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文档简介
专题14模型构建专题:解直角三角形应用中的基本模型压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一“独立”型】 1【类型二“背靠背”型】 6【类型三“叠合”型】 13【类型四“斜截”型】 18【典型例题】【类型一“独立”型】例题:(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图,某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度,无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处,测得教学楼顶处的俯角为,则教学楼的高度约为米.(结果精确到米)【参考数据:,,】
【变式训练】1.(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图,甲乙两楼相距30米,乙楼高度为36米,自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°,则甲楼高度为米;
2.(2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中)如图,小明在公园放风筝,拿风筝线的手离地面高度为,风筝飞到处时的线长为,这时测得,求此时风筝离地面的高度.(精确到,)
3.(2023春·广西柳州·九年级统考期中)【阅读理解】小宁学习三角函数时,遇到一个这样的问题:在中,,,求的值.【解题思路】小宁先画出了几何图形(如图1),他觉得虽然不是特殊角,但是的一半,于是他尝试着在上截取,再连接,构造出等腰(如图2).
【解题过程】在上截取,再连接,可证为等腰三角形,设,则.【尝试应用】(1)如图3,求的值;【拓展应用】(2)如图4,某同学站在离纪念碑底距离5米的处,测得纪念碑顶点的仰角为,该同学的眼睛点离地面的距离为米,请帮助他求出纪念碑的高度(结果保留整数,参考数据:).
【类型二“背靠背”型】例题:(2023春·山东青岛·九年级统考开学考试)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离(结果保留整数)(参考数据:,,,,).
【变式训练】1.(2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习)如图,一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港,然后再沿北偏西方向航行至C港,C港在A港北偏东方向,则A,C两港之间的距离为.
2.(2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试)如图,在建筑物上,挂着米长的宣传条幅,从另一建筑物的顶端处看条幅顶端,仰角为,看条幅底端处,俯角为.求两建筑物间的距离(参考数值:,)
3.(2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中)某校举办以“测量”为主题的数学实践活动,该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度.如图所示,无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升,至点B处时,测得大楼底部C的俯角为30°,E测得大楼顶部D的仰角为45°.无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处,此时测得大楼顶部D的俯角为60°.已知A、C两点在同一水平线上.
(1)填空:=_________度,=_________度;(2)求A、C两点间的距离:(结果保留根号)(3)求这座大楼的高度.(结果保留根号)4.(2023·黑龙江大庆·统考一模)如图,某无人机兴趣小组在操场上展开活动,此时无人机在离地面30米的D处,无人机测得操控者A的俯角为,测得教学楼顶端点C处的俯角为,又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米.(点A,B,C,D都在同一平面上,结果保留根号)
(1)填空:______度,______度;(2)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离;(3)求教学楼的高度.【类型三“叠合”型】例题:(2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习)文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅,因塔建于天宁寺内,又名天宁寺塔;文峰塔建于五代后周广顺二年,已有一千余年历史,风格独特,具有上大下小的特点.由下往上一层大于一层,逐渐宽敞,是伞状形式,这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见.活动课上,数学社团的学生计划测量文峰塔的高度.如图所示,先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°,向塔的方向前进12m到达F处,在F处测得塔尖A的仰角为45°,请你相关数据求出文峰塔的高度.(结果精确到1m,参考数据:,,,.)
【变式训练】1.(2023春·湖南株洲·九年级统考期中)小军和小明在同一个班,他们都是数学爱好者,并且住在同一个小区的A栋楼,学完解直角三角形后,他们决定用所学知识来求距离,如图:A、B两栋楼,他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为.已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米.(参考数据:)
(1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米?(结果精确到米)(2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米,求对面B栋楼的高度.(结果精确到米)2.(2023·河北沧州·模拟预测)如图1,嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤,制作了一个简易测角仪.将此测角仪拿到眼前,使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点.
(1)在图1中,过点画出水平线,并标记观测的仰角.若铅垂线在量角器上的读数为,求的值;(2)如图2,已知嘉淇眼睛离地米,站在处观测的仰角为(1)中的,向前走米到达处,此时观测点的仰角为,求树的高度.(注:,,)3.(2023·江苏苏州·校考二模)如图,某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中,欲测量一棵古树的高度,他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为,在这棵古树的正前方处,测得古树顶端的仰角为,在点处测得点的俯角为,已知为米,且、、三点在同一条直线上.
