华东师大版九年级数学上册压轴题攻略专题14模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型压轴题四种模型全攻略(原卷版+解析)

专题14模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一“独立”型】 1【类型二“背靠背”型】 6【类型三“叠合”型】 13【类型四“斜截”型】 18【典型例题】【类型一“独立”型】例题：（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为米．（结果精确到米）【参考数据：，，】

【变式训练】1．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；

2．（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手离地面高度为，风筝飞到处时的线长为，这时测得，求此时风筝离地面的高度．（精确到，）

3．（2023春·广西柳州·九年级统考期中）【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值．【解题思路】小宁先画出了几何图形（如图1），他觉得虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连接，构造出等腰（如图2）．

【解题过程】在上截取，再连接，可证为等腰三角形，设，则．【尝试应用】（1）如图3，求的值；【拓展应用】（2）如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为米，请帮助他求出纪念碑的高度（结果保留整数，参考数据：）．

【类型二“背靠背”型】例题：（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：，，，，）．

【变式训练】1．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为．

2．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，在建筑物上，挂着米长的宣传条幅，从另一建筑物的顶端处看条幅顶端，仰角为，看条幅底端处，俯角为．求两建筑物间的距离（参考数值：，）

3．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C两点间的距离：（结果保留根号）(3)求这座大楼的高度．（结果保留根号）4．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）

(1)填空：______度，______度；(2)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；(3)求教学楼的高度．【类型三“叠合”型】例题：（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）

【变式训练】1．（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米．（参考数据：）

(1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米？（结果精确到米）(2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米，求对面B栋楼的高度．（结果精确到米）2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点．

(1)在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为，求的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度．（注：，，）3．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．

(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【类型四“斜截”型】例题：（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距海里，船C在船A的北偏东方向上，船C在船B的东南方向上，上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东方向上．

(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，）【变式训练】1．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．2．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，是某景区一段坡度的上坡路段，为竖直（与水平面垂直）的监控立杆，点D处安装了摄像头，点A、B分别为摄像头的测速起点与终点．安装调试摄像头时，在摄像头D处测得点A的俯角为，点B的俯角为．已知米，点O、A、B、C、D、E、在同一平面内．

(1)求杆的高度；（精确到个位）(2)一辆小汽车从A点驶向B点，摄像头两次测速抓拍的时间间隔为秒．若，此路段的限速是40千米/小时，试判断这辆小汽车是否超速违章，并说明理由．（参考数据：，，，）3．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为，再沿着坡面向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为，坡面的坡度，，(假设A、B、C、D、E在同一平面内)．

(1)求点B的高度(2)求“新”字的高度．(长保留一位小数，参考数据)

专题14模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一“独立”型】 1【类型二“背靠背”型】 6【类型三“叠合”型】 13【类型四“斜截”型】 18【典型例题】【类型一“独立”型】例题：（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为米．（结果精确到米）【参考数据：，，】

【答案】【分析】过作于点，可得，根据题意可知米，米，由作图知，米，在中利用三角函数可求出的长，即可求得的长【详解】过作于点，

，米，米，，米，在中，，，米，米，答：教学楼的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键．【变式训练】1．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；

【答案】【分析】在中，由可求，再由，即可求解．【详解】解：如图，

由题意得：米，米，，在中，，，，甲楼的高为（）米；故答案：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．2．（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手离地面高度为，风筝飞到处时的线长为，这时测得，求此时风筝离地面的高度．（精确到，）

【答案】此时风筝离地面的高度为【分析】根据矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，，，

由图可知，人垂直于地面，即垂直于地面，点到地面的高度为，即垂直于地面，且，∴四边形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴此时风筝离地面的高度为．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角函数的计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．3．（2023春·广西柳州·九年级统考期中）【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值．【解题思路】小宁先画出了几何图形（如图1），他觉得虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连接，构造出等腰（如图2）．

【解题过程】在上截取，再连接，可证为等腰三角形，设，则．【尝试应用】（1）如图3，求的值；【拓展应用】（2）如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为米，请帮助他求出纪念碑的高度（结果保留整数，参考数据：）．

【答案】（1）；（2）20米【分析】（1）先作出的中垂线，得出，进而求出，再同材料的解题思路即可求出答案；（2）过点作于，则四边形是矩形，进而得出米，米，进而求出，即可求出答案．【详解】解：（1）如图3，

作的中垂线交于，连接，则，，，设，在中，，，，，；（2）由题意得，则四边形是矩形，米，米，在中，，，，，（米），答：纪念碑的高度为20米．【点睛】此题主要考查了阅读材料的能力，解直角三角形，模仿求的方法求出是解本题的关键．【类型二“背靠背”型】例题：（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：，，，，）．

