2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题10利用导函数研究函数的极值点偏移问题练习(学生版+解析)

专题10利用导函数研究函数的极值点偏移问题(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、极值点偏移的含义函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．2、极值点偏移问题的一般解法2.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．二、典型题型1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，．(1)若在上为增函数，求实数的取值范围．(2)当时，设的两个极值点为，且，求的最小值．2．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断在区间内的单调性；(2)若有三个零点，且．（i）求的取值范围；（ii）证明：.3．（2024高三下·江苏·专题练习）已知函数（其中e为自然对数的底）若，是的极值点且.若，且.证明：.4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.(1)当时，判断函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明.5．（2022·全国·模拟预测）设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.6．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上(1)当顶点在轴上方时，求以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；(2)已知函数，关于的方程有两个不等实根.（i）求实数的取值范围;（ii）证明：.7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．三、题型归类练1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)证明：.2．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)求函数的单调区间；(2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：.3．（2024·广东湛江·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．7．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数．(1)讨论的极值；(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：．8．（22-23高二下·河北张家口·期末）已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若方程的两个解为、，求证：.9．（21-22高三上·广东深圳·期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)①证明函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点；②设①中函数的零点为，记（其中表示中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：.10．（2023·北京通州·三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.专题10利用导函数研究函数的极值点偏移问题(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、极值点偏移的含义函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．2、极值点偏移问题的一般解法2.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．二、典型题型1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，．(1)若在上为增函数，求实数的取值范围．(2)当时，设的两个极值点为，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）借助导数可得，在上恒成立，结合二次函数的性质计算即可得；（2）由题意计算可得，从而可设，得到，结合导数研究该函数单调性即可得其最小值，即可得解.【详解】（1）因为，由题意，即对恒成立，整理得：，即，在上恒成立，显然时成立．当时，设，显然且对称轴为，所以在上单调递增，所以只要，又，所以；综上，；（2），即为方程的两个根，由题意可得，∴，解得，又，，两式相减得，令，则，令，，所以在递减，，所以的最小值为．【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于结合题意，得到的范围，并借助换元法，令，从而将多变量问题转化为单变量问题.2．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断在区间内的单调性；(2)若有三个零点，且．（i）求的取值范围；（ii）证明：.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；（2）（i）原条件可转化有三个不等实根，从而构造函数，研究该函数即可得；（ii）借助的单调性，得到，从而将证明，转化为证明，再设，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数，证明其在上大于即可.【详解】（1）当时，，，令，，令，可得，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；（2）（i）有三个零点，即有三个根，由不是该方程的根，故有三个根，且，令，，故当时，，当时，，即在、上单调递增，在上单调递减，，当时，，时，，当时，，时，，故时，有三个根；（ii）由在上单调递增，，故，由（i）可得，且，即只需证，设，则，则有，即有，故，，则，即，即只需证，令，则恒成立，故在上单调递增，则，即得证.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.3．（2024高三下·江苏·专题练习）已知函数（其中e为自然对数的底）若，是的极值点且.若，且.证明：.【答案】证明见解析【分析】求出，要证明，即证明，即证明.令，对求导，得出的单调性，即可证明.【详解】当时，函数，求导得，由是的极值点，得，即，令，求导得，当时，，当时，，则函数，即在上单调递减，在上单调递增，显然，，，因此是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减，要证明，即证明，亦即证明，由在上单调递增，且，，知，则，从而由，得，而，因此，令，求导得，由，得，因此函数在上单调递增，即，则，所以，即不等式成立.4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.(1)当时，判断函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明.【答案】(1)在上单调递增(2)，证明见解析【分析】（1）对求导，根据的符号得出的单调性；（2）由题意可知有两解，求出的过原点的切线斜率即可得出的范围，设，根据分析法构造关于的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可，【详解】（1）时，，故，在上单调递增.（2）关于的方程有两个不同实根,，即有两不同实根，，得，令，，令，得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，时，取得最大值，且，得图象如图：.