(1)求平房的高度;(2)请求出古树的高度.(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计)【类型四“斜截”型】例题:(2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习)如图,在南北方向的海岸线上,有A,B两艘巡逻船,现均收到故障船C的求救信号,已知A,B两船相距海里,船C在船A的北偏东方向上,船C在船B的东南方向上,上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东方向上.
(1)求出A与C之间的距离.(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险?(参考数据:,)【变式训练】1.(2023·内蒙古·统考中考真题)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示,一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为,无人机沿水平线方向继续飞行12米至处,测得河流右岸处的俯角为,线段米为无人机距地面的铅直高度,点,,在同一条直线上,其中.求河流的宽度(结果精确到1米,参考数据:).2.(2023·江苏盐城·校考二模)如图,是某景区一段坡度的上坡路段,为竖直(与水平面垂直)的监控立杆,点D处安装了摄像头,点A、B分别为摄像头的测速起点与终点.安装调试摄像头时,在摄像头D处测得点A的俯角为,点B的俯角为.已知米,点O、A、B、C、D、E、在同一平面内.
(1)求杆的高度;(精确到个位)(2)一辆小汽车从A点驶向B点,摄像头两次测速抓拍的时间间隔为秒.若,此路段的限速是40千米/小时,试判断这辆小汽车是否超速违章,并说明理由.(参考数据:,,,)3.(2023春·浙江金华·九年级校考期中)春节期间,小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字,小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度:如图,小明先在A处,测得“新”字底端D的仰角为,再沿着坡面向上走到B处,测得“新”字顶端C的仰角为,坡面的坡度,,(假设A、B、C、D、E在同一平面内).
(1)求点B的高度(2)求“新”字的高度.(长保留一位小数,参考数据)
专题14模型构建专题:解直角三角形应用中的基本模型压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一“独立”型】 1【类型二“背靠背”型】 6【类型三“叠合”型】 13【类型四“斜截”型】 18【典型例题】【类型一“独立”型】例题:(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图,某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度,无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处,测得教学楼顶处的俯角为,则教学楼的高度约为米.(结果精确到米)【参考数据:,,】
【答案】【分析】过作于点,可得,根据题意可知米,米,由作图知,米,在中利用三角函数可求出的长,即可求得的长【详解】过作于点,
,米,米,,米,在中,,,米,米,答:教学楼的高度约为米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,借助仰角构造出直角三角形,然后利用三角函数进行求解是关键.【变式训练】1.(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图,甲乙两楼相距30米,乙楼高度为36米,自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°,则甲楼高度为米;
【答案】【分析】在中,由可求,再由,即可求解.【详解】解:如图,
由题意得:米,米,,在中,,,,甲楼的高为()米;故答案:.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,掌握解法是解题的关键.2.(2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中)如图,小明在公园放风筝,拿风筝线的手离地面高度为,风筝飞到处时的线长为,这时测得,求此时风筝离地面的高度.(精确到,)
【答案】此时风筝离地面的高度为【分析】根据矩形的判定和性质,直角三角形的性质,三角函数的计算方法即可求解.【详解】解:如图所示,,,
由图可知,人垂直于地面,即垂直于地面,点到地面的高度为,即垂直于地面,且,∴四边形是矩形,∴,在中,,,∴,∴,∴,∴此时风筝离地面的高度为.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质,矩形的判定和性质,三角函数的计算方法,掌握以上知识的运用是解题的关键.3.(2023春·广西柳州·九年级统考期中)【阅读理解】小宁学习三角函数时,遇到一个这样的问题:在中,,,求的值.【解题思路】小宁先画出了几何图形(如图1),他觉得虽然不是特殊角,但是的一半,于是他尝试着在上截取,再连接,构造出等腰(如图2).
【解题过程】在上截取,再连接,可证为等腰三角形,设,则.【尝试应用】(1)如图3,求的值;【拓展应用】(2)如图4,某同学站在离纪念碑底距离5米的处,测得纪念碑顶点的仰角为,该同学的眼睛点离地面的距离为米,请帮助他求出纪念碑的高度(结果保留整数,参考数据:).
【答案】(1);(2)20米【分析】(1)先作出的中垂线,得出,进而求出,再同材料的解题思路即可求出答案;(2)过点作于,则四边形是矩形,进而得出米,米,进而求出,即可求出答案.【详解】解:(1)如图3,
作的中垂线交于,连接,则,,,设,在中,,,,,;(2)由题意得,则四边形是矩形,米,米,在中,,,,,(米),答:纪念碑的高度为20米.【点睛】此题主要考查了阅读材料的能力,解直角三角形,模仿求的方法求出是解本题的关键.【类型二“背靠背”型】例题:(2023春·山东青岛·九年级统考开学考试)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离(结果保留整数)(参考数据:,,,,).
