专题02压轴小题中函数性质的灵活应用讲义教师版

专题02压轴小题中函数性质的灵活应用讲义【考情分析】函数是整个高中数学的核心内容，高中数学内容就是围绕这一主线考查。函数性质(单调性，奇偶性，周期性，对称性)更是高考必考内容，常与方程、不等式等其他知识结合考查，而且考查的形式不一，简单的题目也有出现，但是压轴题目是肯定会对函数性质进行考查的。【知识总结】(一).函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称1．函数奇偶性的几个重要结论(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(−x)f(x)②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(−x)f(x)(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(5)在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性．(6)若y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(－x＋a)＝－f(x＋a)⇔f(x)关于点(a,0)对称；若y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(－x＋a)＝f(x＋a)⇔f(x)关于直线x=a对称．(7)奇函数的最值：若奇函数f(x)在区间D上有最值，则fmzx(二).函数的周期性1.如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．3.周期性的几个常用结论(1)f(x+a)=−f(x)+t(t∈R(2)f(x+a)=kf(x)(3)f(x+a)=1−f(x)1+f(x)，则T=2a(5)若f(x+2a)=f(x+a)−f(x),则T＝64.函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数；口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。)(1)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．(2)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．(3)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．5.函数周期性的应用：若T是函数f(x)的一个周期(1)单调区间：f(x)在区间(a,b)(b−a≤T(2)f(x)周期为，如果f(x)存在一条对称轴，则f(x)存在无数条对称轴，其通式为x=a+kT如果f(x)存在一个对称中心(a,0)，则f(x)存在无数个对称中心，其通式为(a(三)函数的对称性1.轴对称(1)如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝a+b(2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)f⇔(2a＋x)＝f(－x)2.函数的点(中心)对称(1)若y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a－x)+f(x)=2b⇔f(2a＋x)+f(－x)=2b推论：若y＝f(x)关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)(2)f(x＋a)+f(b－x)=c⇔y＝f(x)关于点(a3.两个函数图象的对称(1)若f(x)与g(x)关于直线x=a对称，则g(x)=f(2特殊地：若f(x)与g(x)关于y轴对称，则g(x)=f(−x)(2)若f(x)与g(x)关于直线y=b对称，则g(x)=2b−f(x)若f(x)与g(x)关于x轴对称，则g(x)=−f(x)(3)若f(x)与g(x)关于点P(a,b)对称，则特殊地：若f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)=−f(−x)(四).函数的单调性:函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的1.单调性、单调区间的定义(1)若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．(2)单调区间是定义域的子集，故应树立“定义域优先”的原则．(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；(4)如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2.函数单调性常用结论(1)增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(xy＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x(2)单调性的运算性质①函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．②若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．③在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与y=fn(x)④在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y=1⑤若f(x)，g(x)均为区间D上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间D上的增(减)函数．⑥若f(x)，g(x)均为区间D上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间D上的增(减)函数．3.复合函数的单调性:复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．4.对勾函数与飘带函数的单调性对勾函数：f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(ab＞0)(1)当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－ba]，[ba，＋∞)上是增函数，在[－ba，0)，(0(2)当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－]ba，[ba，＋∞)上是减函数，在[－ba，0)，(0飘带函数：f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(ab＜0)(1)当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；【考点题型】题型一：函数单调性的灵活应用【例11】若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数在R上单调递减，可得，解得，故选：D.【例12】函数在上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数为复合函数，令，为增函数，故只要在上为增函数即可，只要：，解得：，故选：A.【例13】已知是定义在R上的函数，满足.都有，且在上单调递增.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为函数满足，所以函数是是奇函数，所以，又因为，;所以;又在上单调递增，所以，即，故选：B【对点训练1】1.，且，则以下结论正确的是A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以函数的单调递减函数，又因为，即，所以由函数的单调性可得：，答案D．2.若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．【答案】【详解】设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以．故答案为:3.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】∵在上单调递增，∴，解得;故选：B.题型二：函数奇偶性的灵活应用【例21】已知函数，下列结论正确的是（

）A．为偶函数B．为非奇非偶函数C．在上单调递减D．关于直线对称【答案】A【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称,所以为偶函数，所以选项A正确，选项B错误；当时，，令所以令得令得所以此时函数的单调递减区间为，所以选项C错误；，，即的图象不关于直线对称，所以选项D错误.故选：A【例22】已知分别是上的偶函数和奇函数，且，则A.B.C.1D.3【答案】C【解析】分别令和可得和,因为函数分别是定义在上的偶函数和奇函数,所以,即,则,故选C.【例23】(多选)已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（

