福建省永春一中培元季延石光中学四校高三上学期第二次联考数学（理）试题

2018届高三年毕业班第二次联合考试试卷（数学理科）2018届高三年毕业班第二次联合考试试卷（数学理科）季延中学石光中学组卷学校：永春一中考试时间：120分钟试卷总分：150分本试卷分第I卷和第II卷两部分第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。1.若集合，集合，全集为，则等于A．B．C．D．2.已知是的共轭复数，若（其中为虚数单位），则的虚部为A．B．C．D．3.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. B．C. D.4.在等差数列中，若，则A.B.C.D.5.四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为的等腰直角三角形，则侧面中直角三角形的个数为A.B.C.D.6.学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜盘才最后获胜，小杰必须再胜盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜盘并最后获胜的概率是A. B. C. D.7.函数的定义域是，且满足，当时，，则图象大致是A.B.C.D.8.某同学想求斐波那契数列，，，，…（从第三项起每一项等于前两项的和）的前项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是A．；B．； C．； D．；9.已知曲线：，曲线：，则下面结论正确的是A．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移得到B．把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移得到C．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移得到D．把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移得到10.展开式中项的系数为A．B．C．D．11.已知抛物线，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，(其中为坐标原点)，若的面积记为,的面积记为,则的最小值是A． B．C. D.12.已知，，若，则的最小值为A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。13.已知向量与的夹角为，，，则．14.某商场在今年情人节的促销活动中，对2月14日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示,后面三组成等差数列，已知9时至10时的销售额为2万元，则12时至1315.实数，满足，则的取值范围是．16.四边形中，是边长为6的正三角形，为等腰直角三角形，,沿将翻折成三棱锥，，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积是为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请在答题卡各自题目的答题区域内作答。17.（本题满分10分）已知数列的前项和，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．18.（本题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，过作在,在线段上，且,.求的面积的最大值．19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，。（Ⅰ）证明：平面面；（Ⅱ）若,若二面角余弦值为，求直线与面所成角的正切值．20．（本题满分12分）某工厂改造一废弃的流水线，为评估流水线的性能，连续两天从流水线生产零件上随机各抽取件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为第一天，直径/5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100第二天直径/5860616263646566676869707173合计件数11245213421332111100经计算，第一天样本的平均值，标准差；第二天样本的平均值，标准差（Ⅰ）现以两天抽取的零件来评判流水线的性能.(i)计算这两天抽取200件样本的平均值和标准差（精确到0.01）；(ii)现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率），①；②；③评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线的性能等级.（Ⅱ）将直径在范围内的零件认定为一等品，在范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从件样本除一等品外的零件中抽取个，设为抽到次品的件数，求的分布列及其期望．附注：参考数据：,,；参考公式：标准差.21.（本题满分12分）已知椭圆的长轴长为，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的切线，交轴于点，直线过点且垂直于，交轴于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试判断以为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．22.（本题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数，．（Ⅰ）若，判断函数的单调性，并说明理由；（Ⅱ）当，时，若函数有两个零点，，求实数的取值范围；求证：．

永春一中培元中学永春一中培元中学季延中学石光中学参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B2.A3.B4.A5.C6.C7.A8.B9.C10.D11.C12.D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15.，或 16.三、解答题：（17题10分，1822题各12分，共70分）17.（本题满分10分）解(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；…………1分当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.…………3分a1也满足an＝n，…………4分故数列{an}的通项公式为an＝n.…………5分(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．…………6分记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝eq\f(21－22n,1－2)＝22n＋1－2，…………8分B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.…………9分故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.…………10分18.（本题满分12分）解：（1）由正弦定理可得…………2分化简得，…………4分…………6分（2）设，则…………7分,…………8分…………9分又…………11分当且仅当时取等号.…………12分19.（本题满分12分）解析：（1），为直角梯形，，.…………………1分即.………………2分又和为面的两条交线,…………3分面.……………4分又,……………5分.……………………6分（2）设，易得为等腰直角三角形.取中点,中点，连接,,以，，分别为，，轴.则,,,.…………………7分设，易得面的法向量.…8分设面的法向量，又，,由，得令则.…………………10分因为二面角余弦值为，，解得,………………11分则直线与面所成角的正切值为.………12分20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）（i）依题意：200个零件的直径平均值为.1分由标准差公式得：第一天：，第二天:，则故……………………4分（注如果写出不给分）(ii)由（1）可知：，，仅满足一个不等式，判断流水线M的等级为合格.………6分（Ⅱ）可知200件零件中合格品7个，次品4个，的可能取值为0,1,2，则,,，…………………10分的分布列则.……………………12分21.（本题满分12分）解：(1)∵2a＝4，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2，c＝1，b＝eq\r(3).…………3分∴椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.…………4分设点P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理，得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.…………5分∵x＝x0是方程的两个相等实根，∴2x0＝－eq\f(8k(y0－kx0),3＋4k2)，…………6分解得k＝－eq\f(3x0,4y0).…………7分∴直线l的方程为y－y0＝－eq\f(3x0,4y0)(x－x0)．…………8分令x＝0，得点A的坐标为．又∵eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，∴4yeq\o\al(2,0)＋3xeq\o\al(2,)0＝12.∴点A的坐标为(0，eq\f(3,y0))．…………9分又直线l′的方程为y－y0＝eq\f(4y0,3x0)(x－x0)，令x＝0，得点B的坐标为(0，－eq\f(y0,3))．…………10分∴以AB为直径的圆的方程为x·x＋(y－eq\f(3,y0))·(y＋eq\f(y0,3))＝0.整理得x2＋y2＋(eq\f(y0,3)－eq\f(3,y0))y－1＝0.令y＝0，得x＝±1，∴以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(－1,0)．…………12分22.（本题满分12分）解：（Ⅰ）.………………1分当时，由可得；由可得；……………2分当时，由可得，.若即，则对于恒成立；…………………3分若即，则由可得，或；由可得；……4分若即，则由可得，或；由可得.综上：当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增.………5分（Ⅱ）解：当，时，.记，则.函数有两个零点，，即方程有两个根.也就是直线与曲线有两个不同的交点.…………6分记，则，所以函数在在上单调递增；在上单调递减.又，，当时，且.…………………7分所以，