，则，即当时，有两个不同实根，，两根满足，，两式相加得：，两式相减地，上述两式相除得，不妨设，要证：，只需证：,即证，设，令，则，函数在上单调递增，且,，即，.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2，利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3，适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4，构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．（2022·全国·模拟预测）设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.【答案】(1)无最小值，最大值为(2)证明见解析【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解.（2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明.【详解】（1）由题意得，则.令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减，，无最小值，最大值为.（2），则，又有两个不同的极值点，欲证，即证，原式等价于证明①.由，得，则②.由①②可知原问题等价于求证，即证.令，则，上式等价于求证.令，则，恒成立，在上单调递增，当时，，即，原不等式成立，即.【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系；通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立.6．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上(1)当顶点在轴上方时，求以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；(2)已知函数，关于的方程有两个不等实根.（i）求实数的取值范围;（ii）证明：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明过程见详解.【分析】（1）先确定所求几何体何时能取到最大值，写出函数关系，利用导数分析函数单调性，求最大值；（2）（i）根据题意知，，进行同构，将问题转化为方程有两个不等的实数根，再进行分离参数，研究的单调性和极值，即可求出a的取值范围.（ii）由知，先证，即极值点偏移问题，构造函数，求，在单调递增，，得，从而可得即，再由的单调性，即可得到.【详解】（1）因为在轴上方，所以：；为直角三角形，所以当轴时，所得圆锥的体积才可能最大.设，则，（）.设（），则，由.因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.从而：.（2）（i）因为，即，即，令，所以，因为为增函数，所以即，所以方程有两个不等实根等价于有两个不等实根，令，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.当时，；当时，由洛必达法则知；所以.（ii）由（i）知，，令，，因为，所以，因为，，所以，即在单调递增，，所以.因为，所以，又因为，所以，因为，，且在上单调递减，所以，即，所以，所以.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的步骤如下：（1）求极值点：求出函数的极值点，结合函数的图像，由得出的取值范围；（2）构造函数：对结论为的情况，构造函数；①，则单调递增；②注意到，则即；③，根据在单调减，则④得到结论.7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）求导后，根据的正负可确定的单调性；（2）（i）将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到的图象，采用数形结合的方式可确定的范围；（ii）设，根据：，，采用取对数、两式作差整理的方式可得，通过分析法可知只需证即可，令，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可证得结论.【详解】（1）当时，，则；令，解得：或，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减.（2）（i）由得：，恰有个正实数根，恰有个正实数根，令，则与有两个不同交点，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于；则图象如下图所示，当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为；（ii）由（i）知：，，，，，不妨设，则，要证，只需证，，，，则只需证，令，则只需证当时，恒成立，令，，在上单调递增，，当时，恒成立，原不等式得证.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数的方式证明关于的不等式恒成立.三、题型归类练1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，求出，讨论其符号后结合零点存在定理可得参数的取值范围.（2）结合的单调性可得等价于，，，讨论的单调性后可得原不等式成立.【详解】（1），设，则，当时，；当时，；故在上为减函数，在上为增函数，故，因存在两个不同的零点，故即.此时且，故在有且只有一个零点.令，则，当时，；当时，；故在上为减函数，在上为增函数，故，故，故当时，有，故此时在有且只有一个零点.综上，.（2）由（1）分析可得，要证：，即证：，因即，故即证，即证：，其中，设，，则，故（因为，等号不可取），所以在上为增函数，故即，故成立即.2．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)求函数的单调区间；(2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：.【答案】(1)增区间为，减区间为(2)证明见解析【分析】（1）求导，然后根据导函数的正负来判断得单调性；（2）将变形为得到，然后构造函数，根据得单调性和得到，最后根据和得单调性即可证明.【详解】（1），令，解得，令，解得，所以的增区间为，减区间为.（2）证明：将两边同时除以得，即，所以，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，，设，则，令，则，由得，所以，，所以，在上单调递增，又，所以，当时，，即，即，又，所以，又，，在上单调递减，所以，即.【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.3．（2024·广东湛江·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．【答案】(1)在上单调递增，上单调递减，(2)见解析【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性；（2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明.