）A．是偶函数 B．的图象关于直线x=1对称C．是奇函数 D．的图象关于点(3,0)对称【答案】CD【详解】由得2是的周期；由是奇函数，所以关于点对称，故也关于点(3,0)对称，D正确；所以，，所以是奇函数，C正确；故选CD。【对点训练2】1.上的满足：对任意有则下列说法一定正确的是A．为奇函数B．为偶函数C．为奇函数D．为偶函数【答案】C【详解】x1=x2=0，则，，令x1=x，x2=x，则，所以，即，为奇函数，故选C.2.设函数,则使成立的的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【详解】，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.3.是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为，则实数的值为________．【答案】【详解】由题意可知，因为，所以，所以，因为函数是定义域为的奇函数，所以.因为函数在上的最小值为;当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；当时，取得最小值为，所以，解得（舍），当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；当时，取得最小值为，所以，解得，当时，由对勾函数的性质知，函数在上单调递增；在上单调递减；当时，取得最小值为，所以，解得（舍），综上，实数的值为；故答案为：.题型三：函数对称性的灵活应用【例31】已知函数，则A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称【答案】C【详解】，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数单调性知在上递增，在上递减，所以A，B错误，故选C．【例32】函数f（x）=的大数图象为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】函数满足，所以是奇函数，关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.【例33】在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是A．B．C．D．【答案】A【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.又时，，所以函数的图象如图所示.再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．【对点训练3】1.已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：①的图象关于对称；②的图象关于对称；③在内至少有个零点；④若在上单调递增，则它在上也是单调递增．其中正确的是（

）A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④【答案】C【详解】因为且是定义在上的奇函数，则，故函数是周期为的周期函数，且，所以，，故函数的图象关于对称，①错误，②正确；由题意可知，，因为，令，可得，即，所以，，从而，故函数在内至少有个零点，③正确；因为，，且函数在上单调递增，则函数在上也为增函数，故函数在上也是单调递增，④正确；故选：C.2.设函数则使得f()>f(3x1)成立的x的取值范围是___________.【答案】【详解】由题得函数的定义域为R.所以函数是偶函数.当时，都是增函数，所以是增函数，所以函数在是增函数，在上是减函数;因为f()>f(3x1)，所以.故答案为：3.函数的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意可知，函数的定义域为，且满足，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C；又时，，时，，排除B，故选D．题型四：函数周期性的灵活应用【例41】是上的奇函数，对任意都有，当时，，则A． B． C． D．【答案】A【详解】函数满足任意的都有，则，则周期为，，;又由函数是定义在上的奇函数，则，时，，则，则；故；故选A．【例42】上的奇函数满足，当时，，则（

）A．3 B．0 C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以的周期为4，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，又因为在中，令，得，所以，又当时，，所以令，，所以.故A，B，C错误；故选：D.【例43】满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是A． B．C． D．【答案】B【详解】∵函数满足，∴=，∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），;又为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）;即f（3.5）＜f（4.5）＜f（12.5）;故选B．【对点训练4】1.R上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系A． B．C． D．【答案】C【详解】∵函数f（x）满足：①f（2﹣x）＝f（x），故函数的图象关于直线x＝1对称；②f（x+4）＝f（x），故函数的周期为4；③x1，x2∈[1，3]时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0．故函数在[1，3]上为减函数；故f（2018）＝f（2），f（2019）＝f（3），f（2020）＝f（0）＝f（2），故f（2020）＝f（2018）＞f（2019），故选C．2.已知函数，则（）A．在单调递增 B．在单调递减C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】C【详解】对于函数，，解得，则函数的定义域为，且，由于内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，外层函数为增函数，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，A、B选项均错；，所以，函数的图象关于直线对称，C选项正确；由上可知不恒为零，所以，函数的图象不关于点对称，D选项错误;故选：C.3.设函数是定义域为的奇函数，且，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得的图象关于直线对称，即又函数是定义域为的奇函数，则，所以;即，所以;所以是周期为4的周期函数;所以;故选：D题型五：函数性质的综合应用【例51】(多选)已知函数，则（

）A．在单调递增B．在单调递增，在单调递减C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【答案】BC【详解】函数的定义域满足，即，即函数的定义域是，∵，设，则函数在单调递增，在单调递减，又单调递增，由复合函数单调性知在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；因为,,所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；又，，所以，所以D错误．故选：BC．【例52】，则（）A．4040 B．4038 C．2 D．9【答案】B【详解】，则;故选：B【例53】函数，则的图象在内的零点之和为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】由可得，则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，又函数与函数的图象都关于点对称，作出与的大致图象可知在内有四个零点，则零点之和为4．故选：B.【例54】(多选)(2023·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是()A．g(2)＝1B．g(0)＝1C．不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0)D．g(－1)＋g(2)<2【答案】BCD【详解】∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位长度即