湖南省长沙市高三九月学情调研考试数学模拟试卷

湖南省长沙市2025届高三九月学情调研考试数学模拟试卷本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若，，则的值是（

）A．0.9 B．1.08 C．2 D．43．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．4．已知等差数列的前项和为，满足，则（

）A．200 B．100 C．200 D．1005．若，，则的值为（

）A． B． C． D．6．有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（

）A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种7．用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（

）A． B． C． D．8．设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（

）A．±1 B． C． D．±2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数在复平面内所对应的点分别为，且点均在以坐标原点为圆心.2为半径的圆上，点在第四象限，则（

）A．点在第一象限 B．C． D．10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（

）A．、为对立事件 B．C． D．11．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．展开式的中间一项的系数为.13．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积，则其内壁表面积为．

14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．中国数学奥林匹克（）竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高､规模最大､最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛.(1)根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数（结果取整数）；(2)决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6题，每题10分，每题有1个正确选项，答对的10分，答错得0分；多选题4题，每题15分，每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有选错得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为；每个多选题得15分､5分､0分的概率均分别为.求甲同学决赛成绩的数学期望.附：若，则，16．已知等差数列满足，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．17．在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．

(1)若Q为的中点，证明：平面；(2)若直线与平面所成的角正弦值为，求．18．动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为．(1)求的方程；(2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值；(3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．19．已知函数，若