【答案】B,C两地的距离约是10千米.【分析】根据平行线的性质可知,推出,再根据正切的定义求出的长.【详解】解:如图:
∵,∴,∴,∴(千米).答:B,C两地的距离约是10千米.【点睛】此题考查了方向角问题.此题难度适中,解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识,利用三角函数的知识求解.【变式训练】1.(2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习)如图,一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港,然后再沿北偏西方向航行至C港,C港在A港北偏东方向,则A,C两港之间的距离为.
【答案】【分析】根据题意得,,,,过B作于E,解直角三角形即可得到结论.【详解】解:根据题意得,,,,过B作于E,
∴,在中,∵,,∴,在中,∵,∴,∴,∴,∴A,C两港之间的距离为,故答案为:.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.2.(2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试)如图,在建筑物上,挂着米长的宣传条幅,从另一建筑物的顶端处看条幅顶端,仰角为,看条幅底端处,俯角为.求两建筑物间的距离(参考数值:,)
【答案】两建筑物间的距离是米【分析】如图,设,根据题意可得是等腰直角三角形,则,,在中,根据特殊角的三角函数的计算方法即可求解.【详解】解:如图,设,
∵仰角为,,∴,即是等腰直角三角形,∴,,在中,,∴,即,∴,∴,∴两建筑物间的距离是米.【点睛】本题主要考查解直角三角形,记忆相关特殊角的三角函数值是解题的关键.3.(2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中)某校举办以“测量”为主题的数学实践活动,该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度.如图所示,无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升,至点B处时,测得大楼底部C的俯角为30°,E测得大楼顶部D的仰角为45°.无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处,此时测得大楼顶部D的俯角为60°.已知A、C两点在同一水平线上.
(1)填空:=_________度,=_________度;(2)求A、C两点间的距离:(结果保留根号)(3)求这座大楼的高度.(结果保留根号)【答案】(1);(2)米(3)米【分析】(1)根据俯角和仰角的定义求解即可;(2)设,在中可得,在中可得,在中可得,最后由列方程求解即可;(3)由求解即可.【详解】(1)如图,
由题意可得,,,,,,,∴,,故答案为:;;(2)设,则,在中可得,在中可得,在中可得,∴解得:,∴;(3)由(2)可得,,∴【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题,解题的关键是作辅助线,构造直角三角形解决问题.4.(2023·黑龙江大庆·统考一模)如图,某无人机兴趣小组在操场上展开活动,此时无人机在离地面30米的D处,无人机测得操控者A的俯角为,测得教学楼顶端点C处的俯角为,又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米.(点A,B,C,D都在同一平面上,结果保留根号)
(1)填空:______度,______度;(2)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离;(3)求教学楼的高度.【答案】(1)105,135(2)无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为米(3)教学楼BC的高度为米【分析】(1)延长交于点,根据题意可得,,,则,再根据三角形的外角定理求出即可;(2)过点A作,垂足为F.根据题意可得,米,米,则,再根据即可求解;(3)在中,,则,即可求解.【详解】(1)解:如图:延长交于点,
由题意得:,,,∴,∵是的一个外角,∴,故答案为:105,135;(2)解:过点A作,垂足为F.
由题意得:,米,米,在中,,(米),∴米,∴米,∴此时无人机与教学楼之间的水平距离BE的距离为米;(3)解:在中,,米,∴米,∴米,∴教学楼的高度为米.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,解题的关键是正确画出辅助线,构造直角三角形,熟练掌握解直角三角形的方法和步骤.【类型三“叠合”型】例题:(2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习)文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅,因塔建于天宁寺内,又名天宁寺塔;文峰塔建于五代后周广顺二年,已有一千余年历史,风格独特,具有上大下小的特点.由下往上一层大于一层,逐渐宽敞,是伞状形式,这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见.活动课上,数学社团的学生计划测量文峰塔的高度.如图所示,先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°,向塔的方向前进12m到达F处,在F处测得塔尖A的仰角为45°,请你相关数据求出文峰塔的高度.(结果精确到1m,参考数据:,,,.)
