2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题12数列不等式练习(学生版+解析)

专题11数列不等式（典型题型归类训练）目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：数列不等式恒成立 1题型二：数列不等式能成立（有解）问题 4二、专题11数列不等式专项训练 6一、典型题型题型一：数列不等式恒成立1．（23-24高二下·河南南阳·期中）记数列的前项和为，已知，且．(1)令，求数列的通项公式；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．2．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.(1)求；(2)证明数列是等比数列并求；(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.3．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列满足：，且.设的前项和为，.(1)证明：是等差数列；(2)求；(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且.(1)求证：为等差数列，并分别求的通项公式；(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.5．（2024·湖南·二模）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意的都有，求实数的取值范围.6．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）.(1)求的通项公式，并证明：是等差数列；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.题型二：数列不等式能成立（有解）问题1．（2024·云南·一模）已知为等比数列，记分别为数列的前项和，，.(1)求的通项公式；(2)是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列的前n项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10；，的等比中项为8．(1)求，的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，若存在使得成立，求实数的最大值．3．（2024·云南曲靖·一模）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．4．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8．(1)求，的通项公式；(2)设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值．5．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．数列的前项和为，数列的前项和为，数列，．(1)求数列的通项公式及；(2)若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围．二、专题11数列不等式专项训练1．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）设数列的前n项和为，已知，，，是数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)求满足的最大正整数n的值．2．（2024·四川南充·二模）在数列中，是其前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，恒成立，求的取值范围．6．（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．7．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知为等差数列，为等比数列，，，.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)记，对任意的，恒有，求的取值范围.8．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设各项都不为0的数列的前项积为，，.(1)求数列的通项公式；(2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中），组成新的数列，记数列的前项和为，若，求的最小值.9．（2014高一·全国·竞赛）对于给定的，若，定义.已知数列满足，当时，，其中为数列的前项和.(1)求的通项公式；(2)计算数列的前项和，是否存在，使得任意，都有？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.10．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且满足，，数列为正项等比数列，且依次成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，的前项和为，问是否存在正整数使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.专题11数列不等式（典型题型归类训练）目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：数列不等式恒成立 1题型二：数列不等式能成立（有解）问题 8二、专题11数列不等式专项训练 14一、典型题型题型一：数列不等式恒成立1．（23-24高二下·河南南阳·期中）记数列的前项和为，已知，且．(1)令，求数列的通项公式；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）分类讨论是奇数和偶数，利用递推公式计算即可；（2）先利用等差数列求和公式分组求和，再分离参数，令，判定其单调性，计算即可.【详解】（1）令，则①，令，则②，②－①，得，又因为，所以可得，代入①式，得，所以．（2），其中，，所以．由，可得恒成立．设，则，当，即时，，当，即时，，所以，故，所以，即实数的取值范围为．2．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.(1)求；(2)证明数列是等比数列并求；(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析，(3)【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；（2）对递推式变形结合对数运算求得，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式；（3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为对任意的恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可.【详解】（1）因为，则，从而有，由，则，则，解得则有，所以；（2）由，则，所以，故（非零常数），且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（3）由等比数列的前n项和公式得：，因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增，所以对任意的恒成立，令，，则，当时，，是减函数，当时，，是增函数，又，且，，，则，当n为偶数时，原式化简为，所以当时，；当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以；综上可知，.3．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列满足：，且.设的前项和为，.(1)证明：是等差数列；(2)求；(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据等差数列的定义证明（2）由已知得，再通过错位相减法求解出；（3）不等式化简为，把问题转化为对恒成立，然后分别求出当、和时，t满足的条件即可【详解】（1）因为，所以，，且，所以是以-2为首项，且公差为1的等差数列，即.（2）由（1）知，，所以.则，于是，两式相减得，因此.（3）由，得，依题意，对恒成立，当时，，则；当时，不等式恒成立；当时，，则，于是，综上,实数的取值范围是.4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且.(1)求证：为等差数列，并分别求的通项公式；(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析，，(2)【分析】（1）利用已知关系可得，代入，化简可证为等差数列，从而求得，的通项公式；（2）由（1）得，利用裂项相消可得，利用数列的单调性求出，解不等式即可求出正实数的取值范围.【详解】（1）由题意知：当时，，代入得，所以.由，得，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，，，当时，，当时，也符合上式，所以.（2）由（1）得，所以.显然单调递增，所以.由题意得，即，又，所以的取值范围为.5．（2024·湖南·二模）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意的都有，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用题设条件求得，再利用等比数列的通项公式求得，进而求得；（2）将问题转化为恒成立，再利用作差法求得的最大值，从而得解.