《降幂公式、半角公式》教学设计

1/23.1.4降幂公式、半角公式（名师：沈家俊）一、教学目标（一）核心素养通过让学生自己动手由二倍角公式的变形推导出降幂公式以及半角公式，并会运用公式进行灵活变形计算，在数学运算、逻辑推理中体会转化与化归、降元与换元的数学思想方法.（二）学习目标1．通过二倍角公式的变形推导出降幂公式，加深理解降元、三角恒等变换的基本思想方法．2．经历二倍角变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，并明确“±”号的选取，进一步体会化归、换元的数学思想．3．能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力．（三）学习重点1．降幂公式的推导．2．半角的正弦、余弦和正切公式以及公式的正用、逆用、变形应用．（四）学习难点1．降幂公式、半角公式与倍角公式之间的内在联系．2．运用半角公式时正负号的选取．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）“倍角”的含义是什么？“倍角”是描述两个角之间的关系，具有相对性.例如：2是的倍角，4是2的倍角，是的倍角．（2）二倍角公式可以怎样进行变形？移项变形得到：、若已知二倍角函数值，开根号可得到单角函数值：、若已知单角函数值，换元后可得到半角函数值：、2．预习自测1.下列说法中正确的个数是（）①当α是第一象限角时,；②对任意角α,都成立；③半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.A.0B.2C.1D.3答案：C解析：【知识点】降幂公式、半角公式概念辨析．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】当α是第一象限角时，，∴，∴在第一、三象限，故，①错；此式子必须使tan有意义且1+cosα≠0,即：②错；由半角公式推导过程可知③正确．点拨：明确“±”号的选取以及公式适用条件．（2）求的值．答案：．解析：【知识点】降幂公式的运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】．点拨：降元化为特殊角的三角函数进行求值．（3）求值．答案：；；．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】;;．点拨：利用半角公式化为特殊角的三角函数进行求值．（4）已知，则sin=（）A．B．C．D．答案：D．解析：【知识点】半角公式中“±”号的选取．【数学思想】化归思想．【解题过程】．点拨：明确“±”号选取的原则．(二)课堂设计1．知识回顾（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：（2）二倍角公式的使用条件：①公式中的α∈R.②公式中的（3）运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性，它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指2α是α的二倍角，还可以是、的二倍角等等．2．问题探究探究一降幂公式●活动①二倍角公式的变形思考1:如何用cos2α表示、？利用二倍角公式进行移项变形，由得：、思考2:、这两个式子有什么共同特点？由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)我们称①②为降幂公式．【设计意图】教师与学生一起总结出降幂公式的特点,并告诉学生倍角公式和降幂公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明．探究二半角公式★▲●活动①半角公式的推导思考1：⑴α与有什么关系?⑵如何建立cosα与的三角函数之间的关系？解析：α是的两倍角；利用降幂公式，将公式中的α用代替即可得cosα与的三角函数之间的关系．在降幂公式、以及中，以α代替2α以代替α即得：∴①cos2=②③思考2：上面①②③式还可以怎样变形处理？结果还可以变形为:中：并称之为半角公式(不要求记忆),符号由所在象限决定．观察上面的①②③式，总结：用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数．思考3：半角正切公式还有其他的表示式吗？①②该表达式中的符号由sinα确定，避免了符号的讨论，使用起来非常方便．【设计意图】通过进一步的三角恒等变形，培养学生推导能力，同时使学生认识到新公式产生的根源．●活动②符号的确定思考1：若给出的角α是某一象限的角时，怎么确定半角三角函数表示式前的符号？原则：公式相等的前提条件是左右两边符号一致，即左边的三角函数值在所在象限的符号就是右边的符号，根据下表决定符号：αsincostan第一象限第一、三象限第二象限第一、三象限第三象限第二、四象限第四象限第二、四象限思考2：如果没有给出限定符号的条件，怎么办？在根号前保留正负两个符号．【设计意图】通过让学生自己探究发现问题的过程，明确利用半角公式求三角函数值易错的地方．探究三降幂公式、半角公式的应用★▲●活动①归纳梳理，理解提升（1）降幂公式：①②（2）半角公式：中：（3）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在所在象限的符号就是右边的符号．【设计意图】培养学生归类整理意识，并能熟练运用这些变形公式．●活动②巩固基础，检查反馈例1.若sin80°=m,则用含m的式子表示cos5°=________．