【答案】文峰塔的高度约为38米【分析】延长交于点G,设米,在中,求出的长,进而得出的长,中,利用,进行求解即可.【详解】解:延长交于点G.
由题意得:米,米,.设米.在中,,∴(米).∴米.在中,,∴,解得.经检验:是原方程的根.∴(米).答:文峰塔的高度约为38米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是构造直角三角形,熟记锐角三角函数的定义.【变式训练】1.(2023春·湖南株洲·九年级统考期中)小军和小明在同一个班,他们都是数学爱好者,并且住在同一个小区的A栋楼,学完解直角三角形后,他们决定用所学知识来求距离,如图:A、B两栋楼,他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为.已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米.(参考数据:)
(1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米?(结果精确到米)(2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米,求对面B栋楼的高度.(结果精确到米)【答案】(1)A、B两栋楼的楼间距约为米;(2)对面B栋楼的高度约为米.【分析】(1)过点P作,交的延长线于点E,根据题意得,,根据三角形的外角性质得,从而可得米,然后在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,即可解答;(2)根据题意可得:米,米,,然后在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而利用线段的和差关系,进行计算即可解答.【详解】(1)解:过点P作,交的延长线于点E,
由题意得:,,∵是的一个外角,∴,∴,∴米,在中,(米),∴米,∴A、B两栋楼的楼间距约为米;(2)解:如图:
由题意得:米,米,,在中,,∴(米),∴(米),∴对面B栋楼的高度约为米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.2.(2023·河北沧州·模拟预测)如图1,嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤,制作了一个简易测角仪.将此测角仪拿到眼前,使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点.
(1)在图1中,过点画出水平线,并标记观测的仰角.若铅垂线在量角器上的读数为,求的值;(2)如图2,已知嘉淇眼睛离地米,站在处观测的仰角为(1)中的,向前走米到达处,此时观测点的仰角为,求树的高度.(注:,,)【答案】(1)(2)树的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可.(2)过点作,垂足为,则米.设米.解直角三角形求解即可.【详解】(1)如图1;;
(2)如图,过点作,垂足为,则米.设米.在中,(米),在中,(米),(米),解得.答:树的高度为米.
【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形,熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键.3.(2023·江苏苏州·校考二模)如图,某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中,欲测量一棵古树的高度,他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为,在这棵古树的正前方处,测得古树顶端的仰角为,在点处测得点的俯角为,已知为米,且、、三点在同一条直线上.
(1)求平房的高度;(2)请求出古树的高度.(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计)【答案】(1)(2)【分析】()在中,已知,,利用角的正切可得出结果()在中,由正切函数的定义求出的长,最后解,即可求出的长,即古树的高度.【详解】(1)由题意知,,,(2),,∴,,,,,,,在中,.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角、俯角问题,熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.【类型四“斜截”型】例题:(2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习)如图,在南北方向的海岸线上,有A,B两艘巡逻船,现均收到故障船C的求救信号,已知A,B两船相距海里,船C在船A的北偏东方向上,船C在船B的东南方向上,上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东方向上.
(1)求出A与C之间的距离.(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险?(参考数据:,)【答案】(1)200海里(2)无触暗礁危险【分析】(1)作于点E,设海里,则海里,根据可列出方程求得的值后即可求得的长;(2)根据(1)中结论得出的长,再与100比较即可得到答案.【详解】(1)解:作于点E,
由题意得:,,设海里,在中,,在中,,,解得:,,与C之间的距离等于(海里);(2)解:由(1)知,(海里),,所以巡逻船A沿直线去营救船C,在去营救的途中无触暗礁危险.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解题关键.【变式训练】1.(2023·内蒙古·统考中考真题)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示,一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为,无人机沿水平线方向继续飞行12米至处,测得河流右岸处的俯角为,线段米为无人机距地面的铅直高度,点,,在同一条直线上,其中.求河流的宽度(结果精确到1米,参考数据:).【答案】河流的宽度约为64米【分析】过点作于点,分别解、即可.【详解】解:过点作于点.则四边形是矩形.∴,∵∴在中,∴,∴∴在中,,∴,∴,∴∴米答:河流的宽度约为64米.【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题.作垂线构造直角三角形是解题关键.2.(2023·江苏盐城·校考二模)如图,是某景区一段坡度的上坡路段,为竖直(与水平面垂直)的监控立杆,点D处安装了摄像头,点A、B分别为摄像头的测速起点与终点.安
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