2024-2025学年江苏省南京市玄武区科利华中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京市玄武区科利华中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是(

)

A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定2.一元二次方程x2−6x−1=0配方后可变形为(

)A.x+32=10 B.x+32=8 C.3.某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，四至六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为(

)A.251+x+251+2x=109 B.251−x24.如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC.过BC⌢上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F.若∠A=90∘，▵AEF的周长为4，则BC的长为A.2 B.2C.4 D.45.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，且满足4a−2b+c=0.则A.b=a

B.c=2a

C.a(x+2)2=06.如图，在⊙O中，直径AB为8，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为A.12 B.24 C.36 D.40二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。7.写出以−1，2为根的一元二次方程

．8.已知x=1是方程x2−3x+c=0的一个根，则实数c的值是

．9.如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D=35∘，则∠C=

 ∘

10.已知AB是圆O的一条弦，且AB=OA，则弦AB所对的圆周角是

．11.若直角三角形的两边a、b是方程x2−7x+12=0的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r =

．12.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是

cm．

13.如图，▵ABC中，∠C=90∘,AC=5,AB=13,D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为

．

14.关于x的方程x+m−12=b(m,b为常数，且b>0)的解是x1=−1，x2=4，则关于x的方程15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为OB上一点，E、C关于BD对称，∠ODE=30∘，则∠C=

°.

16.我们知道任意三角形都存在内切圆．同样的，一些凸四边形也存在内切圆．我们规定：存在与凸四边形的三条边相切的圆叫四边形的伪内切圆．以下结论正确的是：

．①凸四边形必存在伪内切圆；②当平行四边形只存在1个伪内切圆时，它的对角线一定相等；③矩形伪内切圆个数可能为1、2、4；④当且仅当四边形对角线互相垂直平分且相等时，该四边形的伪内切圆与内切圆重合．三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.用适当的方法求解下列方程：(1)x(2)2x(3)x(4)x−2四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程(m+1)x2(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．19.(本小题8分)小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为60cm，宽为24cm，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的92020.(本小题8分)如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC=90∘，直线CD为

(1)若∠B=30∘,AC=2(2)试说明：2∠B+∠DAB=18021.(本小题8分)如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF=EF，连接EF．

(1)求证：EF为⊙O的切线；(2)若OD=1且BD=BF，求⊙O的半径．22.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC,PD，切点分别为C，D，连接OP,CD．

(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD,BC，若∠DAB=50∘，∠CBA=70∘，23.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PD恰好经过圆心O，连接PB．

(1)若CD=8，BE=2，求⊙O的周长；(2)若∠P=∠D，点E是AB的一个四等分点吗？为什么？24.(本小题8分)请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程x2+5x−14=0，即x(x+5)=14的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是(x+x+5)2，其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+5)=14，中间的小正方形面积为52任务：(1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2−3x−10=0解法的正确构图是

(从序号①②③中选择)．(2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程x2+2x−15=0的正数解(25.(本小题8分)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD．

(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=26∘，请求出(3)如图2，如果AD=6，DB=4，那么AC的长为

.(直接写出答案)26.(本小题8分)【操作体验】如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1所以图中P1,(1)在图②中，连接P1A,(2)【方法迁移】如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，(不写做法，保留作图痕迹)．(3)【深入探究】已知矩形ABCD，BC=2.AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m的取值范围为

．(4)已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为

．

参考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.C

6.B

7.x2−x−2=0(答案不唯一8.2

9.55

10.30∘或15011.1或7−1212.18

13.301914.x115.130

16.①

17.【小题1】解：∵∴(x−3)(x+1)=0，∴x−3=0或x+1=0，∴x【小题2】解：2x∵a=2,b=3,c=−1，∴Δ=3∴x=−3±∴x=−3±∴x【小题3】解：∵x∴x∴x∴x−3∴x−3=±2∴x【小题4】解：∵x−2∴x−2∴x−2∴x−2=0或x−2−3=0，∴x

