专题培优课　与球有关的切接问题

专题培优课与球有关的切、接问题【考情分析】与球有关的切、接问题是高考命题的热点之一，经常以客观题出现．一般围绕球与柱、锥、台体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心．关键能力·题型剖析题型一几何体的外接球角度一补形法例1(1)[2024·山东济宁模拟]如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则三棱锥A′DEF的外接球体积为()A．86πB．66πC．46πD．26π(2)如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝6，BC＝CE＝4，该四棱锥的外接球的表面积为________．[听课记录]题后师说补形法的解题策略巩固训练1(1)在三棱锥PABC中，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，|AC|＝5，|BC|＝11，|PA|＝8，则三棱锥PABC外接球的表面积是()A．100π B．50πC．144π D．72π(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，BC＝1，AB＝3，AA1＝23，则该直三棱柱的外接球的体积为()A．8π3 B．C．32π3 D．角度二截面法例2[2024·江西九江模拟]已知△ABC是边长为2的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为8π，则O到平面ABC的距离为()A．53 B．C．233 D[听课记录]题后师说与球截面有关的解题策略巩固训练2已知圆台O1O2的上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为6，圆台的体积为104π，且它的两个底面圆周都在球O的球面上，则OO1OO2＝A．3 B．4C．15 D．17角度三定义法例3(1)[2024·重庆模拟]已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是()A．8π3 B．C．16π D．32π(2)[2024·安徽合肥模拟]已知体积为V的正三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，当球O的表面积S取得最小值时，该正三棱柱的底面边长a与高h的比值为()A．12 B．C．32 D．[听课记录]题后师说到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．巩固训练3[2024·安徽马鞍山模拟]如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2A1B1＝23，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为()A．16π B．97πC．105π4 D．题型二几何体的内切球例4(1)[2024·河北秦皇岛模拟]如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V1，它的内切球的体积为V2，则V1∶V2＝()A．2∶3 B．22∶3C．2∶2 D．2∶1(2)已知正三棱锥PABC的高为3，底面ABC是边长为6的等边三角形，先在三棱锥PABC内放入一个内切球O1，然后再放入球O2，使得球O2与球O1以及三棱锥PABC的三个侧面相切，记球O1和球O2的半径分别为R1，R2，则R1R2＝A．2 B．23C．3 D．4[听课记录]题后师说有关内切球问题的解题策略巩固训练4[2024·湖南岳阳模拟]已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为16π，上、下底面的面积之比为1∶9，则球的表面积为()A．12π B．14πC．16π D．18π1．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥OABC的体积为()A．&212 C．&24 2．[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100π B．128πC．144π D．192π3．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，AC＝BD＝2，且该四面体ABCD的外接球的表面积是()A．2π B．6πC．6π11 D．4．已知圆锥的底面直径为23，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．专题培优课与球有关的切、接问题关键能力·题型剖析例1解析：(1)依题意，A′D⊥A′E，A′E⊥A′F，A′D⊥A′F，且A′D＝4，A′E＝A′F＝2，于是四面体A′DEF可以补形成以A′D，A′E，A′F为相邻三条棱的长方体，该长方体与四面体A′DEF的外接球相同，设四面体A′DEF的外接球的半径为R，则2R为长方体的体对角线长，即2R＝A'D2+A'E2+A'F2＝26，所以四面体A′DEF的外接球体积为(2)如图所示，可以将四棱锥EABCD补成一个长方体ADFGBCEH，故长方体的外接球即为四棱锥的外接球，即AE的中点O即为外接球球心，所以半径R＝12＝12CD2+AD所以外接球表面积S＝4πR2＝68π.答案：(1)A(2)68π巩固训练1解析：(1)如图，将三棱锥放于一个长方体内，则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥PABC外接球的直径，∵PB＝52+112+82＝10，∴外接球的表面积为4π×((2)如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成长方体，则长方体的外接球即直三棱柱的外接球．