高等数学课后习题及答案（共11单元）05定积分及其应用

第五章定积分及其应用答案

习题5-1

1.求世和心.

axJaxJa

解根据不定积分的性质得出：

根据定积分的定义可知，定积分是一个确定的常数，所以

可〃9二0

axJa

2.利用定积分表示图5-12中的阴影部分的面积

解根据定积分的几何意义得

a)(-x)dx-£(-x)dx

b)1+£x3dx

c)-fInxdx+fInxdx

J%Jl

3.利用定积分的几何意义计算下列定积分的值

(1)xdx；(2)£(x+l)lr；

(3)\l\-x2dx；(4)j^sin

~2

解(1)如图1所示，根据定积分的几何意义得

(2)如图2所示，根据定积分的几何意义得

[：*+3=a+；)x2=4

(3)如图3所示，根据定枳分的几何意义得

/y]\-x2dx=~~~=g万

(4)如图4所示，根据定积分的几何意义得

£

/彳sinxdx=-A|+4=0

4.设物体以速度□(1)=2产+3](单位：加/s)作直线运动，试用定积分表示该物体从静

止开始经过时间T以后所走过的路程s.

解根据定积分的定义可得s=[(2t2+3t)dt

5.已知=我=1.7,(g(x>〃=2,,且(工人=1.5求下列各值:

⑴「人人；⑵。(汇出；⑶f[3/(x)-2g(x)块.

解根据定积分的性质可知：

(1)£f(x}dx=£f(x)dx+f{x}dx

代入数据1=£7(0氏+1.7,可得£7(工加二一0.7

(2)£g(x}dx=£4-jjg(x)dx

代入数据2=£g(xRt+1.5,可得];g(x*x=0.5

(3)£[3/(x)-2^(x)]<i¥=3£f(x)dx-2^g(x)公=3x(-0.7)-2x0.5=-3.1

习题5-2

f.r7T

1.求函数y=，sinrdr当x=0及x=彳时的导数.

解因为y'=—PsinZeZr=sinx

dx）。

几%=sh咛考

所以y'Lw=sin0=0,

2.计算下列各导数

(1)吁(2)乡小』

小)。办"J"J

dfCOSX-

(3)—COS乃广大

解按照复合函数的求导思路来解决.

(1)—['y]\-^-t2dt=—(f71+rt/r)—(令〃=/)

dx^duJ。dx

=J1+/x2x

=2x71+x4

(2)

Vi+W

3x’2x

(1rcosx

(3)cos"力=COS(7FCOS2x)(cosx)z-cos(^sin2x)(sinx)’

公Jsinx

=一sinxcos(7icos2x)-cosxcos(^-sin2x)

3.计算下列定积分

(1)P(3x2-x+V)dx\

(3)£y[x(\-\-4x)dx；

/、fO3x4+3x2+1,1,

(7)；-------dx；(8)----dx\

Lx2+1J-eT1+X

乃

(9)『|cosx|tZx；(10)Ftan29d0；

Jo

[x+lX<1

(11)其中f(x)h

2

[2X>1

(12)j^|l-j^dx.

解(1)£(3x2-x+\)dx=(x3-^x2+x)

2

2

21

(2)

8

9

922271

(3)jVx(l+4x)dx=£(>/x+x)dx=(—x+—x)

443246

广$公:5/言』($=x

(5)—arctan-=--

tzao3a

a

11/、.x71

(6)(—)=arcsin—

06

4

3x+3x—)dx=「(3x2+―)dx

(7)x2+l+

x+1JTx+1

(x3+arctan戈)[：=1+-^

1iO

(8)----dx=d(x+1)=(ln|l+^|)|

1+XJ1+X-e-l

J~|COSA|^=j^cosxd^-

(9)cosxdx+[[cosxdx

=sin4

/»A/

(10)tan261/^=(see20-\)d0=(tan0-0^=l~^

x

ff^=k+1)△+J:5法=gV+J+U8

(11)

063

2

(12)j^|l-x|4Zr=£(l-x)dr+^2(x-1)tZr=(x--x2)

。个7)=1

1

4.在应用牛顿―莱布尼茨公式计算定积分「cosKdr时，可否用sinx+2或sinx+3

作为cosx的原函数”(x)使用呢？为什么？

解可以.根据牛顿一莱布尼茨公式，找到8sx的一个原函数即可，而sinx+2和

sinx+3均为cosx的原函数，所以均可使用，计算的结果相同.