【详解】（1）因为，，，所以，则，，则，因为是各项都为正数的等比数列，所以，即，所以，则.（2）因为恒成立，所以恒成立，设，则，当时，，则；当时，，则；所以，则.6．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）.(1)求的通项公式，并证明：是等差数列；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，结合求出的通项，再利用等差数列的定义推理即得.（2）利用错位相减法求和得，，由给定不等式得，，再求出的最小值即可.【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，，又，即，而，解得，则，所以数列为等比数列，；由，，得，因此数列是以为首项、1为公差的等差数列.（2）由（1）得，，即，则，于是，两式相减得，，因此，又，即，于是，而，当且仅当时等号成立，则，所以实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.题型二：数列不等式能成立（有解）问题1．（2024·云南·一模）已知为等比数列，记分别为数列的前项和，，.(1)求的通项公式；(2)是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，；(2)存在，的最小值为3.【分析】（1）利用等比数列求和公式得首项和公比的方程组，得，利用数列的和与通项的关系得，结合得是等差数列即可求解；（2）错位相减法求和得，再利用数列性质求最值即可求解.【详解】（1）设等比数列的公比为，根据已知得，且解方程组得的通项公式为.，，解得，且.，即.且，则，整理得，故是以1为首项，2为公差的等差数列，故.的通项公式为.（2）设，则.，.恒成立，且,存在整数，使对任意正整数都成立，且的最小值为3.2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列的前n项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10；，的等比中项为8．(1)求，的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，若存在使得成立，求实数的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系可得，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得；（2）分组求和可得，可将原不等式转化为，计算即可得.【详解】（1）由可得，当时，，两式相减得，，即，，即可得是等差数列．由，得，即．由题意得，即，解得或，是递增的等比数列，，所以，得，，即；（2）由（1）得：若存在使得成立，等价于存在使得能成立，设，则，是递减数列，故的最大值为，因此的最大值为.3．（2024·云南曲靖·一模）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．【答案】(1)；(2)10.【分析】（1）根据关系及递推式可得，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求，由不等式能成立及指数函数性质求得，即可得结果.【详解】（1）当时，，所以，则，而，所以，故是首项、公比都为2的等比数列，所以.（2）由，所以，要使，即，由且，则.所以使得成立的的最小值为10.4．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8．(1)求，的通项公式；(2)设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用的关系式即可求得是等差数列，可得；再利用等比数列定义即可求得，可得；（2）采用分组求和并利用等差、等比数列前项和公式即可求得，不等式能成立等价于，利用单调性可求得.【详解】（1）由可得，当时，，两式相减得，∴，即．∵，∴（），即可得是等差数列．由，得，∴，即．由题意得，即，解得或．∵是递增的等比数列，∴，所以，得，∴．所以和的通项公式为，．（2）由（1）得：．能成立，等价于能成立，化简得能成立，即．设，则，∴是递减数列，故的最大值为．∴，因此的最大值为．5．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．数列的前项和为，数列的前项和为，数列，．(1)求数列的通项公式及；(2)若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；；(2)．【分析】（1）利用的关系式可求得数列的通项公式为，由错位相减法求和即可得；（2）易知，由数列的函数特性可知，根据题意只需满足即可求得.【详解】（1）由，可得当时，，得；当时，，即，可得是以为首项，2为公比的等比数列，所以；当时，符合，所以数列的通项公式为；，则数列的前项和为，，相减可得：所以；（2）由得，可得，由，当时，，即有，可得，又时，的最大值为，对任意，存在，使得成立，即即可，解得；所以实数的取值范围为二、专题11数列不等式专项训练1．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）设数列的前n项和为，已知，，，是数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)求满足的最大正整数n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用得到数列是等比数列，根据等比数列的通项公式求解；（2）先求出，进而可得，求出代入不等式左边整理化简，然后解不等式即可.【详解】（1）因为，所以，即，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1）得，所以，则，则，所以，又，解得，所以正整数n的最大值为.2．（2024·四川南充·二模）在数列中，是其前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，作差得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式；（2）由（1）求出，再根据指数函数的性质求出的最值，即可得解.【详解】（1）因为，当时，，解得；当时，，所以，所以；所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.（2）由（1）可得，又在上单调递减，则在上单调递增，所以当为偶数时，，当为奇数时，，所以当时取得最大值为，当时取得最小值为，因为，恒成立，所以，解得，所以的取值范围为.3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，求得，解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解；解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：当时，，解得，当时，，两式相减可得，，则，叠加可得，，则，而时也符合题意，所以数列的通项公式为．（2）解：由（1）知，可得，故；解法1：由，可得，即，即则，又由，当且仅当时取等号，故实数的取值范围为．解法2：由，可得，当，即时，，则，故实数的取值范围为．4．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若对任意，求的最小整数值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；（2）根据错位相减法求出和，即可得解.【详解】（1）设的公差为，因为，所以，解得，所以；（2）因为，所以，令，所以，两式相减得，所以．因为，所以，所以，故的最小整数值为1．5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且关于x的方程，有两个相等的实数根．(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用方程有等根可知判别式为0，求出，根据关系即可得出通项公式；（2）利用错位相减法求出，再分离参数后求解即可.【详解】（1）由关于的方程，有两个相等的实数根，可得，即，，当时，．当时，．当时，上式也成立，所以．（2）由（1）可知，，，①，②得：，所以．又对任意的恒成立，即对任意的恒成立，故，因为数列在时单调递增，所以，当且仅当时取得最小值．所以实数的最大值为3．6．（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用的关系式求解即可；（2）由题意有，利用分组求和法分别求出，再根据数列的单调性分别求出，即可得解.【详解】（1）由，当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为公比的等比数列，所以；（2）由（1）得，则，故，，而随的增大而减小，所以，随的增大而增大，所以，因为对任意的，都有，所以.7．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知为等差数列，为等比数列，，，.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)记，对任意的，恒有，求的取值范围.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式求出公比和公差，即可求解；（2）利用裂项相消即可求和；（3）由恒成立，得到恒成立，分离参数