数学自主训练：平面向量的实际背景及基本概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1．下列物理量：①质量；②速度;③位移；④力；⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功。其中不是向量的有(）A。1个B。2个C。3个D。4个思路解析：由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量,是数量.答案：D2．下列说法中正确的是(）A。只有方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量的长度为零C.长度相等的两个向量是相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量思路解析:注意相等向量和共线向量的区别和联系，也需注意特殊向量——零向量.答案:B3．下列说法中不正确的是（）A.向量的长度与向量长度相等B.任何一个非零向量都可以平行移动C。长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同思路解析：共线向量只与方向有关，只要是方向相同或相反的向量都是共线向量，所以D不正确。答案：D4．下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c;④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形。正确的个数为(）A。0B.1C思路解析：①正确;②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；③不正确，假设向量a为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立；④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形∥且=，即和相等.答案:C5．下列说法中正确的是(）A.若|a|＞|b|，则a＞bB。若|a｜=|b｜，则a=bC.若a=b，则a∥bD。若a≠b，则a与b不是共线向量思路解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a=b需且只需满足两条：a∥b与|a｜=｜b｜，所以B不正确，C正确；a∥b是共线向量只需方向相同或相反，所以D不正确.答案：C6．设O是正六边形ABCDEF的中心,那么图2-1-9中分别与向量相等的向量有_____________个()图2—1—9A。1,2，3B。2，2,1C.2，2，3思路解析：结合图形进行求解会发现;=；==。答案：C7.以下说法正确的是_________________。①单位向量均相等②单位向量共线③共线的单位向量必相等④单位向量的模相等思路解析：单位向量也是向量，它也是有大小和方向两个方面，由单位向量的定义知只有④正确,其他的答案都没有注意到单位向量的方向。答案：④8。△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是_______________。思路解析：因为△ABC是等腰三角形，所以|｜=|｜.答案：模相等9.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向，与a0的长度_______________.思路解析：长度等于1的向量叫做单位向量，a的单位向量与a在同一直线上，且方向相同.答案:相同相等10。给出以下5个条件：①a=b；②｜a｜=｜b|；③a与b的方向相反；④｜a｜=0或|b｜=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是_____________.思路解析：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小。答案：①③④我综合我发展11.（1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为__________________.（2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为__________________.（3）把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l的点P,这些向量的终点构成的几何图形为__________________。思路解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.（1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故只有两个,起点为P,则终点应为直线l上与P的距离相等的两个点.(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为直线l上的任意一点。答案：（1）圆（2）两点（3)在直线l上12。如图2—1-10，D、E、F分别是等腰Rt△ABC的各边中点，∠BAC=90°。图2-1—10(1)分别写出图中与向量、长度相等的向量;(2）分别写出图中与向量、相等的向量；(3)分别写出图中与向量、共线的向量。思路分析：相等向量要考虑两个向量的大小、方向，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向.解：（1）｜|=|｜=|｜=||;｜|=|｜=|｜=｜｜=｜｜=｜|=||.（2)==；==。（3)与共线的有:、、、、、；与共线的有：、、、、、.13。已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km思路分析：本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形,然后解平面几何问题即可。解:如下图，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地.由题意知△ABC是正三角形，∴AC=2000km.又∵∠ACD=45°，CD=1000km∴△ACD是直角三角形。∴AD=1000km，∠CAD=45°.∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地1000km.14。在如图2—1-11的方格纸上，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b=a。(2)在图2—1-11中，画一个以C为起点的向量c，使|c｜=