5.求极限

[cos/2Jr

(1)lim^--------(2)lim^-----

XTOxIX-\

解分析：这两个极限均为“Q”型，可以采用洛必达法则，分子分母分别求导，再求极限。

0

fcosr2Jr

COST2

(1)lim^--------=lim

3°Xx->01

11mslj

IlX-lX-M1

习题5-3

1.计算下列定积分

।dx

(1)(2)x+-}dx；

-2ll+5x3

(3)Psin3xcosxz/r；(4)

Jo

[•6arctanx

(5)(6)

b1+x21/如

1sinx.

(7)(8)

1—；

X\l\+]nx1014-COSX

I,(10)

sx-\,

(11),--dx；(12)

3VT+7

V3dx

(13)(14)「x2yla2-x2dx；

x2yj\+x2Jo

底________________________________

3

(15)4(16)J^Vcosx-cos

-I

(1)f-，—=—!一J(ll+5x)=-ln|ll+5x|=-ln6

解

J-2ll+5x5J-2ll+5x51匚5

(3)

rV3arctanx,种,12

2-_n一

.....-ax=arctanAzzarctanx=—arctanx=

(5)Jol+%2Jo2018

=-ln(x2+2x+3)=-ln2

02o2

“11/------K

(7)f,dx=f/d(l+Inx)=2Vl+lnx=2

JlxVl+lnxJ,Vl+lnxh

(8)「一SmX—dx=-P-----Jcosx=-[arctan(cax)1^=—

Jol+cos2xJol+cos2x北2

(9)令我=/,则4=/,公=4/力，当％=1时，r=l：x=16时，t=2.

代入原式得

f16dx「24/「2/3+88、」/2,8\」

----==---dt=4\(劝=4(r-2f+4)dt

2+Vx2+tI2+t2+t-----I------------2+t

、竺一321nd

=4(-r3-/2+4/-81n|2+z|

,33

(10)令x=J^sinf(-巳wd巴)，则dx=J^cosfdr,

22

当x=0时，r=o；丁=后时，，=工.代入原式得

2

a_____元无

£yl2-x2dx=户2cos2tdt=J，(1+cos2t)dt

=(f+gsin2/)271

o=i

(11)令Jl+x=t,则x=/一],心:=2fdf,当x=3时，Z=2；x=8时、t=3.

代入原式得

x-1r3f2一231?326

-^dx=\—x2tdt=2f\(0r-2)dt=2x(-t-2t)=—

f2r2

(12)令1+V^=f,则x=«—l)2,公=2(，-1)力，当x=0时，/=1；x=4时，f=3.

代入原式得

|：⑵-4+[劝

=(产—4r+21nW)|：=21n3

(13)令x=tan/(一三v/〈工)，则J1+Y二sec/,d^=sec2/d/;当x=l时，r=—：

224

x=JJ时，/=工.代入原式得

3

Fdx13=V2--y[3

J77T77J需"爵伉sin/三3

(14)令x=0sinf(—则tZr=acosfdf;

22

当X=0时，f=0;X=4时，.代入原式得

2

「x2yla2-x2dx=E/s桁2/cos2tdt=£/(S^Z)2力=a£l-cos4r^

_cr(tsin4fE_M

-T28-0―石

(15)々x=sinf(—工则公=cosf力；

22

I7T7T

当x=-7=时，/=—；x=l时，f=—.代入原式得

V242

LtO=吃箸小色寨广力=jj(csc2r-l)Jr=(-cotr-唬二1-(

KKK____

(16)[Jcosx-cos3xdx=^^/cosx(l-cos2x)dx=^Vcosx|sinA)dx

22

4

2VcosxsinAzZr=-2

Jo3

2.利用函数的奇偶性计算下列积分

(1)「34nxM(2)后库喧人

Jr4

⑶1:节等如⑷匕4cos4。曲.

