242圆的一般方程（导学案）

2.4.2圆的一般方程导学案教学目标理解圆的一般方程及其特点掌握圆的一般方程和标准方程的互化会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题教学重难点重点：理解圆的一般方程及其特点，掌握圆的一般方程和标准方程的互化．难点：会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.教学过程新课探究思考：前面我们学习直线方程时，所有的二元一次方程都可表示直线，那么，类比学习，是否所有的二元二次方程表示的就是圆呢？探究：观察以下三个方程：(1)x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0；(2)x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0；(3)x2＋y2＋2x＋2y＝0.先将它们分别按圆的标准方程的形式进行配方，分析它们分别表示什么图形？按要求进行配方，并分析表示的图形：(1)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，>不表示任何图形．(2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，>表示点(－1，－1)(3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，>表示圆探究：有些二元二次方程不表示任何图形，有些表示点，有些表示圆，对于以下二元二次方程，如果它要表示圆，系数D、E、F需要满足什么条件呢？思考：分析方程②，思考：方程①表示的一定是圆吗？若要表示圆，需要满足什么条件呢？得出结论：方程①表示的不一定是圆，只有当时才能表示圆.师生：总结归纳，并得出圆的一般方程：当时，二元二次方程：此时，我们称方程:为圆的一般方程.思考：当、时，方程①分别表示什么图形？当时，方程①只有实数解，，它表示一个点；当时，方程①没有实数解，它不表示任何图形．思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，重“形”；圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显，重“数”，这两个方程充分体现了数形结合思想的具象提现.应用新知例4求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．预设：设圆的方程是．①因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于，，的一个三元一次方程组解这个方程组，得所以，所求圆的方程是．由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径．思考：与P83页例2的方法比较，你有什么体会？面对两次使用待定系数法，学生通过解题过程的分析与比较，体会其中的相同点和不通点，并得出结论：都是用待定系数法求圆的方程，只是设的方程形式不同，待定的系数不同.师生：结合两次使用待定系数法，总结待定系数法求圆的方程的步骤：①设：根据题意，设圆的标准方程或一般方程；②列：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值；④代：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解；跟踪练习：的三个顶点分别是，，，求的外接圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径．预设：设圆的方程是．①因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于，，的一个三元一次方程组解这个方程组，得所以，所求圆的方程是．由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径．例5已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．知识小贴士：点的运动轨迹是指点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）．师生：共同分析；如图，点运动引起点运动，而点在已知圆上运动，点的坐标满足方程．建立点与点坐标之间的关系，就可以利用点的坐标所满足的关系式得到点的坐标满足的关系式，求出点的轨迹方程．预设：设点的坐标是，点的坐标是．由于点的坐标是，且是线段的中点，所以，于是有，．①因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即．②把①代入②得．整理，得．这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．教师：这种求动点轨迹方程的方法称之为相关点法师生：共同总结分析，用相关点法求动点轨迹方程的有哪些步骤：①设坐标：设所求动点坐标为，另一动点为；②找关系：根据已知条件找到与、与的等式关系；③代方程：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程；④标准化：将所得新的方程进行整理成标准化方程；跟踪练习：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．预设：设点的坐标是，点的坐标是．由于点的坐标是，且是线段的中点，所以，于是有，．①因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即．②把①代入②得．整理，得．这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为的圆．能力提升题型一：根据圆的一般方程，求圆心坐标和半径例题1、求下列圆的圆心坐标和半径.

预设：（1）因为，整理得：，所以，圆心坐标为：，半径为2.（2）因为，整理得：，所以，圆心坐标为：，半径为.方法总结：方法一：先将一般方程按照圆的标准方程的形式配方好，然后写出圆心坐标和半径即可；方法二：记住圆心坐标公式和半径公式，代入计算而得.题型二：根据圆的一般方程求参数（值）范围例题2，若方程表示圆，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．.预设：因为方程表示圆，所以，即，解得；故选：D方法总结：利用圆的条件，建立不等式，解不等式即可得解题型三：直接法求动点的轨迹方程例题3，已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，求动点P的轨迹方程.预设：设，因为，所以，又因为直线与直线的斜率之积为，所以，整理得.思考：为何要x≠±2？学生：可以从如果x=2和x=2，会得出怎样的结论？从而得出答案：当x=2时，直线PB的斜率不存在，不合题意当x=2时，直线PA的斜率不存在，不合题意方法总结：直接法求动点的轨迹方程的步骤：①设坐标：设所求动点坐标为(x,y)；②符号化：将已知条件中的等式关系符号化：即用含x与y式子表示等式；③标准化：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程；④剔点：剔除不满足题意的点，比如斜率不存在，不能构成三角形等；课堂小结随堂限时小练判断列方程能否表示一个圆？：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2＋xy＋y2＋6x＝0；(3)2x2＋2y2－3x＋4y＋16＝0；(4)3x2＋3y2－2x＋4y－9＝0.分析：要判断一个方程是否表示圆，关键是看如下三点：(1)x2和y2的系数相同，但不等于零；(2)没有xy这样的二次项；(3)D2＋E2－4F>0.预设(1)x2，y2的系数不相等，故(1)表示的不是圆．(2)方程含有xy项，故(2)表示的不是圆．(3)原方程可化为.故(3)构不成任何图形，不是圆．(4)原方程可化为,∴(4)表示一个圆．2、圆的半径等于（