【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】由题意得：sin80°=cos10°=m,∴．【思路点拨】利用半角公式求值，并准确判断符号．【答案】．同类训练cosx=,且,则cos=______．答案：解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵,∴,是第二象限角，∴．点拨：利用半角公式求值，并准确判断符号．例2.求的值．答案：．解析：【知识点】降幂公式的运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】．点拨：降幂化为特殊角的三角函数进行求值．同类训练_________．答案：2．解析：【知识点】倍角公式的灵活运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】．点拨：二倍角公式灵活化简．【设计意图】巩固降幂公式、半角公式，并熟练应用．●活动③强化提升，灵活应用例3已知求．【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵∴又∵，∴．∴；；．【思路点拨】利用半角公式时注意符号取值．【答案】；；2．同类训练化简：．答案：．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】原式=．点拨：利用半角公式，可避免“±”的讨论．【设计意图】巩固半角公式，注意灵活选取半角的正切公式．3．课堂总结知识梳理（1）降幂公式：①②（2）半角公式：中：重难点归纳（1）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在所在象限的符号就是右边的符号．（2）运用半角的正切公式，为避免符号的选择，最好选用后面的两个公式．（三）课后作业基础型自主突破1．下列各式恒成立的是（） 答案：B．解析：【知识点】降幂公式、半角公式以及适用条件．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】A选项中，要求除外，还必须有；B选项中，可以取一切实数；C选项中,要求且；D选项中，要求．点拨：明确角α的限制条件．2．设，化简的结果是（）A．B．C．D．答案：C．解析：【知识点】利用半角公式进行化简．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵，则，∴．点拨：注意“±”的选取．3．设．答案：．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】若，则，∴，则．点拨：利用半角公式．4．已知的值．答案：见解题过程．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归、分类讨论思想．【解题过程】①当α在第三象限时，此时，在第二象限，②当α在第四象限时，此时，在第二象限，点拨：注意对角α的范围进行分类讨论．5．利用半角公式，求的值．答案：．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】．点拨：利用半角公式转化为特殊角的三角函数求解．6．函数，的值域是（）A．B．C．D．答案：C．解析：【知识点】降幂公式、两角差的正弦公式逆用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】 ∵，∴，∴函数的值域为．点拨：灵活利用公式进行变形化简．能力型师生共研7．化简等于（）A．B．2C．2D．答案：B．解析：【知识点】半角公式的逆用．【数学思想】化归思想．【解题过程】点拨：使根号下不含三角函数8．求的值．答案：．解析：【知识点】利用降幂公式、两角差的余弦公式化简．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】点拨：统一角、统一三角函数名称，化为特殊角的三角函数求值．探究型多维突破9．化简，其中答案：．解析：【知识点】三角函数式化简．【数学思想】化归思想．【解题过程】点拨：式中有角α及，可用半角公式把α化为的三角函数．10．证明：．【知识点】三角函数式化简．【数学思想】化归思想．【解题过程】点拨：弦化切，统一三角函数名，利用半角正切公式化简．答案：见解题过程．自助餐1．已知α是第三象限角，且，则等于（）A．B．C．D．【知识点】半角的正切公式．【数学思想】化归思想．【解题过程】由α是第三象限角及知,∴.【思路点拨】利用半角的正切公式，切化弦．【答案】D．2．等腰三角形顶角的余弦是，则底角的正弦是_______，正切是_______．【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】设底角为α，则顶角为，而，即，∴，，∴【思路点拨】利用半角公式求解．【答案】；．3．函数在区间上的最大值是（）A．1B．C．D．【知识点】降幂公式、辅助角公式．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】由已知得，当时，，，因此的最大值等于．【思路点拨】利用降幂公式、辅助角公式化简．【答案】C．4．已知，且满足，则的值为（）．A．B．C．D．【知识点】二倍角公式、降幂公式的运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】.又∵，解得.又，∴.∴．【思路点拨】遇弦化切．【答案】C．5．已知，则．【知识点】倍角公式、升幂公式的运用．【数学思想】化归思想、分类讨论思想．【解题过程】,即,.当时,,;当时,【思路点拨】利用二倍角公式求解值时注意分