解（1）被积函数fsinx为奇函数，积分区间［-肛乃］关于原点对称，所以

fx6sinxtZr=O

J-1

（2）被积函数包泮立为偶函数，积分区间|"-!二］关于原点对称，所以

7^7L22」

公=2.（amsinx）2da「csinx=2（aRsinx）.=H

-2yl\—x20->Jl-x203o324

（3）被积函数'1为奇函数,积分区间［-4,4］关于原点对称，所以

x+5

产x5cos2x.八

-；----ax=0

L4X2+5

（4）被积函数4cod。为偶函数，积分区间一关于原点对称，所以

22

4cos4Odd=2p4cos4Odd=2p（l+cos2（9）2d0=2尸（1+2cos2（9+cos226）dO

行—分号~―+喑修

3.证明：fsinnxdx=2psinMxdx

2r

证明vsin"xtZr=jsinxtZv+jsin”xdx

2

令x=7i-t,则Qr=—力;当x=¥■时，t=—；x=乃时，r=0.

22

T0—

代入积分J；sin"xdx=一jsin"（乃一，）力=尸5山"tdt=尸sin"xdx

22

[sin/,xtZr=2psinMxdx得证.

习题5-4

1.计算下列定积分

ororoioror

rsoopr^J=xpx\s\sxiJ-|ruiszr=ruis^^xJ=xpxsoozxJ(9)

/、Z°f

(l-d丁欠。"JK始

xpxsoox3\-\-^=xpxso2x3[-0卜iqs/+i-

oror

apxuisrsoo^=aprso。=rp,soo.^(S)

』+LM=W呷，』+：|vv应JxQ

,70

COfZ/20for

xu^yoiep^x—J-rui?jDJB产工二(/ppTumonj=JT7XUPJOJUXj(V)

"P型上匕上_=空空牙+匕心

•「I，2”「rXSOOy21%

-f-fx_uis[

空X]O%4-[rjoor-=(X)O3-)/7X£|=^px.osor£|=印-J-£|(E)

1=£|ruis=^xsoozj+£|rsoox-=(xsoo-)pxZJ=^pxuisr^|(3)

MX乂MM

y-I=jJ_，=MNJ+°|JY_=(J_)/J=xp_axJ(T)

x拂

or

.部riqj(8):*"iqs。1外(£)

T

oror

():邛”•SO。2

A7?xsoo'_rxJ9(S)

Of噂XW4S--

WKinnaiuT](fr)(£)

5ATzruisr^f(Z)

(T)

i।2

x12JE

(7)|^arcsinAzZr=xarcsinx|2-J^---=公=二+1=J(l-x2)

X2

o=H-

(8)JInX6/r=xln-J\dx=e-j^=1

2.计算下列定积分

^^2.

(1)cos(lnx)dx：(2)j^4y/xsmy/xdx.

解(1)方法一：令lnx=f,则x=e'，当x=l时，f=0；x=e时，z=l.

£cos(lnx)dx=£costde1=e'cos/1；+卜sin/力=ecos1-1+fsintde1

=ecosl-1+dsinf|；一［：-cosf力=ecosl-l+esinl-£cosfc/e,

所以£cos(lnx)dv=^x(ecosl+^sinl-l)

方法二:Jcos(lnx)dx=xcos(Inx)1+(sin(inx)dx

=ecosl-l+xsin(lnx)|；-jcos(lnx)dLv

所以Jcos(lnx)d^=-^x(^cosl4-esin1-1)

(2)令4=f,则4=",公=2以。当x=0时，r=0：x=L时，t71

45

代入原式得

f^VxsinVx^/x=f22r2sin/i/r=-p2rdcost=-2rcosrl2+f24tcostdt

JoJoJoIoJo

££f-£

=4psin/=4zsin/|J-4j2sinrJr=2^+4cosr|J=2乃一4

3.用递推公式计算下列定积分：

⑴£(1-X2)2JX(2)£(l-x2)2dx

解分析：这两个题均利用例5得到的递推公式来求解.

