2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题05解三角形(角平分线问题问题)练习(学生版+解析)

专题05解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2方法一：等面积法 2方法二：角互补 4三、专项训练 5一、必备秘籍角平分线如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，核心技巧1：内角平分线定理：或核心技巧2：等面积法(使用频率最高）核心技巧3：边与面积的比值：核心技巧4：角互补：在中有：;在中有：二、典型题型方法一：等面积法1．（23-24高一下·山东·阶段练习）的内角的对边分别为，满足(1)求；(2)的角平分线与交于点，求的最小值.2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，(1)求角；(2)若，求边上的角平分线长．3．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图在中，，，分别是角，，所对的边，是边上的一点.(1)若，，，，求的面积.(2)试利用“”证明：“”；(3)已知，是的角平分线，且，，求的面积.4．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．5．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；②求内角A的角平分线AD长的最大值．方法二：角互补1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．(1)求；(2)若点在边上，，且满足，求边长；请在以下三个条件：①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．3．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.(1)若为的角平分线，求的周长；(2)求的取值范围.三、专项训练1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于，则．2．（2024·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则，的面积为．3．（23-24高三下·浙江·开学考试）在△中，是的角平分线，且交于.已知，则，.7．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.(1)求角A的大小；(2)若是角平分线，求证：.8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且.(1)求角B；(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.9．（2024·广东惠州·模拟预测）条件①，

条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，(1)求；(2)若是的角平分线，且，求的最小值．10．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，.(1)若点D为的中点且，求的余弦值；(2)若的角平分线与相交于点E，当取得最大值时，求的长.专题05解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 1方法一：等面积法 1方法二：角互补 7三、专项训练 10一、必备秘籍角平分线如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，核心技巧1：内角平分线定理：或核心技巧2：等面积法(使用频率最高）核心技巧3：边与面积的比值：核心技巧4：角互补：在中有：;在中有：二、典型题型方法一：等面积法1．（23-24高一下·山东·阶段练习）的内角的对边分别为，满足(1)求；(2)的角平分线与交于点，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由诱导公式正弦定理倍角公式化简已知等式，即可求解；（2）由，得，利用基本不等式求的最小值.【详解】（1）由得：，由正弦定理得：，倍角公式得，由，有，所以，得，所以.（2）由，得，即，得，，当且仅当即

时等号成立所以的最小值为.2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，(1)求角；(2)若，求边上的角平分线长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简即可求出.（2）利用余弦定理及已知求出，然后利用三角形面积公式列方程求解即可.【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，即，而，解得，又，所以.（2）由及余弦定理得，又，解得，由得，即，则，所以.3．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图在中，，，分别是角，，所对的边，是边上的一点.(1)若，，，，求的面积.(2)试利用“”证明：“”；(3)已知，是的角平分线，且，，求的面积.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据，利用三角形面积公式求解即可；（2）由得，两边同时乘以，再利用向量的数量积即可证明；（3）根据正弦定理将角化边求出，利用和余弦定理求出的值即可求出的面积.【详解】（1），，，的面积为；（2），，两边同时乘以得，即,，两边同时除以，得，；（3），根据正弦定理有，即，，，，即，，，即，是的角平分线，，，，即，整理得①，在中，,即②，①②联立解得（舍）或，,的面积为.4．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，（2）由，可得，根据等面积法可求，由余弦定理即可求的值．【详解】（1）由可得故，进而，由于所以（2）由面积公式得，解得，，，即，，又，，．5．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；②求内角A的角平分线AD长的最大值．【答案】(1)(2)长的最小值为，的最大值【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，由于，所以，当且仅当时，等号取得到，所以；②因为为角的角平分线，所以，由于，所以，由于,所以，由于，又，所以由于，当且仅当时，等号取得到，故，故，方法二：角互补1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．(1)求；(2)若点在边上，，且满足，求边长；请在以下三个条件：①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可；（2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，由倍角公式可得，则，又因为，则，所以，即．且，则，可得，又因为，所以．（2）若选择①：若为的中线，设（），由余弦定理可得，，因为，可得，即，整理得，可知，又因为，解得或（舍去），所以；若选择②：若为的角平分线，则，在中，由余弦定理得，即，可知，即，可知，，所以；若选择③：若为的高线，则，则，即，则，可知，可知，,所以．2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．【答案】【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】解：因为，所以，，即，由正弦定理可得，因为的角平分线交于，则，所以，．又因为，，由可得，即，则，．在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得．②因为，则①②可得，，即，即，即，解得，此时满足，故，所以，．3．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.(1)若为的角平分线，求的周长；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由和，根据为的角平分线，得到，再与求解.(2)由和，得到，再结合，得到求解.【详解】（1）在中，，①在中，，②因为为的角平分线，所以，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，，所以的周长为.（2）在中，，在中，，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以所以所以，令，则，则，，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增所以，所以的取值范围为.三、专项训练1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于，则．【答案】【分析】由余弦定理求得，然后由角平分线定理求得，，再由余弦定理利用，求得．【详解】中，由余弦定理得，解得（舍去），是角平分线，则，所以，，又由余弦定理得：，，而，因此，，，．故答案为：．

