2.4 圆的方程(分层练习)（解析版）

第二章直线和圆的方程2.4圆的方程精选练习基础篇基础篇方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以−2,3为圆心，4A．4,−6,3 B．−4,6,3C．−4,6,−3 D．4,−6,−3【答案】D【分析】先求得圆的标准方程，再转化为一般方程，从而求得D,E,F.【详解】以−2,3为圆心，4为半径的圆的标准方程为x+22即x2+y2+4x−6y−3=0已知直线l:mx+y−1=0m∈R是圆C:x2+yA．1 B．−1C．2 D．3【答案】A【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据圆心在直线l上可求得结果.【详解】由圆C方程得：圆心C2,−1∵直线l是圆C的对称轴，∴圆心C在直线l上，即2m−1−1=0，解得：m=1.故选：A.若当方程x2+y2+kx+2y+k2A．π2B．π4C．3π4 【答案】C【分析】首先将圆的一般方程化为标准方程，并求半径最大时，k的值，并求此时直线的斜率和倾斜角.【详解】x2+y所以k=0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，所以倾斜角为3π4故选：C直线l过圆C:x+32+y2=4的圆心，并且与直线A．x+y−2=0 B．x−y+2=0 C．x+y−3=0 D．x−y+3=0【答案】D【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.【详解】由(x+3)2+y又因为直线l与直线x+y+2=0垂直，所以直线l的斜率为k=1，由点斜式得直线l:y−0=x+3，化简得直线l的方程是x−y+3=0．故选：D．与圆x2+y2−6x+2y+6=0A．(x−3)2+(y+1)C．(x−3)2+(y+1)【答案】C【分析】先求得已知圆的圆心，根据圆心设出要求的圆的标准方程，然后将点(1，−1)代入即可求得半径，则方程可解．【详解】圆x2+y故设要求的圆的方程为x−32将点(1，−1)代入x−32+y+12=故要求的圆的方程为x−3故选：C以A0,0，B2,0为直径两端点的圆的方程为（A．x2+yC．x2+y【答案】A【分析】由中点坐标公式求出圆心坐标，两点间距离公式求出圆的直径，得解.【详解】∵A0,0，B2,0，∴AB的中点坐标为∴以AB为直径的圆的圆心为1,0，又AB=2，∴∴以AB为直径的圆的方程为x−12+y2=1圆心在y轴上，半径长为2，且过点(1,−2)的圆的方程为（

）A．xB．xC．x2+D．x2+【答案】C【解析】设圆方程为x2+(y−a)【详解】设圆心为(0,a)，则圆方程为x2+(y−a)12+(−2−a)2所以圆方程为x2+故选：C与圆C:x2+y2【答案】(x−1)【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程.【详解】圆C:x2+y2点C12,−1关于直线则所求圆的标准方程为(x−1)故答案为：(x−1)试判断A1,0，B2,1，C−2,3【答案】共圆，理由见解析【分析】先假设A、B、C三点共圆，利用待定系数法求解圆的方程，然后代入点D的坐标进行检验是否满足圆的方程即可求解．【详解】设A、B、C三点所在圆的方程为x2+则1+0+D+0+F=04+1+2D+E+F=04+9−2D+3E+F=0，解得∴圆的方程为x2代入点D(−2,1)的坐标，左边=4+1−4−1=0=右边．∴A、B、C、D四点共圆．圆x2+y2−4x−4y−10=0A．22 B．42 C．82【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.【详解】圆x2+y圆心坐标为2,2，半径为32，圆心到直线x+y+6=0的距离为所以圆上的点到直线x+y+6=0的最大距离为52故选:C.提升篇提升篇已知Pa,b是圆x2+y2【答案】30−10【分析】利用圆上的点到原点的距离来求得正确答案.【详解】圆x2+y所以圆的圆心为1,−2，半径为5，原点0,0到圆心1,−2的距离是5，所以圆上的点到原点的距离的最小值是5−5则a2+b故答案为：30−10过点2,−1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x+2y+3=0的距离为（

