02-第五章　一元函数的导数及其应用

第五章一元函数的导数及其应用全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)的图象如图所示,在区间[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]内,函数y=f(x)的平均变化率最大的是()A.[x1,x2] B.[x2,x3] C.[x1,x3] D.[x3,x4]2.已知函数f(x)=sinx+4x,则limΔx→A.12 B.6 C.3 D.33.已知函数f(x)的导函数f'(x)在[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)的极小值点为x1,x2B.f(x)的极大值点为x2C.f'(x)有唯一的极小值点D.函数f(x)在(a,b)上的极值点的个数为24.已知函数f(x)=x32x2,x∈[1,3],则下列说法错误的是()A.函数f(x)的最大值为9B.函数f(x)的最小值为3C.函数f(x)在区间[1,3]上单调递增D.x=0是函数f(x)的极大值点5.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=1处取得极值0,则a+b=()A.4 B.7 C.11 D.4或116.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)在R上恒有f'(x)<12,则不等式f(x)<x2+1A.(1,+∞) B.(∞,1)C.(1,1) D.(∞,1)∪(1,+∞)7.若对于任意t∈[1,2],函数f(x)=x3+m2+2x22x在区间(t,3)上不单调,则实数m的取值范围是(A.-373,-9 B.-3738.已知a=3(2-ln3)e2A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知函数f(x)=exln(x+a),a∈R,则()A.当a=0时,f(x)没有零点B.当a=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增C.当a=2时,直线y=12x+1ln2与曲线y=f(x)D.当a=2时,f(x)只有一个极值点x0,且x0∈(1,0)10.对于函数f(x)=2lnxx2,下列说法正确的有A.f(x)在x=e处取得极大值1B.f(x)只有一个零点C.f(2)>f(π)D.若f(x)<k1x2在(0,+∞)上恒成立,11.已知函数f(x)=lnx+1,g(x)=ex1,下列说法正确的是(参考数据:e2≈7.39,e3≈20.09,ln2≈0.69,ln3≈1.10)()A.存在实数m,使得直线y=x+m与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都相切B.存在实数k,使得直线y=kx1与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都相切C.函数y=g(x)f(x)在区间23D.函数y=g(x)f(x)在区间23,+12.已知实数a,b满足等式e2aeb=2(2ba),则下列不等式中可能成立的有()A.a<b<0 B.b<a<0 C.0<a<b D.0<b<a三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=2f'(1)x+3ex2,f'(x)是f(x)的导函数,则f'(1)=.

14.已知函数f(x)=exmx+1的图象上存在与直线y=12x垂直的切线,则实数m的取值范围是15.记定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)f(x)<0,f(2)=1,则不等式f(x)>ex2的解集为.

16.已知函数f(x)=x-lnx,x>0,x+4e,x≤0,若存在x1≤0,x2四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=ex+ax+b,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=ab.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≥0.18.(12分)某企业拟建造一个容器(不计厚度,长度单位:m),如图所示,其中容器的中间为圆柱形,左、右两端均为半球形,按照设计要求,容器的容积为80π3m3,且l≥2r,假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元,半球形部分每平方米的建造费用为c(c>3)万元,该容器的总建造费用为y(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的总建造费用最少时r的值.19.(12分)已知函数f(x)=ex(a+e)x2+ax.