）．A． B． C． D．预设：把圆化为标准方程得，圆，所以圆的半径为．故选：B．3、若方程表示圆，则下列四个数中不能取的是（

）A． B． C． D．预设：方程表示圆，，或，不能取，故选：A4、已知圆过，，三点，求圆的一般方程.预设：设圆的方程为，由题意得，解得，，．圆的方程是．5、已知O为坐标原点，P在圆C：(x－2)2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．预设：设点M坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，O点坐标为(0，0)，由中点坐标公式，可得x＝eq\f(x0＋0,2)，y＝eq\f(y0＋0,2).于是x0＝2x，y0＝2y.①∵点P在圆(x－2)2＋y2＝1上运动，∴点P的坐标满足方程(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2)2＋y02＝1.②把①代入②，得(2x－2)2＋(2y)2＝1，整理，得(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4).∴点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4)6、已知点的坐标分别为，直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是1，求点的轨迹方程.预设：设，直线的斜率为，直线的斜率为，有直线的斜率与直线的斜率的差是1，所以，通分得：，整理得：，即点的轨迹方程为.课后作业布置作业1：完成教材：第88页练习1,2,3,4作业2：配套辅导资料对应的《圆的一般方程》课后作业答案练习（第88页）1．求下列各圆的圆心坐标和半径：（1）；（2）；（3）．解析：（1）圆心坐标为，半径长为3；（2）圆心坐标为，半径长为；（3）圆心坐标为，半径长为．2．判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由：（1）；（2）；（3）．解析：（1）方程表示一个点；（2）方程表示圆心坐标是，半径长是的圆；（3）当时，方程表示圆心坐标是，半径长是的圆；当时，方程表示一个点．3．如图，在四边形中，，，且，，与间的距离为3．求等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．解析：（方法1)由题意可知，，，设所求圆的方程为．则，解得．故所求圆的方程为，其圆心坐标为，半径长为．(方法2)由题意，可得点的坐标是，点的坐标为，线段的中点坐标是，直线的斜率，线段的垂直平分线的方程是，与方程联立，解得，所以四边形外接圆的圆心的坐标是，半径长为，所以四边形的外接圆的方程是，这个圆的圆心坐标为，半径长为．习题2.4（第88页）1．求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形：（1）；（2）；（3）；（4）．解析：（1）圆的圆心坐标是，半径长；（2）圆的圆心坐标是，半径长；（3）圆的圆心坐标是，半径长；（4）圆的圆心坐标是，半径长．2． 求下列各圆的方程，并画出图形：（1）圆心为点，且过点；（2）过，，三点．解析：（1）半径长，圆的方程是．（2）（方法1)设经过，，三点的圆的方程为．①把，，的坐标分别代入①，得，解此方程组，得．所以，经过，，三点的圆的方程是．（方法2)设圆的方程为，则，解得，所以圆的方程为．（方法3)已知，，，所以，，的中点坐标为，的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，的垂直平分线方程为，即．由，解得所以圆心坐标为，半径，所以经过，，三点的圆的方程是．3．已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，求圆的标准方程．解析：（方法1）设所求圆的方程为，由题设，得，解此方程组，得，所以，所求圆的标准方程是．（方法2）因为圆心在直线上，所以可设圆心的坐标为．因为圆经过原点和点，所以．即，解得．所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为．说明：本题也可以先求出线段的垂直平分线的方程，然后与方程联立，求出圆心坐标为，再求出半径长，从而求出圆的标准方程．4．圆的圆心在轴上，并且过和两点，求圆的方程．解析：由题设，线段的中点坐标是，直线的斜率．所以线段的垂直平分线的方程是与轴的方程联立，解得，即圆心的坐标是，半径长．所以所求圆的方程为．5．已知圆的一条直径的端点分别是，，求证此圆的方程是．证明：（方法l)因为直径的两个端点为，，所以圆心坐标和半径长分别为，．所以圆的方程，化简得．（方法2)设是圆上不同于，的任意一点由知，，即①反过来，坐标满足①式的点，一定满足，即该点在以为直径的圆上．又因为点，的坐标也满足上式，所以所求圆的方程为．6．平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？解析：是．设经过，，三点的圆的方程为．①把，，的坐标分别代入①，得，解此方程组，得，所以经过，，三点的圆的标准方程是．把点的坐标代入上面方程的左边，得．所以点在经过，，三点的圆上，即，，，四点在同一个圆上．7．已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点的轨迹方程，并说明它是什么图形．解析：如图，根据题意，等腰三角形的底边另一个端点在以为圆心，经过点的圆上，且除去点以及点关于点对称的点．设与点关于点对称的点是，则有，解得，所以点关于点对称的点是．又．所以的轨迹是圆且，．8．长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解析：如图，设线段的中点为，点运动时，到原点的距离为定长，即的斜边上的中线长．因为，即点的轨迹是以为圆心，为半径长的圆．根据圆的标准方程，点的轨迹方程为．9．已知