）A．55 B．255 C．3【答案】B【分析】先根据圆与x，y轴都相切，求出圆心，然后利用点到直线的距离公式求出结果．【详解】设圆心为(a,b)，由已知得a>0,b<0a=−b解得a=1，b=−1，或a=5，b=−5，所以圆心为(1,−1)或(5,−5)．当圆心为(1,−1)时，圆心到直线x+2y+3=0的距离d=|1−2+3|当圆心为(5,−5)时，圆心到直线x+2y+3=0的距离d=|5+2×(−5)+3|故选：B．已知圆x+12+y+22=4关于直线ax+by+1=0（a>0，b>0A．52 B．9 C．4 【答案】B【分析】由题可得a+2b=1a>0,b>0【详解】圆x+12+y+22=4的圆心为−1,−2因此−a−2b+1=0，即a+2b=1a>0,b>0∴1a当且仅当2ba=2a所以1a故选：B.如图等腰直角三角形OAB，OB＝1，以AB为直径作一半圆，点P为半圆上任意一点，则OP⋅OB的最大值是（

A．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】建立直角坐标，应用圆上点的坐标及向量数量积的坐标运算计算即可.【详解】

如图以OA,OB所在直线分别为y轴，x轴建系．则A0,1以AB为直径作一半圆，点P为半圆上任意一点，半圆为x−1设Px,y，则OBOP⋅在平面内，一只蚂蚁从点A(−2,−3)出发，爬到y轴后又爬到圆C:(x+3)2+【答案】4【分析】求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A'(2,−3)【详解】由圆C:(x+3)2+(y−2)2求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A'可得A'如图所示，可得爬到的最短路程为42故答案为：4已知A0,−2，B2,0，点P为圆x2+yA．5 B．5−22 C．52 【答案】D【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再求出点P到直线AB距离的最大值作答.【详解】圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心C(1,4)，半径r=2，直线于是点C到直线AB：x−y−2=0的距离d=|1−4−2|12+(−1)因此点P到直线AB距离的最大值为522+2所以△PAB面积的最大值为S=1故选：D由曲线x2+y【答案】32+16π【分析】曲线x2+y2=4【详解】将−x或−y代入方程，方程不发生改变，故曲线x2+y2=4当x≥0，y≥0时，曲线x2+y表示的图形为以2,2为圆心，半径为22则第一象限围成的面积为S1故曲线x2+y故答案为：32+16π.（多选）已知△ABC的三个顶点为A(4,2),B(2,6),C(5,3)，则（

）A．△ABC为直角三角形 B．△ABC的面积为3C．△ABC边AB上的中线所在直线方程为x−2y+1=0 D．△ABC的外接圆方程为x【答案】ABD【分析】求出kAC，kBC，即可判断A，再求出AC，BC，求出S△ABC即可判断B，求出A、B的中点D的坐标，再求出kCD，由点斜式求出直线方程，即可判断C，由圆心为A、B的中点【详解】解：因为A4,2，B2,6，所以kAC=3−25−4=1，k所以∠ACB=90°，所以△ABC为直角三角形，故A正确；又AC=4−52所以S△ABC因为A、B的中点D为D3,4，所以k所以直线CD的方程为y−4=−12x−3即边AB上的中线所在直线方程为x+2y−11=0，故C错误；因为△ABC为直角三角形，所以△ABC外接圆的直径为AB，圆心为A、B的中点D3,4，又AB所以△ABC外接圆的方程为x−32+y−4故选：ABD已知圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，设该圆过点3,5的最长弦和最短弦分别为AC【答案】20【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积.【详解】设圆圆心为M，由题可得圆心坐标是M3,4，半径是5，圆心到点E所以点3,5在圆内，最长弦为圆的直径，由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为BD=2最长弦即直径，即AC=10所以四边形ABCD的面积为12已知圆C过点A(4,0),B(0,4)，且圆心C在直线l:x+y−6=0上．(1)求圆C的方程；(2)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y=−x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l【答案】(1)(x−3)2+(y−3)【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；（2）根据点关于直线对称的特征列方程可得N，利用直线点斜式方程即可得出结果.【详解】（1）由A(4,0),B(0,4)，得直线AB的斜率为kAB=所以kCD=1，直线CD的方程为y−2=x−2，即联立x+y−6=0y=x，解得x=3y=3，即所以半径r=|AC|=(4−3)所以圆C的方程为(x−3)2+（2）由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心设点M关于直线y=−x的对称点N(x,y)，则直线MN与直线y=−x垂直，且线段MN的中点x+42,y+1则有y−1x−4×(−1)=−1y+12=−所以直线CN即为直线l1，且k直线l1方程为y−3=74已知点A1,−2(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(2)过点A，B且圆心在直线2x−y−4=0上的圆的标准方程.【答案】(1)x2+y−1【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果；（2）解法一：求出AB的垂直平分线的方程是x−3y+3=0，又圆心在直线2x−y−4=0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C3