(1)当a=e时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有三个零点,求a的取值范围.20.(12分)已知函数f(x)=12x2alnx+(1a)x+1(a∈R(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时,求证:f(x)≤x(ex1)+12x221.(12分)已知函数f(x)=lnx+ax2x.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)存在x∈[1,+∞),使得f(x)≥12x3+1成立,求a的最小整数值22.(12分)已知函数f(x)=x-asinx(x(1)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若a<14,证明:f(x)在0,π2上有唯一极值点x0,且f(x0)>

答案全解全析1.D2.B3.D4.C5.C6.A7.A8.A9.ACD10.AB11.AB12.ACD1.Df(x)在[x1,x2]上的平均变化率P1=f(f(x)在[x2,x3]上的平均变化率P2=f(f(x)在[x1,x3]上的平均变化率P3=f(f(x)在[x3,x4]上的平均变化率P4=f(结合题中函数y=f(x)的图象,可得P2<P3<0<P1<P4.故选D.2.B易得f'(x)=cosx+4,∴f'(π)=3,∴limΔx→3.D由题图知,当a<x<x3时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x3<x<x5时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x5<x<b时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)的极小值点为x5,极大值点为x3,故A,B错误,D正确.f'(x)的极小值点为x1,x4,共2个,故C错误.故选D.4.C∵f(x)=x32x2,x∈[1,3],∴f'(x)=3x24x=x(3x4),x∈[1,3].令f'(x)>0,可得1≤x<0或43<x≤3;令f'(x)<0,可得0<x<4∴函数f(x)在区间[1,0),43,3上单调递增,在区间∴x=0是函数f(x)的极大值点,x=43是函数f(x)的极小值点,故C中说法错误,D中说法正确∵f(0)=0,f(3)=272×9=9,f(1)=12×1=3,f43∴函数y=f(x)在区间[1,3]上的最大值为9,最小值为3,故A,B中说法正确.故选C.5.C易得f'(x)=3x2+6ax+b.因为f(x)在x=1处取得极值0,所以f(-1)=0,f当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,f(x)在R上单调递增,无极值,不符合题意,舍去.当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9,令f'(x)=0,得x=1或x=3,经检验,x=1和x=3都为函数f(x)的极值点,符合题意.所以a=2,b=9,故a+b=2+9=11.故选C.6.Af(x)<x2+12令g(x)=f(x)x2-12,因为f'(x)<12,所以g'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减因为f(1)=1,所以g(1)=f(1)12所以当x>1时,g(x)<0,当x<1时,g(x)>0.所以不等式f(x)<x2+127.Af'(x)=3x2+(m+4)x2,则f'(0)=2,∵对于任意t∈[1,2],f(x)在区间(t,3)上不单调,∴f'(t∴m+4<2t∴实数m的取值范围是-373,-8.A由题知,a=3(b=1e=lnee,c=ln33,易得f'(x)=1-lnxx2,x>0,令f'(x)=0,得x=e,则当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当易知f(1)=0,当x>1时,f(x)>0,画出y=f(x)的图象如图所示,∵1<e23<e<3,若t=lnxx有两个解x1,x2,不妨设x1<x2,则1<x1<e<x2,t∈0,1e,lnx1=tx1,lnx2=tx2∵e23×3=e2,∴只要比较x1x2与e2令g(x)=lnx2(x-1)x+1(x>1),则g'(x)=(所以g(x)>g(1)=0,即在(1,+∞)上,lnx>2(若x=x2x1,则lnx2-lnx1x2-x所以当x2=3时,e>x1>e23,所以fe23<f(x综上,b>c>a.