2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题06利用导函数研究能成立(有解)问题练习(学生版+解析)

专题06利用导函数研究能成立（有解）问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：单变量有解问题 2题型二：双变量不等式有解问题 3题型三：双变量等式有解问题 5三、专项训练 6一、必备秘籍分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.二、典型题型题型一：单变量有解问题1．（2024·四川成都·一模）已知函数，.(1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，设函数，求证：有解.2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．(1)讨论的单调性和极值；(2)若时，有解，求的取值范围．3．（20234·河南洛阳·模拟预测）已知函数在处取得极值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．4．（2024·安徽淮南·一模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．5．（2024·广东珠海·一模）已知函数．（1）讨论的单调性﹔（2）若存在，求的取值范围．题型二：双变量不等式有解问题1．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知函数（）．(1)当，求f（x）的极值．(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）2．（2024·广西柳州·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.3．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数．(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．4．（23-24高二下·黑龙江大庆·）已知函数，为的导数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．题型三：双变量等式有解问题1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数(1)当时，解不等式；(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．2．（23-24高二上·浙江·期中）函数，.(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数，.(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.三、专项训练1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知________，且函数.①函数在上的值域为；②函数在定义域上为偶函数.请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整.(1)求a，b的值；(2)求函数在R上的值域；(3)设，若，使得成立，求c的取值范围.2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数，，(1)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围；(2)若不等式对及都成立，求实数的取值范围.3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整数.①函数在定义域为上为偶函数;②函数在区间上的值域为.在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)若关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数的取值范围；(2)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围．10．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）．(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．11．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．(1)讨论的单调性和极值；(2)若时，有解，求的取值范围．12．（2023·青海西宁·二模）设函数．(1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；(2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的取值范围．13．（23-24高二上·河南·期末）已知函数在处取得极值．(1)求a，b的值；(2)若存在，使得成立，求实数t的取值范围．专题06利用导函数研究能成立（有解）问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 1题型一：单变量有解问题 1题型二：双变量不等式有解问题 6题型三：双变量等式有解问题 11三、专项训练 15一、必备秘籍分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.二、典型题型题型一：单变量有解问题1．（2024·四川成都·一模）已知函数，.(1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，设函数，求证：有解.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）化简得出函数的解析式，利用可证得结论成立.【详解】（1）解：当时，，则，，则，故当时，在处的切线方程为，即.（2）证明：当时，，，，因为，故不等式有解.2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．(1)讨论的单调性和极值；(2)若时，有解，求的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）首先求函数的导数，，讨论和两种情况讨论函数的单调性和极值；（2）首先不等式参变分离为，在时有解，再构造函数，，转化为利用导数求函数的最大值.【详解】（1），当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；当时，令，得，，得，函数在区间上单调递减，，得，函数在区间上单调递增，当，函数取得极小值，综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值.（2）由题意可知，，时有解，则，在时有解，即，设，，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为，即，所以实数的取值范围是.3．（20234·河南洛阳·模拟预测）已知函数在处取得极值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的值；（2）利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即得实数的取值范围．【详解】（1），则．因为函数在处取得极值4，所以，解得此时．易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极大值点，符合题意．故，．（2）若存在，使成立，则．由（1）得，，且在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．4．（2024·安徽淮南·一模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．