2024-2025学年高中数学第3章不等式3.2基本不等式与最大小值讲义教案北师大版必修5

PAGE1-3．2基本不等式与最大(小)值学习目标核心素养1．会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题．(重点)2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点)1．通过利用基本不等式求解最值问题，提升学生的逻辑素养．2．利用基本不等式解决实际问题，提升学生的数学建模素养．不等式与最大(小)值阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．当x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq\f(s2,4)；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq\r(p)．思索：(1)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2吗？[提示]不是，只有当x＞0时，才有x＋eq\f(1,x)≥2，当x＜0时，没有最小值．(2)设a＞0,2a＋eq\f(3,a)取得最小值时，a的值是什么？[提示]2a＋eq\f(3,a)≥2eq\r(2a×\f(3,a))＝2eq\r(6)，当且仅当2a＝eq\f(3,a)，即a＝eq\f(\r(6),2)时，取得最小值．1．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81C[A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sinx＝2，D中x与1的关系不确定，选C．]2．当x<0时，x＋eq\f(9,x)的最大值为．－6[因为x<0，所以x＋eq\f(9,x)＝－(－x)＋eq\f(9,－x)≤－2eq\r(－x×\f(9,－x))＝－6，当且仅当(－x)＝eq\f(9,－x)，即x＝－3时等号成立．]3．当x∈(0,1)时，x(1－x)的最大值为．eq\f(1,4)[因为x∈(0,1)，所以1－x＞0，故x(1－x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，当x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)时等号成立．]4．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为．8[由已知点A在直线mx＋ny＋1＝0上所以2m＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(2m＋n,m)＋eq\f(22m＋n,n)＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥8．]利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x>2，则y＝x＋eq\f(4,x－2)的最小值为．(2)若0<x<eq\f(1,2)，则函数y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值是．(1)6(2)eq\f(1,16)[(1)因为x>2，所以x－2>0，所以y＝x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋eq\f(4,x－2)的最小值为6．(2)因为0<x<eq\f(1,2)，所以1－2x>0，所以y＝eq\f(1,2)x·(1－2x)＝eq\f(1,4)×2x×(1－2x)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝eq\f(1,4)时，ymax＝eq\f(1,16)．]在利用基本不等式求最值时要留意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧；三是考虑等号成立的条件.eq\o([跟进训练])1．(1)已知t>0，则函数y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值为．(2)设0<x≤2，则函数ƒ(x)＝eq\r(x8－2x)的最大值为．(1)－2(2)2eq\r(2)[(1)依题意得y＝t＋eq\f(1,t)－4≥2eq\r(t·\f(1,t))－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝eq\f(t2－4t＋1,t)(t>0)的最小值是－2．(2)因为0<x≤2，所以0<2x≤4,8－2x≥4>0，故ƒ(x)＝eq\r(x8－2x)＝eq\r(\f(1,2)·2x·8－2x)＝eq\r(\f(1,2))·eq\r(2x·8－2x)≤eq\r(\f(1,2))×eq\f(8,2)＝2eq\r(2)，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号，所以当x＝2时，ƒ(x)＝eq\r(x8－2x)的最大值为2eq\r(2)．]利用基本不等式解实际应用题【例2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？[解]法一：设矩形广告牌的高为xcm，宽为ycm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－25,2)))cm，其中x>20，y>25，则两栏面积之和为2(x－20)×eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25，所以广告牌的面积S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18000,x－20)＋25))＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，整理得S＝eq\f(360000,x－20)＋25(x－20)＋18500．因为x－20>0，所以S≥2eq\r(\f(360000,x－20)×25x－20)＋18500＝24500．当且仅当eq\f(360000,x－20)＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝eq\f(18000,x－20)＋25，得y＝175．即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500．故当广告牌的高为140cm，宽为175cm时，可使矩形广告牌的面积最小．法二：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000，其中a>0，b>0．易知广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm．广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2eq\r(25a·40b)＝24500，当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝eq\f(5,8)a，代入ab＝9000得a＝120，b＝75．即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500．