【答案】B，C两地的距离约是10千米．【分析】根据平行线的性质可知，推出，再根据正切的定义求出的长．【详解】解：如图：

∵，∴，∴，∴（千米）．答：B，C两地的距离约是10千米．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．【变式训练】1．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为．

【答案】【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E，

∴，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴A，C两港之间的距离为，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．2．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，在建筑物上，挂着米长的宣传条幅，从另一建筑物的顶端处看条幅顶端，仰角为，看条幅底端处，俯角为．求两建筑物间的距离（参考数值：，）

【答案】两建筑物间的距离是米【分析】如图，设，根据题意可得是等腰直角三角形，则，，在中，根据特殊角的三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图，设，

∵仰角为，，∴，即是等腰直角三角形，∴，，在中，，∴，即，∴，∴，∴两建筑物间的距离是米．【点睛】本题主要考查解直角三角形，记忆相关特殊角的三角函数值是解题的关键．3．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C两点间的距离：（结果保留根号）(3)求这座大楼的高度．（结果保留根号）【答案】(1)；(2)米(3)米【分析】（1）根据俯角和仰角的定义求解即可；（2）设，在中可得，在中可得，在中可得，最后由列方程求解即可；（3）由求解即可．【详解】（1）如图，

由题意可得，，，，，，，∴,，故答案为：；；（2）设，则，在中可得，在中可得，在中可得，∴解得：，∴；（3）由（2）可得，，∴【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．4．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）

(1)填空：______度，______度；(2)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；(3)求教学楼的高度．【答案】(1)105，135(2)无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为米(3)教学楼BC的高度为米【分析】（1）延长交于点，根据题意可得，，，则，再根据三角形的外角定理求出即可；（2）过点A作，垂足为F．根据题意可得，米，米，则，再根据即可求解；（3）在中，，则，即可求解．【详解】（1）解：如图：延长交于点，

由题意得：，，，∴，∵是的一个外角，∴，故答案为：105，135；（2）解：过点A作，垂足为F．

由题意得：，米，米，在中，，（米），∴米，∴米，∴此时无人机与教学楼之间的水平距离BE的距离为米；（3）解：在中，，米，∴米，∴米，∴教学楼的高度为米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．【类型三“叠合”型】例题：（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）

【答案】文峰塔的高度约为38米【分析】延长交于点G，设米，在中，求出的长，进而得出的长，中，利用，进行求解即可．【详解】解：延长交于点G．

由题意得：米，米，．设米．在中，，∴（米）．∴米．在中，，∴，解得．经检验：是原方程的根．∴（米）．答：文峰塔的高度约为38米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义．【变式训练】1．（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米．（参考数据：）

(1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米？（结果精确到米）(2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米，求对面B栋楼的高度．（结果精确到米）【答案】(1)A、B两栋楼的楼间距约为米；(2)对面B栋楼的高度约为米．【分析】（1）过点P作，交的延长线于点E，根据题意得，，根据三角形的外角性质得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；（2）根据题意可得：米，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．【详解】（1）解：过点P作，交的延长线于点E，

由题意得：，，∵是的一个外角，∴，∴，∴米，在中，（米），∴米，∴A、B两栋楼的楼间距约为米；（2）解：如图：

由题意得：米，米，，在中，，∴（米），∴（米），∴对面B栋楼的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点．

(1)在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为，求的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度．（注：，，）【答案】(1)(2)树的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2)过点作，垂足为，则米．设米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；；

（2）如图，过点作，垂足为，则米．设米．在中，（米），在中，（米），（米），解得．答：树的高度为米．

【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．3．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．

(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【答案】(1)(2)【分析】（）在中，已知，，利用角的正切可得出结果（）在中，由正切函数的定义求出的长，最后解，即可求出的长，即古树的高度．【详解】（1）由题意知，，，（2），，∴，，，，，，，在中，．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角、俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【类型四“斜截”型】例题：（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距海里，船C在船A的北偏东方向上，船C在船B的东南方向上，上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东方向上．

(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，）【答案】(1)200海里(2)无触暗礁危险【分析】（1）作于点E，设海里，则海里，根据可列出方程求得的值后即可求得的长；（2）根据（1）中结论得出的长，再与100比较即可得到答案．【详解】（1）解：作于点E，

由题意得：，，设海里，在中，，在中，，，解得：，，与C之间的距离等于（海里）；（2）解：由（1）知，（海里），，所以巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键．【变式训练】1．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．【答案】河流的宽度约为64米【分析】过点作于点，分别解、即可．【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的宽度约为64米．【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．2．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，是某景区一段坡度的上坡路段，为竖直（与水平面垂直）的监控立杆，点D处安装了摄像头，点A、B分别为摄像头的测速起点与终点．安