《等差数列（第1课时）》教学设计

1/2必修5第二章数列2.2等差数列（帅亚军）一、教学目标1．核心素养通过学习等差数列、初步形成基本的数学抽象和直观想象能力．2．学习目标（1）掌握等差数列的概念.（2）理解等差数列的通项公式的推导过程．（3）了解等差数列的函数特征并能运用等差数列的通项公式解决相应的一些问题．3．学习重点理解等差数列的概念,通项公式的推导及应用．4．学习难点等差数列中“等差”二字的理解,等差数列的通项公式的推导．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务：预习课本,完成相应的课后练习题.（二）课堂设计1．知识回顾（1）通项公式与递推关系式（2）通项公式的求解方法．2．问题探究问题探究一了解等差数列的含义●活动一观察与思考：（1）李晓觉得自己英语成绩很差,目前他的单词量只yes,no,you,me,he5个,他决定从今天起每天背记10个单词,那么从今天开始,他的单词量逐日增加,依次为：5,15,25,35,…想一想：多少天后他的单词量达到3000?（2）陈果觉得自己英语成绩很棒,她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了,结果不知不觉地每天忘掉5个单词,那么从今天开始,她的单词量逐日递减,依次为：3000,2995,2990,2985,…想一想：多少天后她那3000个单词全部忘光?探究：从上面两例中,我们分别得到两个数列①5,15,25,35,(),(),,()…和②3000,2995,2990,2980,,(),,(),,()…请同学们仔细观察,看看以上两个数列有什么共同特征?共同特征：从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数.阅读与举例：请大家阅读教材中所列举的数列例子,并试着列举生活与学习中的等差数列例子．想一想：请大家根据以上结论,思考什么叫做等差数列?等差数列：一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“”表示）问题探究二等差数列的通项公式推导与证明．重点、难点知识★▲●设等差数列的首项是,公差是,则据其定义可得：,即：,,即：,,即：,……由此归纳等差数列的通项公式可得：.●由上述关系还可得：,且如：.问题探究三等差数列的性质．重点、难点知识★▲想一想：如果在与中间插入一个数,使,,成等差数列,那么应满足什么条件?由定义得,即：,反之,若,则.也就是说,是,,成等差数列的__________条件.●等差中项：若,,成等差数列,那么叫做与的等差中项易见,在一个等差数列中,从第2项起每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项等差数列的性质：在等差数列中,若,则__________.更一般地,若,则.问题探究四等差数列的概念与性质的应用．重点、难点知识★▲求等差数列8,5,2…的第20项【知识点：等差数列的概念】详解：⑴由n=20,得点拨：在求解过程要注意符号变化以及对公差的理解已知数列{}的通项公式,其中、是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?【知识点：等差数列的概念】分析：由等差数列的定义,要判定是不是等差数列,只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数.详解：当n≥2时,为常数∴{}是等差数列,首项,公差为p.点拨：若p=0,则{}是公差为0的等差数列,即为常数列q,q,q,…3．课堂总结【知识梳理】（1）掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d,（n≥2,n∈N）.（2）会推导等差数列的通项公式：,并掌握其基本应用.（3）重要关系式：的理解与应用.【重难点突破】（1）等差数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应理解为：“从第二项起”首先是因为第1项没有“前一项”,其次因为如果一个数列是从第3项起每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列可能不是等差数列,但可以说从第二项起是等差数列.“同一个常数”应这样理解：如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差是一个常数,那么这个数列就不一定是等差数列,因为这些常数不一定相同.4．随堂检测（1）求等差数列3,7,11,……的第4项与第10项.【知识点：等差数列的概念】分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项.解：根据题意可知：=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=4×4－1=15,=4×10－1=39.（2）求等差数列10,8,6,……的第20项.【知识点：等差数列的概念】解：根据题意可知：=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：=10+（n－1）×（－2）,即：=－2n+12,∴=－2×20+12=－28.（3）－20是不是等差数列0,－3,－7,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.【知识点：等差数列的概念与通项公式】解：由题意可知：=0,d=－3∴此数列的通项公式为：=－n+,令－n+=－20,解得n=因为－n+=－20没有正整数解,所以－20不是这个数列的项.（三）课后作业基础型自主突破1.（1）求等差数列8,5,2…的第20项.（2）－401是不是等差数列－5,－9,－13…的项?如果是,是第几项?【知识点：等差数列的概念】解：⑴由,得.⑵.2.在等差数列中,已知,,求,,.【知识点：等差数列的概念与通项公式】解：∵,,则∴.3.在等差数列中,若+=9,=7,求.【知识点：等差数列的概念】解：,.4.等差数列中,++=－12,且··=80.求通项.【知识点：等差数列的通项公式；数学思想：分类讨论】解：或.5.已知数列的通项公式,其中、是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?【知识点：等差数列的概念】解：当时,（取数列中的任意相邻两项与（））为常数∴{}是等差数列,首项,公差为.能力型师生共研6.在等差数列中若,,求.【知识点：等差数列的性质】解：1307.在等差数列中,为公差,若且.求证：(1)；(2)．8.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数．【知识点：等差数列的性质】解：设四个数为,则：得,,∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．探究型多维突破9.将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中,设数列的第项和第项分别为和,计算的值,你能发现什么结论?并证明你的结论．【知识点：等差数列的概念】解：通过计算发现的值恒等于公差.10.设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是（C）A.若,则数列有最大项B.若数列有最大项,则C.若数列是递增数列,则对任意,均有D.若对任意,均有,则数列是递增数列11.已知数列是等差数列,是其前项和,求证：（1）,-,-成等差数列.（2）求证（）成等比数列.【知识点：等差数列的概念】证明：设首项是,公差为,则,∵是以36d为公差的等差数列同理可得是以d为公差的等差数列.12.数列满足,(),求=____________.【知识点：等差数列的概念】解：由,两边平方得：,又,作差可得：由得.又由递推式易得知数列是单调递增数列,则,所以,数列是以为首项,为公差的等差数列.,故,故.自助餐1.（1）求等差数列3,7,11,……的第4项与第10项.（2）求等差数列10,8,6,……的第20项.（3）100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.【知识点：等差数列的概念】解：（1）=4×4－1=15,=4×10－1=39.（2）=－2×20+12=－28.（3）100是这个数列的第15项.2.在等差数列中,（1）已知=10,=19,求与;（2）已知,,求.【知识点：等差数列的概念】解：（1）.（2）,∴.3.在等差数列中,若,求.【知识点：等差数列的概念与性质】解：.4.在等差数列中,若求．【知识点：等差数列的概念与性质】解：.5.等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54? 【知识点：等差数列的概念与性质】解：96.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2,并求这些数的和【知识点：等差数列的概念与性质】解：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2,这些数的和是1650.7．已知是等差数列,,其前10项和,则其公差（D）A．B．C．D．8.设为等差数列的前项和.已知,则等于（B）A．B．C．D．【知识点：等差数列的概念与性质】9.已知函数,等差数列的公差为.若,则-6．10.

已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则等于（C）A.1 B. C. D.【知识点：等差数列的概念与性质】11.等差数列中,,,求使的最小自然数．【知识点：等差数列的概念与性