【答案】(1)函数在区间，上均单调递减(2)【分析】（1）利用导数在函数单调性中的应用，即可得到结果；（2）根据题意，将原不等式转化为，即；再根据（1），可知在单调递减，将原问题转换为在，两边同取自然对数，采用分离参数法可得在上能成立，再利用导数求出函数的最值，即可得到结果.【详解】（1）解：的定义域为因为，所以．令，则，所以函数在区间单增；在区间单减．又因为，所以当时，所以函数在区间，上均单调递减；（2）解：当，时，所求不等式可化为，即，易知，由（1）知，在单调递减，故只需在上能成立．两边同取自然对数，得，即在上能成立．令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，所以，又，故的取值范围是．5．（2024·广东珠海·一模）已知函数．（1）讨论的单调性﹔（2）若存在，求的取值范围．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．【分析】(1)对函数求导，再按和分别讨论导函数值正负而得解；(2)构造函数，讨论时在的值的正负，时再分段讨论最小值情况即可得解.【详解】(1)函数的定义域为(0，+∞)，，当时，，则在上递增，当时﹐由得，由，得，由，得，于是有在上递增，在上递减；由，得，，当时，，满足题意，当时，令，，在上递增，则不合题意，当时，由，得，由，得，于是有在上递减，在上递增，，则时，，综上，的取值范围为．【点睛】结论点睛：对于能成立问题，(1)函数f(x)定义区间为D，，a≥f(x)成立，则有a≥f(x)min；(2)函数f(x)定义区间为D，，a≤f(x)成立，则有a≤f(x)max.题型二：双变量不等式有解问题1．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知函数（）．(1)当，求f（x）的极值．(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3(2)【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；（2）存在，使，转化为在区间上,即可求解.【详解】（1）的定义域为，当时，，∴，令，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；（2），令，若，则，∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，∴当时，f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最大值为，，令，得，当时，，∴单调递减，当时，，∴g（x）单调递增，∴在上的最小值为，由题意可知，解得，又∵，∴实数a的取值范围为[1，4）．2．（2024·广西柳州·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2).【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答.（2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，而，当时，由得，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，当时，由得，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则，任意，存在，使等价于，恒成立，则有，成立，令，则，当时，，当时，，即有在上单调递增，在上单调递减，，因此当时，最大值为，则，所以实数的取值范围是.3．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数．(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a），由切线过原点求出a的值；（2）利用导数研究的单调性并求出上的最大值，由二次函数性质求在上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a的范围.【详解】（1）由，可得．因为，，所以切点坐标为，切线方程为：，因为切线经过，所以，解得．（2）由题知的定义域为，，令，解得或，因为所以，所以，令，即，解得：，令，即，解得：或，所以增区间为，减区间为．因为，所以函数在区间的最大值为，函数在上单调递增，故在区间上，所以，即，故，所以的取值范围是.4．（23-24高二下·黑龙江大庆·）已知函数，为的导数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程．（Ⅱ）设，则，由导函数研究的单调性进，而得出答案．（Ⅲ）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解．【详解】（Ⅰ），所以，即切线的斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（Ⅲ）由已知，转化为，且的对称轴所以.

由(Ⅱ)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以当时，.所以，即，因此，的取值范围是.【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题．5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；（2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围.【详解】（1）因为函数，所以．设，则，故在上递减．，即，在上单调递减，最小值为．（2）令，则在上恒成立，即函数在上单调递减，所以，所以，即在上恒成立；又，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减．函数在区间上的最大值为．综上，只需，解得，即实数的取值范围是．题型三：双变量等式有解问题1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数(1)当时，解不等式；(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.（2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围.【详解】（1）当时，，由，解得或，所以不等式的解集为.（2）当时，，对称轴为，且，，所以对任意的，.时，是增函数，，由得，若对任意的，总存在，使成立，所以，解得，所以正实数的取值范围是.2．（23-24高二上·浙江·期中）函数，.(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意恒成立，采用变量分离法得，求解出的最大值，从而得解；（2）根据题意可得出，在上的值域为在上的值域的子集，根据子集运算规则解得参数的取值范围.【详解】（1）解：由得，当时，此时；当时，，因为，故，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，故；综合得：；（2）记，，因为对，，使得，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以，当时，在上单调递增，所以，故，因为，所以，即，又，故.3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数，.(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数在上单调递减，由函数在区间上存在零点，得即可解决；（2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，又，的值域分，，求解，即可解决.【详解】（1）由题知，，因为的图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减因为函数在区间上存在零点，所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，，，得，当时，的值域为，显然不满足题意；当时，的值域为，因为，所以，解得；当时，的值域为，因为，所以，解得，综上，实数的取值范围为.4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，则有，，再根据给定的性质即可求解；（2）求出的值域，根据题意易得的值域是的值域的子集，由此列出不等式组，求解即可得出的范围.