2．（2024·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则，的面积为．【答案】6【分析】根据给定条件，求出边AB，AC长的关系，再利用余弦定理、三角形面积定理求解作答.【详解】在中，是的角平分线，且，则有：，令，则，在与中，由余弦定理得：，，因此，，得，即有，解得，的面积为.故答案为：；63．（23-24高三下·浙江·开学考试）在△中，是的角平分线，且交于.已知，则，.【答案】【分析】由角平分线的性质可得，设结合列方程求参数m，即可求，再由余弦定理求.【详解】由角平分线的性质知：，若，因为，则，所以，整理得，解得或（舍）.所以，则.故答案为：4．（23-24高三上·江西赣州·）在中，内角的对边分别为，满足为的角平分线，且，则.【答案】6【解析】根据题意先求出的三角函数值，在中，已知两边夹一角，可以利用余弦定理求出，再求出的三角函数值，在中，已知和，先求出，再利用正弦定理求解即可.【详解】记，因为，所以，，在中，由余弦定理，，代入数据，解得，，，所以，，在中，，由正弦定理，，即，解得，，即.故答案为：6【点睛】本题主要考查解三角形正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生对三角形中角和边关系的分析能力，同时还考查学生的计算能力，属于中档题.5．（2024·江苏常州·模拟预测）已知中内角的对边分别是，.(1)求的值；(2)设是的角平分线，求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形的正弦定理，结合诱导公式以及两角和的正弦公式可得所求值；（2）设ADx，运用三角形的面积公式，结合等积法可得，解方程可得所求值．【详解】（1），由，可得，，可得B为锐角，则，所以sin=，由=可得，解得；（2）由（1）可得，因为是的平分线，所以,设，由，可得，化为，解得，则．6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，且满足.(1)求角；(2)若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.（2）利用三角形面积公式，先求，再利用余弦定理求即可.【详解】（1），，由正弦定理得，，又，.（2），，，由题意知，，，，，，故.的周长为.7．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.(1)求角A的大小；(2)若是角平分线，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角结合同角的三角函数关系即可求得答案；（2）根据角平分线性质可得，利用展开化简即可证明结论.【详解】（1）由，由正弦定理可得，因为，可得，所以，即，又因为，可得.（2）因为是角平分线，且，所以，所以，可得，可得，所以，所以，即.8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且.(1)求角B；(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.（2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）由已知及正弦定理得：，又在中，,（2）由已知结合三角形的面积公式可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，即，所以，而，，故，因为，所以；选②：因为，由正弦定理，即，由余弦定理，因为，所以；选③：因为，正弦定理及三角形内角和定理可得，即，因为、，则，所以，，，所以，所以，即.（2）解：由题意可知，，由角平分线性