12因数和倍数（分层练习）

1.2因数和倍数分层练习1.5和8是40的（

）．A．因数 B．素因数 C．合数 D．素数【答案】A【分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除（），就叫做的倍数，就叫做的因数．【详解】∵40=5×8，∴8和5是40的因数，故选A．2.下列说法错误的是…………………（）A．4是4的因数，4也是4的倍数；B．13的因数只有1和13；C．42是6的倍数，也是7的倍数；D．一个自然数的倍数是有限的，它的因数是无限的.【答案】D【分析】根据因数与倍数的概念直接进行解答即可．【详解】解：一个整数的倍数是无限的，因数是有限的.所以D是错误的.3.下列说法中正确的是（

）A．任何正整数的因数至少有两个 B．1是所有正整数的因数C．一个数的倍数总比它的因数大 D．5的因数只有它本身【答案】B【分析】根据因数与倍数的概念直接进行解答即可．【详解】A、任何正整数的因数至少有两个是错误的，反例：1的因数只有1；B、1是所有正整数的因数，故正确；C、一个数的倍数总比它的因数大是错误的，例如：5的其中一个倍数是5，一个因数是5，这两个相等；D、5的因数有1和5，故错误；故选B．4.10的因数有_______．【答案】1、2、5、10【分析】先写出10的因数：10=1×10=2×5，因此10的因数有1，2，5，10，解答即可．【详解】解：10的因数有：1、2、5、10．故答案为：1、2、5、10.5.在6，12，，，，，中_________________既是的因数，又是3的倍数．【答案】6，15，30.【分析】根据3的倍数必须所有数字和是3的倍数找出是3的倍数的数字，在用除以数字能被整除的就是的因数，即可得到答案；【详解】解：由题意可得，6，12，15，18，20，24，30中是3的倍数的是6，12，15，18，24，30，其中：，，，，，，∴既是30的因数，又是3的倍数有：6，15，30，故答案为：6，15，30.6.16的所有因数的和是_________．【答案】31【分析】先写出16的所有因数，再求和．【详解】解：16的因数有：1，2，4，8，16．，故答案为：31．7.一个整数的最小倍数是200，则这个数是________．【答案】200【分析】一个数的最小倍数就是它本身，即可得到答案．【详解】解：一个整数的最小倍数是200，则这个数是200，故答案为：200．8.一个整数最小的因数是______，最小的倍数是______．【答案】【分析】根据因数的定义以及有理数的乘法即可得到结果【详解】∵任何数乘以都等于它本身，∴整数最小的因数是，最小的倍数是，故答案为：，9.既是的倍数又是的因数的数是_________．【答案】【分析】直接根据因数与倍数进行求解即可．【详解】由是的倍数，的最大因数是，的最小倍数是，既是的倍数又是的因数的数是；故答案为．10.正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是______．【答案】0【分析】找到16的最小倍数和最大因数，相减即可．【详解】解：正整数16的最小倍数是16，它的最大因数也是16，，故答案为：0．11.，则的因数有_________个．【答案】【分析】根据因数的定义及求法即可直接得到答案．【详解】解：，的因数有，共个因数，故答案为：．12.将1到20中满足条件的数填入适当的圈内．【答案】8、12、16；1、2、5、10；4、20．【分析】分别找出20以内4的倍数与100的因数，即可得解.【详解】解：20以内的数是4的倍数的数有4、8、12、16，20，20以内的数是100的因数的数有1、2、4、5、10、20，∴4的倍数但非100的因数的是：8、12、16；100的因数但非4的倍数的是1、2、5、10；4的倍数又是100的因数的是4、20.13.规定一个新运算：对于不小于3的正整数n，表示不是n的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以；再如8的因数是1、2、4和8，所以等等，请你在理解这种新运算的基础上，求_______________．【答案】9【分析】根据题意可得，，然后求解即可．【详解】解：因为6的因数为1、2、3、6，故，因为24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24，故，故．故答案为：9．14.一个长方形的面积是24平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形周长为______厘米．【答案】20或22或28或50【分析】根据长方形面积公式为：长乘以宽，将24写成两个整数的积为24，找出所有满足乘积为24的两个整数，即可．【详解】∵长方形面积=长×宽，长和宽都是整厘米数∴满足条件的长方形有：；；；∵周长=（长＋宽）×2∴满足条件的长方形的周长为：、、、．