百校联盟TOP20四月联考全国一卷数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．设复数满足，则（）A．B．C．D．3．已知是所在平面内一点，且，，则（）A．2B．1C．D．4．把不超过实数的最大整数记作，则函数称作取整函数，又叫高斯函数.在上任取，则的概率为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则的值变动时，输出的值不可能是（）A．B．9C．11D．136．已知点是双曲线：的左，右焦点，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若的面积为4，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．288．已知定义域为的函数满足，且时，，若且，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.9．已知实数满足约束条件，若，的取值范围为集合，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知数列满足，且数列是以8为公差的等差数列，设的前项和为，则满足的的最小值为（）A．60B．61C．121D．12211．已知，若直线与的图象有3个交点，且交点横坐标的最大值为，则（）A．B．C．D．12．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，若，则实数的值为.14．已知的展开式中所有偶数项系数之和为496，则展开式中第3项的系数为.15．已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是.16．已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列满足，，设.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单就会增加，下表是某餐饮店从外卖数据中抽取的5天的日平均气温与外卖订单数.（1）经过数据分析，一天内平均气温与该店外卖订单数（份）成线性相关关系，试建立关于的回归方程，并预测气温为时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）；（2）天气预报预测未来一周内（七天），有3天日平均气温不高于，若把这7天的预测数据当成真实数据，则从这7天任意选取3天，预测外卖订单数不低于160份的天数为，求的分布列与期望.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.19．如图，在几何体中，底面是平行四边形，，，平面，与交于点.（1）求证：平面；（2）若平面与平面所成的锐二面角余弦值为，求线段的长度.20．已知动圆与直线相切，且与圆外切.（1）求动圆圆心轨迹的方程；（2）若直线：与曲线交于两点，且曲线上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围及的取值范围.21．已知.（1）若的图象在处的切线与的图象也相切，求实数的值；（2）若有两个不同的极值点，求证：.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线过点，求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求的最大值.23．选修45：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若（）对任意恒成立，求证：.数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案DBCDCC科_网]ABABBC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．114．27015．16．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：(Ⅰ)由,得，代入得，即，所以数列是公差为3的等差数列，又，所以，即，所以，所以.(Ⅱ)由得，所以，，两式相减得所以.18．(Ⅰ)由题意可知，，，，所以，，所以关于的回归方程为当时，.所以可预测当平均气温为时，该店的外卖订单数为193份.（Ⅱ）由题意知，的取值可能为0，1，2，3.，，，所以的分布列为.19．解：(Ⅰ)取中点，连接，在中，是的中点，是的中点，所以，又，所以所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，故平面.（Ⅱ）由，，可得，所以，又平面，故以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，，所以，，.设平面的一个法向量，则即，取得，设平面的一个法向量，则即，取得，设平面与平面所成的锐二面角为，则，整理得，解得或，所以或.20.解：(Ⅰ)圆化为标准方程为，设动圆圆心坐标为，由动圆与直线相切，且与圆外切，得，两边平方整理得.所以动圆圆心轨迹的方程为.(Ⅱ)与联立得，，因为直线与曲线交于两点，所以，解得，①设，则，，所以，因为点关于直线对称，设直线方程为，与联立得，,由，得，设，中点则，因为点也在直线上，所以，所以，代入得，②由①②得，实数的取值范围为.又，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是.21．解：(Ⅰ)因为，所以所以，，所以的图象在处的切线方程为，即，与联立得，，因为直线与的图象相切，所以，解得.(Ⅱ)，，若，是增函数，最多有一个实根，最多有一个极值点，不满足题意，所以，由题意知，两式相减得，由，设，则，要证，即证时，恒成立，即恒成立，即恒成立，设，则，所以在上是增函数，所以，所以时，恒成立，即.22.解：(Ⅰ)由直线过点，得所以，结合，得，所以直线的参数方程为（为参数），消去，得，把，代入得