18.【小题1】∵关于x的一元二次方程(m+1)x∴m+1≠0且Δ>0，∵Δ=(2m)∴2m+3>0，解得m>−3∴m的取值范围是m>−32且【小题2】在m>−32且m≠−1的范围内，最小奇数m为此时，方程化为x2∵Δ=b∴x=−1±∴方程的根为x1=−1+

19.解：设装裱后左右两边的边宽为xcm，则天头长与地头长为5xcm，60+2×5x24+2x整理得：x2解得：x1=4,x答：装裱后左右两边的边宽为4厘米．

20.【小题1】连接AC，

∵AB是⊙P的直径，∴∠ACB=90∵∠B=30∘∴AB=2AC=4，∴⊙P的半径为2．【小题2】连接CP，如下图：

∵直线CD为⊙P的切线，∴∠DCP=90∵∠ADC=90∴∠ADC+∠DCP=180∴CP//AD，∴∠CPA+∠DAB=180∵CP=PB，∴∠B=∠PCB，∴∠CPA=2∠B，∴2∠B+∠DAB=180

21.【小题1】证明：如图，连接OE，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵DF=EF，∴∠FED=∠FDE，∵∠FDE=∠CDO，∠CDO+∠OCD=90∴∠FED+∠OEC=90∘，即∴OE⊥EF，∵OE是半径，∴EF为⊙O的切线；【小题2】解：设⊙O的半径EO=BO=r，则BD=BF=r−1，∴FE=FD=2BD=2r−2，∴OF=2r−1．在Rt▵FEO中，由勾股定理得，FE∴2r−2解得r=3，或r=1(舍去)，∴⊙O的半径为3．

22.【小题1】证明：连接OC,OD，则OC=OD，

∵PD,PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90在Rt▵ODP和Rt▵OCP中，OD=OC∴Rt▵ODP≌Rt▵OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；【小题2】解：如图，

∵OA=OD=OC=OB=2，∠DAB=50∘，∴∠ADO=∠DAO=50∴∠AOD=80∴∠COD=60∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=2．

23.【小题1】设⊙O的半径为R，∵AB⊥CD，AB过O，CD=8，∴∠OED=90°，CE=DE=4，在Rt△OED中，由勾股定理得：ODR2解得：R=5，即⊙O的半径为5，∴⊙O的周长为2π×5=10π；【小题2】若∠P=∠D，点E是AB的一个四等分点，理由是：设PB和CD交于F，连接OF，∵AB⊥CD，AB过O，∴BC∵∠P=∠D，∴PC∴PC∵PD过O，∴PC、BC、BD的度数是1∴∠P=∠D=30°，∴∠BFD=∠P+∠D=60°，∵AB⊥CD，∴∠OEF=∠FEB=90°，∴∠FBE=180°−90°−60°=30°，∵∠P=∠D，∴PF=DF，∵PO=DO，∴∠PFO=∠DFO=1∴∠FOB=180°−60°−90°=30°=∠FBE，∴OF=BF，∵CD⊥OB，∴OE=BE，∵AO=BO，∴点E是AB的一个四等分点，即当∠P=∠D时，点E是AB的一个四等分点．

24.【小题1】【空1】②【小题2】首先构造了如图2所示的图形，图中的大正方形面积是x+x+22，其中四个全等的小矩形面积分别为xx+2=15所以大正方形的面积又可表示为4×15+2进一步可知大正方形的边长为8，所以x+x+2=8，解得x=3.

25.【小题1】解：设D在原来弧上的对应点为D′，连接DD′、AD′，∵点D和点D′关于AC对称，∴DD′⊥AC，DE=1∵点D与圆心O重合，∴AE=1设OA=OD′=r,OE=1在Rt▵AOE中，AE即32解得：r1=∴求出半径为3

【小题2】解：设D在原来弧上的对应点为D′，连接CD′、AD′