2024-2025学年江西省上饶市婺源天佑中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省上饶市婺源天佑中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知(a+1)2≥(a+1)3，且A.a−b>0 B.a+b<0 C.1a>12.已知函数f(x)=ℎ(x),(x<0)−(1e)x−1,(x≥0).将函数ℎ(x)向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数y=−A.(−1,2) B.(−∞,−1)∪(2,+∞)

C.(−2,−1)∪(2,+∞) D.(−∞,−1]∪[2,+∞)3.设θ是锐角，cos(θ+π4)=cosA.2+1 B.2+12 4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(

)A.f(2)<f(−2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(−2)

C.f(−2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(−2)5.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=23OA，点A.12a+12b−126.暑期将至，甲、乙、丙等六名学生准备各自从A，B，C，D四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点A，则所有不同的选法种数为(

)A.540 B.720 C.1080 D.11707.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2022，S2024，S2026−8成等差数列，a2A.900 B.600 C.450 D.3008.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x+1)=2f(x)，f′(x)>0，则f′(5)f′(0)=(

)A.4 B.8 C.16 D.32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是(

)A.参赛成绩的众数约为75分

B.用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在[70,80)内的成绩抽取30人

C.参赛成绩的第75百分位数约为82.5分

D.参赛成绩的平均分约为72.8分10.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图象在A.ω的取值范围是(4,5)

B.若f(x)的图象关于点(5π18,0)对称，则f(x)在(0,π9)上单调递增

C.f(x)在[0,π4]上的最小值不可能为12

D.若f(x)的图象关于直线x=π3对称，函数g(x)=2|f(x)|+b,x∈[0,25π2411.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为22的直线与E交于A，B两点，其中点A在第一象限.若动点P在EA.AP⋅BP的最小值为0

B.当△PAB为等腰三角形时，点P的纵坐标的最大值为5+22

C.当△PAB的重心在x轴上时，△PAB的面积为92三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=12AA1=2，点M为A1B13.若(x+a)2(x−2)(x−3)(x−4)(x+b)的展开式中，x5项的系数为−8，则14.已知函数f(x)=cos2x⋅sin2x在[a,b]四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知命题p：对任意实数x，不等式mx2−2x+12>0恒成立；命题q：关于x的方程4x2+4(m−2)x+1=0无实数根．

(1)若p为真命题，求实数m的取值范围，

16.(本小题15分)

为了改善学校办公环境，某校计划购买A，B两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元．

(1)求出y关于x的函数解析式．

(2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用．17.(本小题15分)

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点Q为PA的三等分点，满足PQ=13PA．

(1)设平面QCD与直线PB相交于点S，求证：QS//CD；

(2)若AB=3,AD=2,∠DAB=60°,PA=32，求直线18.(本小题17分)

古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，N(1,0)，M(4,0)，动点Q满足|QM||QN|=2，设动点Q的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)若直线x−y+1=0与曲线C交于A，B两点，求|AB|；

(3)若曲线C与x轴的交点为E，F，直线l：x=my−1与曲线C交于G，H两点，直线EG与直线FH交于点D，证明：点D在定直线上．19.(本小题17分)

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N∗).

(1)求数列{an}的通项公式；

参考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.B

6.D

7.A

8.D

9.AC

10.BCD

11.AC

12.7

13.1814.2π315.解：(1)对任意实数x，不等式mx2−2x+12>0都成立，

当m=0时，不等式化为−2x+12>0，即x<14，不符合题意；

当m≠0时，要使对任意实数x，不等式mx2−2x+12>0恒成立，

则4−2m<0m>0，解得m>2．

所以命题p真时，实数m的取值范围是(2,+∞)；

(2)若q真，即方程4x2+4(m−2)x+1=0无实数根，则16(m−2)2−16<0，解得1<m<3，

即命题q真时，1<m<3，由(1)知，命题p真时，m>2，

由命题p、q中有且仅有一个是真命题，

得当p真q假时，m>2，且m≤116.解：(1)因为购买A型笔记本电脑x台，购买B型笔记本电脑(15−x)台，

又购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元，

则y=5200x+6400(15−x)=−1200x+96000，

所以y关于x的函数解析式为y=−1200x+96000，0≤x≤15．

(2)因为学校预算不超过9万元，购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，

所以−1200x+9600≤90000x≤2(15−x)，

解得5≤x≤10，

而x为整数，

故x可取5，6，7，8，9，10，

即学校共有6种购买方案．

由y=−1200x+96000，

已知函数y=−1200x+96000单调递减，

又5≤x≤10且x为整数，

所以当x=10时，y有最小值，且最小值ymin=−1200×10+96000=84000，

此时15−x=5，

故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为17.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，

点Q为PA的三等分点，满足PQ=13PA，

∵平面QCD与直线PB相交于点S，

∴平面QCD∩平面PAB=QS，

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB/​/CD，

∵AB⊄平面QCD，CD⊂平面QCD，∴AB/​/平面QCD，

∵AB⊂平面PAB，平面QCD∩平面PAB=QS，∴AB//QS，

∵AB/​/CD，∴QS//CD，

(2)过点C作CH⊥AD于点H，

∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

∵平面PAD∩平面ABCD=AD，且CH⊥AD，

∴CH⊥平面PAD，

连接QH，∴∠CQH是直线CQ与平面PAD所成的角，

∵点Q为PA的三等分点，PA=32，∴QA=23PA=22，

在Rt△DCH中，CH=3⋅sin60°=332，

在△ACD中，由余弦定理可得：

cos120°=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=22+18.解：(1)在平面直角坐标系中，N(1,0)，M(4,0)，动点Q满足|QM||QN|=2，设动点Q的轨迹为曲线C，

设Q(x,y)，因为|QM||QN|=2，所以|QM|2=4|QN|2，

即(x−4)2+y2=4[(x−1)2+y2]，整理得x2+y2=4，

所以曲线C的轨迹方程为x2+y2=4；

(2)直线x−y+1=0与曲线C交于A，B两点，

曲线C的圆心到直线x−y+1=0的距离d=|1|12+(−1)2=22，

所以|AB|=2r2−