故选A.9.ACD当a=0时,f(x)=exlnx,则f'(x)=xex-1x,x>0,设g(x)=xex1,则g'(x)=(x+1)ex,当x>0时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(0)=1<0,当x→+∞时,g(x)→+∞,所以g(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设为m,则f(x)在(0,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,由em=1m,得m=ln1m=lnm,所以f(x)min=f(m)=emlnm=em+m>0,从而f(x)没有零点当a=2时,f(x)=exln(x+2),则f'(x)=ex1x+2,x>2,因为f(0)=1ln2且f'(0)=12,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=12x+1ln2,由C选项易知f'(x)在(2,+∞)上单调递增,且f'(1)<0,f'(0)>0,所以存在唯一的x=x0,使f'(x0)=0,即f(x)只有一个极值点x0,且x0∈(1,0),故D正确.故选ACD.10.AB对于A,f'(x)=2x令f'(x)=0,得4lnx=2,解得x=e,当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在x=e处取得极大值,为f(e)=2lne(e对于B,∵f(x)在(0,e)上单调递增,f(1)=2ln112=0,∴函数f(x)在(0,e)当x≥e时,f(x)=2lnxx2>0恒成立,即函数f(x)在[e,+∞)上没有零点,故f(x)有唯一零点,故对于C,∵f(x)在(e,+∞)上单调递减,2>π>e,∴f(2)<f(π对于D,由题意得k>f(x)+1x2=2ln设g(x)=2lnx+1x2,令g'(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,∴当x=1时,函数g(x)取得极大值,也为最大值,最大值为g(1)=1,所以k>1,故D错误.故选AB.11.AB易得f'(x)=1x,g'(x)=ex设直线l与曲线y=f(x)、y=g(x)分别相切于点P(x1,y1),Q(x2,y2),因为f'(x1)=1x1,f(x1)=lnx1+1,所以直线l的方程为y(lnx1+1)=1x1·(xx1),即y=因为g'(x2)=ex2,g(x2)=ex21,所以直线l的方程为y(e故1x1=ex2,lnx1=-x2当x2=0时,直线l的方程为y=x;当x2=1时,直线l的方程为y=ex1.对于A,存在m=0满足条件,故A正确.对于B,存在k=e满足条件,故B正确.令h(x)=g(x)f(x)=exlnx2,x∈(0,+∞),则h'(x)=ex1x,x∈令φ(x)=h'(x)=ex1x,x∈(0,+∞),则φ'(x)=ex+1所以h'(x)在(0,+∞)上单调递增,又h'23所以当x∈23,+∞时,h'(x)>0,h(x)单调递增,故C,D12.ACDe2aeb=2(2ba)=4b2a,则e2a+2a=eb+4b,令f(b)=e2b+2beb4b=e2beb2b,则f'(b)=2e2beb2,当b<0时,f'(b)<0,f(b)在(∞,0)上单调递减,f(b)>f(0)=0,此时e2b+2b>eb+4b,∴e2b+2b>e2a+2a,令g(x)=e2x+2x,则g(x)在R上单调递增,∴g(b)>g(a)⇒a<b<0,A正确,B错误.当b>0时,取b=1,则e2a+2a=eb+4b=e+4,此时g(1)=e2+2>e+4=g(a),又g(x)在R上单调递增,∴a<1=b,∴0<a<b可能成立,C正确.取b=14,则e2a+2a=eb+4b=e又g(x)在R上单调递增,∴a>14=b,∴a>b>0可能成立,D正确.故选13.答案3e解析易得f'(x)=2f'(1)+3ex,故f'(1)=2f'(1)+3e,即f'(1)=3e.14.答案(2,+∞)解析f'(x)=exm,∵f(x)的图象上存在与直线y=12x垂直的切线,∴f'(x)=exm=2有解,即m=2+ex有解,又2+ex>2,∴m>2.故实数m的取值范围是15.答案(∞,2)解析构造函数g(x)=f(x)ex因为f'(x)f(x)<0,所以g'(x)=f'(所以g(x)=f(x)e不等式f(x)>ex2可化为f(x)ex>1e2,因为g(2)=f(2)16.答案4e2解析当x>0时,f(x)=xlnx,f'(x)=11x当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.故当x=1时,f(x)取得极小值,为f(1)=1.当x≤0时,f(x)=x+4e单调递增,且f(x)≤4e.设f(x1)=f(x2)=t,则1≤t≤4e,由f(x1)=t得x1+4e=t,则x1=t4e,则x1f(x2)=t(t4e)=(t2e)24e2,因为1≤t≤4e,所以当t=2e时,x1f(x2)取得最小值,为4e2.17.解析(1)∵f(x)=ex+ax+b,∴f'(x)=ex+a.(2分)∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=ab,∴f'(0)=1+a(2)证明:由(1)知f(x)=exx1,f'(x)=ex1,(7分)∴当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,(9分)∴f(x)的最小值为f(0)=0,∴f(x)≥0.