扇形面积公式可计算出线段A1C1在变换到A2C1的过程中扫过区域的面积．(1)解：如图，△A1B1C1和△A2B2C1为所作；(2)解：由图可知，线段A1C1在变换到A2C1的过程中扫过区域的面积为：【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形面积公式，需要熟练掌握．19．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．【答案】（1）画图见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．【详解】解：（1）△A1OB1如图所示；（2）由勾股定理得，BO=，所以，点B所经过的路径长=，故答案为：；（3）由勾股定理得，OA=，∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OBBO扫过的面积=S扇形B1OB，∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA-S扇形B1OB+S扇形B1OB，=S扇形A1OA，=．【点睛】考点：1.作图-旋转变换；2.勾股定理；3.弧长的计算；4.扇形面积的计算．20．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．(1)建立如图所示的直角坐标系，请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写：①圆心的坐标：（_______，_______）；②的半径为_______．(2)将绕点逆时针旋转得到，画出图形，并求线段扫过的图形的面积．【答案】(1)图见详解；①，；②(2)图见解析；线段扫过的图形的面积为【分析】（1）作、的垂直平分线，两垂直平分线相交于一点，即为的外接圆的圆心，①根据图形，结合网格的特点，即可得出点的坐标，②再根据点的坐标和网格的特点，结合勾股定理，即可求出外接圆的半径；（2）根据网格的特点，把分别旋转，得出对应线段，然后连接，即可得出，再根据勾股定理，结合网格的特点，分别求出和的长，再根据旋转推出的面积等于的面积，再根据线段扫过的图形的面积为，根据扇形和三角形的面积公式代入计算即可．【详解】（1）解：如图所示，点即为所求，①圆心的坐标：，②的半径为：；故答案为：①，；②（2）解：如图即为所求图形，∵由勾股定理得：，，∵将绕点逆时针旋转得到，∴的面积等于的面积，∴线段扫过的图形的面积．【点睛】本题考查了坐标与图形，确定外接圆的圆心、勾股定理、画旋转图形、扇形的面积，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答问题．六、求不规则图形面积（共5小题）21．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接，易得，由，易得，等量代换得，利用平行线的判定得，由切线的性质得，得出结论；（2）连接，利用（1）的结论得，易得，得出，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．【详解】（1）证明：连接，，，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°．∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°．∵OA=OE，∴∠AOE=90°．的半径为4，，，．【点睛】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．22．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）直线BC与⊙O相切，证明见解析；（2）【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．【详解】解：（1）BC与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD．∵OD=OA∴∠OAD=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴OD∥AC∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切；（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2．根据勾股定理得：，即，解得：x=2，即OD=OF=2∴OB=2+2=4．Rt△ODB中∵OD=OB∴∠B=30°∴∠DOB=60°∴S扇形DOF==则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF==．故阴影部分的面积为．23．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，直线l经过⊙O上一点C，点A、B在直线l上，且OA＝OB，CA＝CB．(1)直线l与⊙O相切吗？请说明理由；(2)若OC＝AC，⊙l的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)相切，理由见解析(2)4-π【分析】（1）连接OC，证明△AOC≌△BOC，得到∠OCA=∠OCB=90°，根据切线的判定定理即可证明；（2）根据全等三角形的性质得到AC=BC=2，求得AC=OC=BC=AB，再分别计算△AOB的面积和扇形的面积，相减可得结果．【详解】（1）解：相切，理由：如图，连接OC，在△AOC≌△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OCA=∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；（2）∵△AOC≌△BOC，OC=AC=2，∴AC=BC=2，∴AC=OC=BC=AB，∴∠AOB=90°，∴△AOB的面积为×2×4=4，扇形面积为：=π，∴阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形面积=4-π．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°．(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)∠P的度数为60°(2)图中阴影部分的面积为【分析】(1)先证明∠APB=180°−∠AOB，根据∠AOB=2∠ACB求出∠AOB即可解决问题；(2)连接OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，则根据四边形内角和得到∠AOB=180°−∠APB=120°，再在RtPAO中利用含30度的直角三角形三角函数关系得到AP=，则S△PAO=，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S四边形AOBP−S扇形AOB进行计算．【详解】（1）解：如图，连接OA、OB∵PA、PB是⊙O切线∴PAOA，PBOB∴∠PAO=∠PBO=90∵∠APB+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360∴∠APB=180−∠AOB∵∠ACB=60∴∠AOB=2∠ACB=120∴∠APB=180−120=60（2）解：如图，连接OP∵PA，PB是⊙O的两条切线∴OAAP，OBPB，OP平分∠APB∴∠PAO=∠PBO=90，∠APO=×60=30∴∠AOB=180−∠APB=180−60=120在RtPAO中，∵OA=4cm，∠APO=30∴tan30=∴AP=（cm）∴S△PAO=×4×=（cm2）∴阴影部分的面积=S四边形AOBP−S扇形AOB=2×−=（cm2）【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；会利用面积的和差计算不规则图形的面积．解题的关键是辅助线的添加．