【详解】（1）依题意，，设，，则.令，.由已知性质得，当时，单调递减；当时，单调递增.又∵，，，∴.∴的值域为.（2）为减函数，故，.由题意得，当时，的值域是的值域的子集，∴解得.【点睛】本题考查了函数的单调区间和值域的求法，函数的任意和存在性问题的解法以及化简运算能力，属于中档题.三、专项训练1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知________，且函数.①函数在上的值域为；②函数在定义域上为偶函数.请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整.(1)求a，b的值；(2)求函数在R上的值域；(3)设，若，使得成立，求c的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据所选条件，利用函数的单调性和奇偶性求a，b的值；（2）根据函数解析式，利用函数奇偶性结合基本不等式，求函数在R上的值域；（3）由已知条件，分类讨论即可求解.【详解】（1）选①函数在上的值域为，，函数在上单调递增，可得，解得．选②函数在定义域上为偶函数，可得，解得.所以.（2），函数定义域为R，因，则为奇函数．当时，，由，当且仅当，即时等号成立，所以；当时，因为为奇函数，所以；当时，；所以的值域为.（3）若，使得成立，则有，即，当时，，不合题意；当时，在上单调递增，，解得；当时，在上单调递减，，解得；所以c的取值范围为.2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数，，(1)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围；(2)若不等式对及都成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，通过分类讨论函数单调性，求解函数最值，解不等式组求出实数的取值范围.（2）在为单调增函数，所以，由对任意都恒成立，求解t的取值范围.【详解】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，即，函数在上是增函数，，，函数图像开口向上，对称轴为直线，①当时，函数在上为增函数，，，∴，此时无解；②当时，函数在上为减函数，在上为增函数，，，，此时无解；③当时，函数在上为减函数，在上为增函数，，，，解得；④当时，函数在上为减函数，，，∴，解得；综上所述，实数a的取值范围是.（2）由题意知，对任意都恒成立，由在为单调增函数，所以，即对都恒成立，，解得，即t的取值范围为.3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整数.①函数在定义域为上为偶函数;②函数在区间上的值域为.在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1)奇函数,证明见解析;(2)【分析】(1)选①时,根据偶函数性质,定义域关于原点对称,图像关于轴对称,求出,选②时,根据单调性,代入函数值可求出,根据两种情况下所求出的的值,代入中,利用奇偶函数的定义证明奇偶性即可;(2)由(1)结论求出在R上的值域,再求出在的值域,因为,,使得成立,只需值域是值域的子集即可,进而求出的取值范围.【详解】（1）解:当选①时:因为在定义域为上为偶函数,所以,所以,且为偶函数,所以故所以,;当选②时:因为单调递增,在区间上的值域为,所以即,解得,综上:.因为,所以,所以,故,所以是奇函数;（2）解:由(1)知,,当时,,当且仅当时成立,所以,即时,,当,,因为是奇函数,所以即时,,综上:,记值域为集合,,,记值域为集合,,,,使得成立,,,.4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)若关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数的取值范围；(2)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据奇偶性求得参数值，设，则函数的图象开口向上，，从而得到实数的取值范围；（2）对任意，总存在，使得成立等价于的值域是值域的子集.【详解】（1）是上的奇函数，，即，又，．即关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，设，则函数的图象开口向上，∴，即，∴实数的取值范围是；（2）由（1）知，，当时，，当时，，此时，∴，当时，，此时，∴，综上，的值域；∵，，∴的值域.∵对任意，总存在，使得成立，∴，即，所以，实数的取值范围为．5．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数（为常数）(1)讨论函数的单调性；(2)不等式在上有解，求实数的取值范围．【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减(2)【分析】（1）根据导函数的解析式，对参数分类讨论结合导函数的符号即可求解；（2）根据不等式的有解性问题，分离参数、构造新函数求出新函数的最值即可秋求解.【详解】（1）的定义域为，，当时，，，所以在上单调递增，当时，令，解得，若，则，所以在上单调递增，若，则，所以在上单调递减，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减（2）在上有解，在上有解，在上有解，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，所以，所以，故实数的取值范围是.6．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)判断函数在区间上的单调性；(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)递增；(3)存在，.【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）由导数值恒正判断函数单调递增.（3）假定存在，分离参数构造函数，利用导数探讨最大值即可得解.【详解】（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，，因此，所以函数在区间上的单调递增.（3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，令，求导得，令，求导得，即函数在上递增，则，即，于是，而，因此，函数在上单调递增，，，则，所以的取值范围是.7．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；（2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围.【详解】（1）因为函数，所以．设，则，故在上递减．，即，在上单调递减，最小值为．（2）令，则在上恒成立，即函数在上单调递减，所以，所以，即在上恒成立；又，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减．函数在区间上的最大值为．综上，只需，解得，即实数的取值范围是．8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性；（2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可.【详解】（1）∵，∴，令，可得两根分别为1，，∵，∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．（2），，由（1）知，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，∴在上的最小值为．对，，使，即在上的最小值不大于在上的最小值，（*）又，∴①当时，，此时与（*）矛盾；②当时，，同样与（*）矛盾；③当时，，且当时，，解不等式，可得，∴实数b的取值范