长方体的体对角线长为232+设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，得R＝2，所以该直三棱柱的外接球的体积V＝43πR3＝32π3.答案：(1)A(2)C例2解析：如图所示，设△ABC的中心为O1，则OO1⊥平面ABC，又O1B⊂平面ABC，故OO1⊥O1B，因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以O1B＝23×32×2＝233，又因为球O的表面积为8π，所以4πR2＝8π，解得R＝2，即OB＝2，所以OO1＝OB2-O1B2＝2-答案：B巩固训练2解析：轴截面如图所示，设圆台的高为h，依题意V＝13(4π＋36π＋12π)h＝104π，解得h＝6.设O1O＝x，则22＋x2＝62＋(6－x)2，解得x＝17故OO1OO2＝173答案：D例3解析：(1)如图，正四棱锥PABCD的外接球的球心在高PO1上记为O，PO＝AO＝R，PO1＝22-22＝2，OO1＝2－R，在Rt△AOO1中，R2＝(2)2＋(2－R)2，解得R＝2，所以外接球的表面积等于4πR2＝(2)如图，设正三棱柱ABCA1B1C1的上、下底面的中心分别为O1和O2，则O1O2的中点为O.设球O的半径为R，则OA＝R.设AB＝BC＝AC＝a，AA1＝h，则OO2＝12h，O2A＝23×32AB＝33a，S△所以正三棱柱ABCA1B1C1的体积V＝34a2h，所以a2h＝43在Rt△OO2A中，R2＝OA2＝OO22＋O2A2＝14h2＋1球O的表面积S＝4πR2＝4π(14h2＋13a2方法一S＝4πR2＝4π(14h2＋13a2)＝4π14h2+1当且仅当14h2＝16a2，即ah＝62时方法二由V＝34a2h，得a2＝43所以S＝4πR2＝4π(14h2＋13a2)＝4π(14h2＋13×433hV)＝4π(14令φ(h)＝14h2＋439V×1h(则φ′(h)＝12h－439V令φ′(h)＝0，得h＝h0＝23当h∈(0，h0)时，φ′(h)<0时，φ(h)单调递减；当h∈(h0，2R)时，φ′(h)>0，φ(h)单调递增．所以当h＝233V13时，S取得最小值，此时a＝2V13，所以答案：(1)B(2)D巩固训练3解析：如图所示的正四棱台ABCDA1B1C1D1取上下两个底面的中心M，N，连接MN，A1M，AN，过点A1作底面的垂线与AN相交于点E，因为四棱台ABCDA1B1C1D1为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线MN上，在MN上取一点O为球心，连接OA，OA1，则OA＝OA1＝R，设ON＝h，因为AB＝2AA1＝2A1B1＝23，所以AN＝6，A1M＝62MN＝A1E＝AA12-AE所以ENMA1为正方形，故O必在MN延长线上，在Rt△OAN中，OA2＝AN2＋ON2，即R2＝(6)2＋h2，在Rt△OA1M中，即R2＝((6)2＋h)2＋(6解得R2＝152，所以S＝4πR2＝30π，故选答案：D例4解析：(1)如题图，四边形PAP′B为该几何体的轴截面，则四边形PAP′B的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为r，由OP＝OA＝1，得r＝22，则V2＝43πr3＝2π3，V1＝2×13π×12×1＝2π3，所以V1∶V2＝(2)依题意，正△ABC的面积S△ABC＝34AB2＝93，正三棱锥PABC的体积VPABC＝13×3×93＝93，正△ABC的边心距r＝12ABtan30°＝3，则正三棱锥PABC的斜高h′＝r2+32＝23，正三棱锥PABC的全面积S＝3S△PAB＋S△ABC＝3×12AB×h＋93＝273，因球O1是三棱锥PABC内切球，于是有VPABC＝13SR1＝93R1＝93，解得R1＝1，又球O2与球O1相切，且与三棱锥PABC的三个侧面相切，则球O2可视为过O2、球O1相切的切点与三棱锥PABC底面ABC平行的平面截三棱锥PABC所得小正三棱锥的内切球，显然，小正三棱锥的高为1，底面是边长为2的正三角形，同理计算可得R2答案：(1)D(2)C巩固训练4解析：依据题意，球内切于圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，如图所示，过B点作CD的垂线，垂足为E，设球的半径为R，则BE＝2R，设圆台的母线为l，即BC＝l，上、下底面的面积之比为1∶9，即πr12πr22＝r12r22＝19，r2＝3r1圆台的侧面积为π(r1＋r2)l＝4πr1l＝16πr12＝16π，解得r1＝1，则2R＝BE＝l2-2r12＝则球的表面积S＝4πR2＝12π.故选A.答案：A随堂检测1．解析：如图所示，因为AC⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝2.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝1-AB22＝1-222＝22，所以三棱锥OABC的体积V＝13S△ABC×OO1＝13答案：A2．解析：设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝33sin60°＝6，2r2＝43sin60°＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝r12＋t2＝r22＋(t－1)2，即R2＝9＋t2＝16＋(t－1)答案：A3.解析：将四面体ABCD放入长方体中，如图，则四面体ABCD的外接球，即为长方体的外接球，设长方体中