(1)令x=sin,(--WOdx-costdt,当x=0时，，=0；x=1时，t=—

222

代入原式得

2258.8

j^(l-x)dr=j^costdt=—x—costdt=噌=——

——15sin1015

(2)令x=sin/(-巳VZK')，则公=cos/dl,当x=O时，/=O；x=l时，”工

222

代入原式得

£(12氤=£JLS冗5万

cos6tdt=­x—x—户1力=2

642Io16I。32

习题5-5

计算下列广义积分:

Ioe~Xdx;

((2)

x

(3)(4)Jxedx；

**>i

(5)dx

L0°x2+2x4-2

b

f+oo1”•b11

解⑴I六蚂(—=lim(——x3)=lim(--

IX453&->+»33

e~xdx=lim[e~xdx=lim(一\h=lim(l-e~b)=i

I。bfwoJo22I110

x1

(3)dx=limlim=lim(ijh-4)=+<o

6->-wo

所以广义积分『白伙发散.

yjx

xexdx=lim广

(4)xdes-limxexexdx

(-ooJo

lO

lim(-aea-e\)=lim(ea-1)=-1

4<X>

(5)--------dx+-------dx

匚ohL^X2+2X+2JOX2+2X+2

•o1、b1

=limd(x+l)+limt/(x+l)

QTfJa(x+l)2+l/>—»+ooJO(X4-1)2+1

limarctan(x+l)|0+limarctan(x+l)P=TT

—'a〃一>+»IC

习题5_6

1.求由下列曲线围成的图形的面积：

(1)y=—=x和x=2；

x

(2)y=和x=l；

(3)y=lnx,x=O,y=ln〃,与y=lnZ?(b>a>0)；

(4)y==c与x=0；

(5)y=2x-^y=3-x2；

(6)y=/与>=2x+3；

(7)y=x3,x=ORy=-l.

解(1)y=1,y=x和x=2

x

如图5所示，选取x为积分变量，所求面积位于02］之间，在［1,2］上任取一个小区

间上x+公］,则相应于此小区间的窄条面积可用高为工-工，宽为公的小矩形面积近似代

x

替，从而得面积微元

dA=(x--)dx

x

根据微元法得

,21

A=\(x——)dx

Jix

=(ix2-ln|x|)=|-ln2

(2)y==0-'和x=l

如图6所示，选取x为积分变量，所求面积位于［0,1］之间，在［0,1］上任取一个小区

间k了+。耳，则相应于此小区间的窄条面积可用高为宽为公的小矩形面积近似

代替，从而得面积微元

dA=(ex-e~x'\dx

根据微元法得

A=［\ex-e'x)dx

Jo

图6

=(e")卜e+；-2

(3)y=Inx,x=0,y=In与y=]nb[b>a>6)