【详解】（1）由题意可得，所以，的定义域为，又，由，得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，（2）由，得，设，，由，得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，又，，且当趋近于正无穷，趋近于，的图象如下图，所以当时，方程有两个根，证明：不妨设，则，，设，，所以在上单调递增，又，所以，即，又，所以，又，，在上单调递减，所以，故.【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对求导，得到的单调性和最值可证得，即可证明.4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求出函数的导数，然后分类讨论的取值情况，从而可求解.（2）结合（1）中结论可知，从而求出，，然后设并构造函数，然后利用导数求解，然后再构造函数证明，从而求解.【详解】（1）因为函数的定义域是，，当时，，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．综上所述，当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为．（2）因为是函的两个零点，由（1）知，因为，设，则，当，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，．又因为，且，所以，．首先证明：．由题意，得，设，则两式相除，得．要证，只要证，即证．只要证，即证．设，．因为，所以在上单调递增．所以，即证得①．其次证明：．设，．因为，所以在上单调递减．所以，即．所以②．由①②可证得．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）利用导数研究函数的零点问题．5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若对任意的都有，求实数的取值范围；(2)若且，，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分别计算，的导函数，接着分析它们的单调性，求得在时，的最大值为，的最小值为，问题得解；（2）先将转化为，再设，数形结合得到，接着构造函数，利用函数的单调性得到，最后利用放缩法证明不等式.【详解】（1）由，，得，，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，的最大值为．当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以当时，的最小值为．所以，故实数的取值范围为．（2）由得，两边取对数并整理，得，即，即．由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，（技巧：注意对第（1）问结论的应用）而，当时，恒成立，不妨设，则．记，，则，所以函数在上单调递增，所以，即，，于是，，又在上单调递减，因此，即，所以．【点睛】利用对称化构造的方法求解极值点偏移问题的“三步曲”：（1）求导，得到函数的单调性、极值情况，作出函数图象，由得到的大致范围．（2）构造辅助函数（若要证，则构造函数；若要证，则构造函数.），限定的范围，求导，判定符号，获得不等式．（3）代入，利用及的单调性即得所证结论．6．（2023高三·全国·专题练习）已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．【答案】证明见解析【分析】利用构造函数且结合导数求解极值点偏移问题.【详解】证明：由题意，，令，得，当，，所以在区间上单调递减，当，，所以在区间上单调递增，所以当时，取到极小值.所以与交于不同的两点，，所以不妨设，且，令，则，代入上式得，得，所以，设，则，所以当时，为增函数，，所以，故证：.【点睛】关键点睛：通过构造函数并结合函数的导数从而求解极值点偏移.7．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数．(1)讨论的极值；(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，求导得，然后分讨论，即可得到结果；（2）根据题意，将原式变形为，然后构造函数，，求导可得函数在上单调递增，即可证明.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，若，则，无极值；若，由，可得，若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，此时，函数有唯一极小值，无极大值；若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，此时，函数有唯一极大值，无极小值；所以当时，函数无极值；当时，函数有极小值，无极大值；当时，函数有极大值，无极小值；（2）证明：由，两边取对数可得，即，当时，，，由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，而，时，恒成立，因此，当时，存在且，满足，若，则成立；若，则，记，，则，即有函数在上单调递增，所以，即，于是，而，，，函数在上单调递增，因此，即.【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数极值问题以及极值点偏移问题，难度较大，解决本题的关键在于构造函数，，结合其单调性证明.8．（22-23高二下·河北张家口·期末）已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若方程的两个解为、，求证：.【答案】(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域与导数，利用函数的单调性、极值与导数的关系可得出结果；（2）设，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，要证，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，证明出对任意的恒成立，即可证得结论成立.【详解】（1）解：函数的定义域为，且，令可得，列表如下：减极小值增所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.（2）解：设，其中，则，令，可得，此时，函数在上单调递减，令，可得，此时，函数在上单调递增，所以，是函数的极小值点，因为函数有两个零点、，设，则，即且，要证，即证，因为函数在上单调递增，所以，只需证明：，即证，令，其中，则，因为，则，所以，，故函数在上为减函数，又因为，所以，对任意的恒成立，则，即，故成立.【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明（或）：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（2）证明（或）（、都为正数）：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相