安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高一下学期春季联赛数学试题2

安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛（高一）数学本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前、务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.不等式的解集为（）A.或 B. C.或 D.3.我国著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”，如图所示，作“大斜”上的高，则，现已知中，“小斜”，“中斜”，“大斜”，则“高”=（）A. B. C. D.4.设与是两个向量，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.7.设向量，，若，则（）A. B. C. D.8.已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（）A.4 B.2 C.1 D.0二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.以下运算中正确的有（）A. B.C. D.10.下面结论正确的有（）A.若，为锐角三角形的两内角，则有B.C.，D.，11.若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（）A.函数的单调递增区间是，B.直线是函数图象的一条对称轴C.若当时，，则D.若在上恰有3个零点，则考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题为选考题，请考生任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分.）12.已知实数x满足，则______.13.在边长为2的正中，动点P在以C为圆心且与AB边相切的圆上，满足.则的取值范围是______.14.在四面体ABCD中，，面BCD，底面三角形BCD为直角三角形，.若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为______.15.某超市举行有奖答题活动，参加活动顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16.如图所示，在单位圆中，，已知角的终边与单位圆交于点，作，垂足为点M，作交角的终边于点T.（1）请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式（仅用含的式子表示）；（2）请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明17.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：，（1）求b和角B；（2）求取值范围.18.如图，在矩形中，，，，，直线与垂直，垂足点.（1）求的值；（2）若，将用基底线性表示，并求出的最大值.（选考题）（17分）（请考生从181，182两题中任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分.）【选考人教版——立体几何】19.如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图.（1）求四面体外接球体积；（2）求证：平面平面；（3）若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由.【选考北师大版——统计和概率】20.在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：（1）请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替）；（2）请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率；（3）现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评.方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，获得好评的概率为；方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，获得好评的概率为；假设获得好评的概率大的