(10分)18.解析(1)设该容器的容积为Vm3,则V=πr2l+43πr3因为V=80π3,所以l=因为l≥2r,所以4320r2-r≥2r,所以y=2πrl×3+4πr2c=2πr×4320r2-(2)由(1)得y'=8π(c2)r160πr2因为c>3,所以c2>0,故20c-2令y'=0,即r320c-2=0,则r=320则y'=8π(c-2)①若0<m<2,即c>92,则当r∈(0,m)时当r∈(m,2)时,y'>0,所以r=m是极小值点,也是最小值点;(9分)②若m≥2,即3<c≤92,则当r∈(0,2)时,y'<0,函数单调递减所以r=2是函数的最小值点.(11分)综上,若3<c≤92,则当r=2时总建造费用最少;若c>92,则当r=320c19.解析(1)当a=e时,f(x)=exex,则f'(x)=exe,(2分)令f'(x)<0,得x<1;令f'(x)>0,得x>1,∴f(x)的单调递减区间为(∞,1),单调递增区间为(1,+∞).(4分)(2)∵f(x)有三个零点,∴ex(a+e)x2+ax=0有三个不同的根,又x=0不是方程的根,∴exx=(a+e)xa令g(x)=exx,h(x)=(a+e)xa,则y=g(x)与y=h(x)的图象有三个不同的交点,(7易得g'(x)=ex(x-1)x2,令g'(x)>0,∴g(x)在(∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴g(x)在x=1处取得极小值,为g(1)=e,易知当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0.(9分)又y=h(x)的图象为恒过点(1,e)的直线,斜率为a+e,g'(1)=0,∴a+e>0,即a>e,∴a的取值范围为(e,+∞).(12分)20.解析(1)易得f'(x)=xax+1-a=x2+①当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.(3分)②当a>0时,若x>a,则f'(x)>0,若0<x<a,则f'(x)<0,所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(5分)综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(6分)(2)证明:当a=1时,f(x)=12x2lnx+1,要证f(x)≤x(ex1)+12x22lnx,即证xexlnxx1≥0.(7令g(x)=xexlnxx1(x>0),则g'(x)=ex+xex1x令u(x)=ex1x,则u'(x)=ex+1x2>0,故u(x)在又u12=e2<0,u(1)=e1>0,所以由函数零点存在定理知,存在x0,使u(x0所以当x∈(0,x0)时,u(x)<0,即g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,u(x)>0,即g'(x)>0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(x0)=x0ex0lnx0x由u(x0)=0,得ex0-1x0=0,即x0ex0=1,所以ln(x0所以g(x)min=g(x0)=x0ex0lnx0x01=0,即xexlnxx1≥0所以当a=0时,f(x)≤x(ex1)+12x22lnx.(12分21.解析(1)当a=1时,f(x)=lnx+x2x,则f'(x)=1+2x当x>0时,f'(x)>0恒成立,(2分)所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.(4分)(2)由f(x)≥12x3+1得a≥1令g(x)=12x3因为存在x∈[1,+∞),使得f(x)≥12x3+1成立,所以a≥g(x)min.(5分g'(x)=12x3令h(x)=12x33x+2lnx,x≥1,则h'(x)=3x3令n(x)=3x32x+4(x≥1),则n'(x)=9x22(x≥1),因为当x≥1时,n'(x)>0恒成立,所以n(x)单调递增,所以n(x)≥n(1)=5>0,所以h'(x)>0恒成立,所以h(x)单调递增.因为h32=-4516所以∃m∈32,2,使得h(m)=0,且当x∈[1,m)时,h(x)<0,此时g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(m,+∞)时,h(x)>0,此时g'(x)>0,g(x)单调递增,且则g(x)min=g(m)=12m因为g'(m)=0,即12m33m+2lnm=0,所以lnm=1所以g(x)min=g(m)=3m3+2令φ(x)=3x3+2x-24令t(x)=3x32x+4,32<x<2,易得t(x)在32所以t(x)>t32=898>0,所以当x∈3所以φ32<φ(x)