故答案为：20或22或28或50．15.，都是整数，大于，且，那么的最大值为()，最小值为()．【答案】2008，8【分析】都是2009的因数，先找出2009的所有因数，要使得最大，那么取最大的因数2009，取最小因数1即可；求的最小值，则两个因数最接近即可．【详解】解：因为，都是整数，大于，，所以的最大值为，最小值为，故答案为：2008，8．1.小明在玩密室时，发现一个保险箱，其设有一个六位数的密码是：ABCDEF主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A是5的最大因数；B的所有因数是1，2，4，8；C是最小的自然数；D只有一个因数；E是2；F既是9的因数又是9的倍数．你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？并说明你推理的理由是什么．【答案】密码是580129，理由见解析【分析】根据因数、自然数、倍数的性质计算，即可得到答案．【详解】∵A是5的最大因数∴A是5∵B的所有因数是1，2，4，8∴B是8∵C是最小的自然数∴C是0∵D只有一个因数∴D是1结合题意，E是2∵F既是9的因数又是9的倍数∴F是9∴这个六位数的密码是：580129．2.一个数的最小倍数与最小因数的差为35，写出这个数的所有因数．【答案】36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36．【分析】先根据因数与倍数的定义求出这个数，然后再求这个数的因数即可．【详解】解：一个数的最小倍数是本身，最小的因数是1，因为一个数的最小倍数与最小因数的差为35，所以这个数为36，因为36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，所以36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36．3.一个大于1的自然数a，只有两个因数，那么3a有几个因数?【答案】3个或4个【分析】对3a进行因式分解，再对3、a的大小进行分类讨论.【详解】解：3a=3×a=1×3a，所以，若四个因数各不相等，则因数有4个，分别为1、3、a、3a；若3=a，则因数有3个，分别为1、3、3a=9；若3a=3，1=a，不符合题意，舍.所以，因数有3个或4个4.已知n个自然数之积是，这n个自然数之和也是，那么n的值最大是___________．【答案】【分析】为了构造和与积都等于的一组自然数，首先把拆成若干个整数之积，然后把和不足的地方用1补足．容易看出来，拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添加的1也就越多．【详解】解：的质因数分解式是，，还需要补个1；，那么n的值最大是．故答案为：．5.有一个自然数，用它分别去除25、38、43，三个余数之和为18，这个自然数是几？【答案】11【分析】根据倍数与约数进行分析推理即可得解．【详解】解：∵25、38、43中，最小数为25，∴所求数显然小于26，又由可知，所求数大于6．∴，∴88是所求数的整倍数，推知所求数是8、11或22．∵，，，∴，∴所求数不是8；∵，，，∴，∴所求数是11；∵，，，∴，∴所求数不是22综上所述，这个自然数是11．6.如果用表示a的全部因数的和，如，那么______．【答案】【分析】根据题意即可求得及的值，据此即可求得．【详解】解：，，，故答案为：．1.阅读以下材料：若关于的三次方程（为整数）有整数解，则将代入方程，得．，∵a,b,n都是整数，都是整数，是的因数，上述过程说明：整数系数方程的整数解只能是常数项的因数．如：∵方程中常数项的因数为和，将和分别代入方程，得是该方程的整数解，，1，2，不是方程的整数解．解决下列问题：(1)根据上面的学习，方程的整数解可能是__________________________．(2)请根据材料中的方法，判断方程有整数解吗？若有，求出整数解；若没有，请说明理由．【答案】(1)，(2)该方程的整数解为【分析】（1）认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程的整数解只可能是的因数”，即可得到答案；（2）根据题目给出的材料，对方程进行变形求解即可得到答案．【详解】（1）解：由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是5的因数，而5的因数只有：，这四个数，故答案为：，；（2）解：根据题意得：，为整数，为6的因数，6的因数为：和和和，将和和和分别代入，得是该方程的整数解，，2，，3，，6，不是方程的整数解，该方程的整数解为．2.甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2．甲、乙两数之和是478，那么甲、乙、丙三数之和是多少？【答案】