故当广告牌的高为140cm，宽为175cm时，可使矩形广告牌的面积最小．在应用基本不等式解决实际问题时，要留意以下四点：1先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；2建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；3在定义域内，求出函数的最值；4写出正确答案.eq\o([跟进训练])2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元．(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(1)58[每台机器运转x年的年平均利润为eq\f(y,x)＝18－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，且x>0，故eq\f(y,x)≤18－2eq\r(25)＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．](2)[解]设矩形菜园的长为xm、宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2．由eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2)＝eq\f(18,2)＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2．基本不等式的综合应用[探究问题]1．(1)当x＞0时，eq\f(x2＋1,x)有最大值，还是最小值？(2)当x＞0时，eq\f(x,x2＋1)有最大值，还是最小值？[提示](1)当x＞0时，eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x×\f(1,x))＝2，当x＝1时等号成立，即eq\f(x2＋1,x)有最小值2．(2)当x＞0时，eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))，因为x＋eq\f(1,x)≥2，所以eq\f(x,x2＋1)≤eq\f(1,2)，故eq\f(x,x2＋1)有最大值eq\f(1,2)．2．(1)设a＞0，b＞0，(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))的最小值是什么？(2)设a＞0，b＞0，且a＋b＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是什么？[提示](1)(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，当b＝eq\r(2)a时等号成立；(2)由于a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))≥2eq\r(2)＋3，当b＝eq\r(2)a，即a＝eq\r(2)－1，b＝2－eq\r(2)时，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为3＋2eq\r(2)．【例3】(1)若对随意的x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，求a的取值范围．(2)设a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值．思路探究：(1)在eq\f(x,x2＋3x＋1)中，分子、分母同时除以x，求得eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值，可得a的范围．(2)由条件求得a与b的关系式，可求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值．[解](1)设f(x)＝eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，∵x＞0，∴x＋eq\f(1,x)≥2，∴f(x)≤eq\f(1,5)，即f(x)max＝eq\f(1,5)，∴a≥eq\f(1,5)．(2)由题意得，3a·3b＝(eq\r(3))2，即a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立．1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“eq\f(2,a)和eq\f(1,b)的等差中项是eq\f(1,2)”，求2a＋b的最小值．[解](1)由3是3a与3b的等比中项，得3a＋b＝32，即a＋b＝2，故eq\f(1,2)(a＋b)＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(b,a)×\f(a,b))))＝2，当a＝b＝1时等号成立．(2)由于eq\f(2,a)和eq\f(1,b)的等差中项是eq\f(1,2)，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，故2a＋b＝(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)×\f(2a,b))＝9．当a＝b＝3时等号成立．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a＞0，b＞0，且a＋b＋ab＝1”，求a＋b的最小值．[解]a＋b＋ab＝1，得b＝eq\f(1－a,a＋1)＞0，故0＜a＜1，故a＋b＝a＋eq\f(1－a,a＋1)＝a＋eq\f(－1－a＋2,a＋1)＝a＋eq\f(2,a＋1)－1＝a＋1＋eq\f(2,a＋1)－2≥2eq\r(a＋1×\f(2,a＋1))－2＝2eq\r(2)－2，当a＋1＝eq\f(2,a＋1)，即a＝eq\r(2)－1时等号成立．最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：1fx＞a恒成立⇔a＜fxmin.2fx＜a恒成立⇔a＞fxmax.)1．利用基本不等式求最值必需满意“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．运用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要留意条件是否具备，还要留意有关量的实际含义．1．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，它们的和肯定能在两个数相等时取得最小值． ()(2)函数y＝sinx＋eq\f(1,sinx)的最小值为2． ()(3)函数y＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))的最小值为2． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)错误，这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sinx与eq\f(4,sinx)的积为定值，但sinx≠eq\f(4,sinx)；(2)错误，sinx＜0时，函数不存在最小值．(3)错误，因为只有eq\r(x2＋4)＝eq\f(1,\r(x2＋4))，即x2＋4＝1，x2