如图7所示，选取y为积分变量，所求面积位于［in之间，在［inojn/?］上任

取一个小区间［y,y+dy］,则相应于此小区间的窄条面积可用长为"-0,宽为dy的小矩

形面积近似代替，从而得面积微元

dA=eydy

根据微元法得

flnb

y

A=\Jin<7edy

nb

=e-y\f=b,-a

IIna图7

(4)丁=",y=6与工=0

如图8所示，选取工为积分变量，所求面积位于［0,1］之间，在［0』上任取一个小

区间卜,彳+邮，则相应于此小区间的窄条面积可用高为宽为公的小矩形面积近似

代替，从而得面积微元

dA=(e-ex)dx

根据微元法得

A=f(e-ex)dx

Jo

=(ex-ex)[=l

(5)y=2x^y=3-x2

y—2%

如图9所示，解方程组产;小得两条直线的交点为(-3,-6)和(⑵,

选取x为积分变量，则所求面积位于［-3,1］之间，在［-3,1］上任取一个小区间［x,x+田

则相应于此小区间的窄条面积可用高为3-/一2工，宽为公的小矩形面积近似代替，从而

得面积微元

dA=(3-x2-2x)dx

根据微元法得

A=f§(3-/一2x)dx

=(3X--^X3-X2)32

-3=T

(6)y=x2^y=2x+3

如图10所示，解方程组>得两条直线的交点为(-1,1)和(3,9),

v=2x+3

选取X为积分变量，则所求面积位于［-1,3］之间，在［-1,3］上任取一个小区间上X+M，

则相应于此小区间的窄条面积可用高为2尤+3-/,宽为公的小矩形面积近似代替，从而

得面积微元

dA=(2x+3-x2)dx

根据微无法得

A=J[(2x+3-x2)dx

3

=(炉+3]」马.二必

3_13

(7)y=/,元=0及y=-1

如图11所示，选取x为积分变量，所求面积位于［-1,0］之间，在上任取一个

小区间卜x+公］，则相应于此小区间的窄条面积可用高为/+1,宽为办的小矩形面积近

似代替，从而得面积微元

dA=(x3+\)dx

根据微元法得

4-14

2.求下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转所形成的旋转体的体积:

(1)y=Vx,x=l,x=4,y=0,绕x轴；

(2)y=sinx,x=O,x=;r,y=0,绕x轴；

(3)y2=X,=y,绕y轴；

式

(4)y=sinx,y=COSR,X釉上的线段0,万，绕x轴；

(5)y=W-4,y=0,绕不轴.

解(1)y=Vx,x=l,x=4,y=0,绕x轴

如图12所示，绕x轴旋转时，积分区间为[1,4],曲边梯形的曲边是)，二«,代入

（2）y=$山%,欠=0,冗=跖丫=0,绕入轴

如图13所示，绕x轴旋转时，积分区间为［0,乃］,曲边梯形的曲边是y=sinx,代

入体积公式得：

V=%(sinx)2dx

（3）y2=X,X2=），,绕y轴

如图14所示，绕y轴旋转时，积分区间为［0,1］,曲边梯形的曲边是x=和x=V,

所求体积为两旋转体体积之差，代入体积公式得：

V=（6）"）'一"［O'/办'

(4)y=sinx,y=cosx,x轴上的线段0弓，绕x轴

如图15所示，绕x轴旋转时，积分区间为o,g,在o,f区间上曲边梯形的曲边

24

7171

是旷=$皿1，在区间上曲边梯形的曲边是y=cosx,代入体积公式得:

V=7F(sinx)2dx+^^(cosx)2dx

4

££

1,sin2x、41sin2x.2乃27

=-^x---^―)+7万(工+^—)

22n22万~T~2

(5)y=/一4,y=0,绕X轴

如图16所示，绕x轴旋转时，积分区间为[-2,2],曲边梯形的曲边是丁二/一4,

代入体积公式得：

丫=乃『2(/_4)2公

(x4-8x2+16)iix

J583yJ512

53_215

图16

3.求曲线y=Incosx在0WxV工一段的弧长.

4

sinx

解由于y'=-2—，代入弧长公式得:

COSX

S=(4Ji+(一dx=£4secxdx

无

=ln|secx+tanA||^=ln(V2+l)

4.压缩弹簧所用的力与弹簧的长度成正比，一个弹簧原长为30。垢压缩0.01阳时需用

力2N，求把弹簧从0.25加压缩到0.2m时所作的功.

解设弹簧压缩上加时，外力为了(X),设/(X)=%M(改为常数)，由题意知，当x=0.01

时，/(x)=2,于是

2=0.0炊

解得％=200,所以f(x)=200x,取x为积分变量，积分区间为［0.05,0.1］,在［0.05,0.1］

上任取小区间卜/+公］,得功微元为

dW=200xdx

所以外力作功为

W=\2003=100?=0.75J

JO0510.05

5.一物体按规律X=/在某种媒质中作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计

算物体由X=0移动到X=〃时，克服媒质阻力所作的功.