25．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图1，已知扇形纸片，，半径．(1)求扇形的面积及图中阴影部分的面积；(2)如图2，在扇形的内部，与，都相切，且与只有一个交点，此时我们称为扇形的内切圆，试求的面积；(3)如图3，在扇形纸片中，剪出一个扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的余料中，再剪出一个圆作为这个圆锥的底面，并使得这个圆锥的表面积最大，若能，请求出这个圆锥的表面积；若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)能，当时，有最大值【分析】（1）根据扇形和等边三角形的面积公式即可求解；（2）设与相切于点，连接，，根据相切两圆的性质得到、、三点共线，根据直角三角形的性质得到，再利用圆的面积公式即可求解；（3）设圆锥的底圆的半径为，表面积为，根据圆的面积公式和二次函数性质即可求解．【详解】（1），半径，，，，是等边三角形，，阴影部分的面积．（2）设与相切于点，连接，，相切两圆的连心线必过切点，、、三点共线，，，在中，，，，的半径．．（3）设圆锥的底圆的半径为，表面积为，又，，当时，有最大值．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．七、求圆锥的侧面积（共3小题）26．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）实践操作如图，是直角三角形，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中表明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）（1）①作的平分线，交于点；②以为圆心，为半径作圆．综合运用在你所作的图中，（2）与⊙的位置关系是；（直接写出答案）（3）若，，求⊙的半径．（4）在（3）的条件下，求以为轴把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积．【答案】（1）解解析；（2）相切；（3）；（4）.【分析】（1）先作基本图形（作一个角的平分线）得到点O，然后作⊙O；（2）作OE⊥AB于E，根据角平分线性质可得OE=OC，则可根据切线的判定定理得到AB为⊙O的切线；（3）设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，先利用勾股定理计算出AB=13，再利用三角形面积公式得到S△AOB+S△AOC=S△ABC，代入，然后解方程即可；（4）根据圆锥的侧面积公式可得结论．【详解】(1)如图1所示;(2)直线AB与⊙O相切，理由是：如图1，作OE⊥AB于E，∵AO平分∠BAC，而OE⊥AB，OC⊥AC，∴OE=OC，∴AB为⊙O的切线；故答案为相切；(3)设⊙O的半径为r,则OC=OE=r,在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=12，∴AB==13，∵S△AOB+S△AOC=S△ABC，∴×13r+×5r=×5×12,解得r=，即⊙O的半径为.(4)如图2,S侧=π⋅AC⋅AB=π×5×13=65π.【点睛】本题考查圆的综合题和尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图、切线的判定定理、圆锥的侧面积公式和勾股定理.27．（2022秋·江苏苏州·九年级校联考期中）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角．(1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）【答案】(1)1：2(2)【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论．（2）根据求解即可．【详解】（1）由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得：．∴．∴，ED与母线AD长之比为（2）∵∴答：加工材料剩余部分的面积为【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．28．（2021秋·江苏苏州·九年级统考期中）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为、圆心角是的扇形剪去一半径的同心圆扇形所围成的（不计接缝）（如图1）．（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留）；（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？（3）如图3，若在一张半径为的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面（不允许有拼接），最多能裁出多少个？【答案】（1）底面半径为，侧面积为；（2）需要长为，宽为的矩形纸片；（3）9个【分析】（1）要求底面半径，需先求底面周长，而底面周长为图（1）中的弧长，相关数据代入弧长公式即可.而侧面积即为图（1）中的扇环，将大扇形面积减去小扇形面积即得；（2）连接，可证得即为长方形的长，而所在的为正三角形，再过作，交于，交于，根据垂径定理可证得即为长方形的宽，求出长，再求即得长；（3）本小题容易想到的是直接在圆环上能裁出6个，此时中间还有一个以为半径的小圆，考虑到圆环的半径为，正好为小圆半径的一半，故可先在小圆中构造一个边长为的正六边形，再取三条互不相邻的边的中点，故在此正六边形中裁出3个扇环，故总共9个.【详解】（1），底面周长为底面半径为侧面积为扇环的面积，故答：纸杯的底面半径为，侧面积为.（2）连接，过作，交于，交于，是等边三角形又也是等边三角形即为长方形的长，由垂径定理知，即为长方形的宽所需长方形的两边长分别为和.（3）扇形的圆心角为在以为圆心，为半径的大圆和以为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环（即小纸杯的侧面）剩下的一个半径的圆中可按照如下方法剪圆环.作六边形，显然边长为，将、、两边延长，分别相交于点、、，则以、、为圆心为半径画弧，三条弧相切于、、的中点，显然又可剪3个最多可剪出9个纸杯的侧面（如图所示）八、求圆锥的底面半径（共3小题）29．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为(结果保留根号)，∠ADC的度数为；（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．(结果保留根号)．

【答案】（1）D(2，0)；（2），90°；（3）【分析】（1）由题意利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；（2）由题意知在△AOD中AO和OD可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度数；（3）根据题意先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积=πr•AD，即可求得r．【详解】解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，∴D点的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2，即⊙D的半径为2，且CE=2，DE=4，∴AO=DE，OD=CE，在△AOD和△DEC中，，∴△AOD≌△DEC（SAS），∴∠OAD=∠CDE，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴∠ADC=90°，故答案为：2；90°；（3）弧AC的长=π×2=π，设圆锥底面半径为r则有2πr=π，解得：，所以圆锥底面半径为．【点睛】