224

解因为％=产，所以速度》=犬=3产=3(/)2=3一,则阻力f(》)=%/=9依£

取1为积分变量，积分区间为［0,〃］，在［0同上任取小区间区x+阂，得功微元为

4

dW=9k^dx

所以外力作功为

1-27-a27-

W=f9kx3dx=—kx3=—ka3

Jo77

o

6.有一个圆锥贮水池，深15加，口径206，里面盛满了水，问把池中的水全部抽到池

外，需作多少功？

2

解位于贮水池底面上方工机，厚度为dr的一层水的体积为dV=万x(］X＞必:，这层

,2,

水所受的重力为R^gxlOSx加弓工)2山:，由于公很小，所以这层水大约抽(15-此机就

被抽出贮水池，因此功微元为

4,,

dF=—x\03g^x2(［5-x)dx

又因为水层位于区间［0,15］上，所以抽尽水所作的功为

卬=1-X1o3(15-x)dx=1875^(V)

7.一物体以速度u=3r+2t(m/s)作直线运动，求它在f=0到，=3秒一段时间内的平

均速度.

解物体的速度u=3»+2f,根据定积分的物理意义及平均值公式得:

v=1£(3t12+2t)dt=\2(m/s)

8.求函数y=2xe-x在［0,2］上的平均值.

解根据定积分的平均值公式得：

v=-f22xe~xdx=1-W

21。/

9.求交流电U=U0|sin在一个周期内电压U的平均值.

解交流电U="Jsin函它的周期为根据定积分的平均值公式得:

乳

—1r-....s一/cosm、。2

U=-。4sincotdt=—U(-------)=-Uo

Jo7tQCDQ7i

CO

复习题五

1.填空题

(1)—rsinrdt=_________；(2)—[\mrdt=_________；

dx^dx」。

(3)已知Z〉0,且((2工72%=0,则A=.

(4)jx4sin3xdx=；

⑸£7(加+,/(加=---------

解(1)0；(定积分为一个数值，再求导为0)

(2)sinx2；(积分上限函数求导)

(3)k=3；(£(2x-x2Xr=(x2-^3)=公-g/=0n1=3)

(4)0；(被积函数/sii?%为奇函数，且积分区间关于原点对称，积分结果为0)

（5）o；（'/（九/二

2.计算下列定枳分

(1)f2cos3xsin2xdx\(2)口X-物;

Jo

2

(5)(6)Jxlnxdx；

r1+Inx,

(7)(8)farctan>[xdx；

Jo

12f2six2—1,

(9)(io)J---3―dx.

X

解(1)「cos3xsin2xdx=2|2cos4xsinxdx=-2口cos4xdcosx

JoJoJo

2

5

(2)£|x-2|t£v=£(2-xX^+£(^_2Xr=(2x-—x2)+(—x2-2x)=—

2

oo2Q22

(3)£(l-sin3x)/x=£sinx(l-cos2=j(1-cos2xWcosx

(1/4

=%lQcosxcosX)=乃

33

(4)令工=$8,(04/<工)，则-1=tant,dx=secflantdt;

2

当％=1时，/=0；x=2时，，=工.代入原式得

3

12y/x2-Idx

=^seertantdt=「(sec21-l)dt=(tani-0|J=V3

IXJoseer103

/-----5—tt

(5)令j5-4x=/,则1=----,dx=——力;当x=-l时，t=3；x=l时，t=\.

42

代入原式得

3j_

「借7小一1（5-尸）力=北（5T2）力［⑸千）=

i6

(一

(6)[L9=11n2wL2)=L2]n2Y11x2d(\n2x)

।i22ii2

12rli,12f4i」/l2、

=—exlnAWC=—lnAa(—x~)

=—--x2lnA+\e—xdx=—(e2

22IJi2