四年级数学下册 第2讲 认识三角形和四边形（教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+阶梯训练）（北师大版）

第2讲认识三角形和四边形知识点一：图形分类知识点二：四边形和三角形的性质1.三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。2.加固物体时，可以利用三角形的稳定性。知识点三：三角形分类1.根据角的特征，三角形可以分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。2.根据边的特征，三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形。3.等腰三角形是两条边相等的三角形，等边三角形是三条边都相等的三角形，所以可以说所有的等边三角形都是等腰三角形，但不能说所有的等腰三角形都是等边三角形。知识点四：三角形内角和1.所有三角形的内角和都是180°。每个三角形的所有内角都能拼成一个平角。2.已知三角形两个角的度数可以求出另外一个角的度数，进而确定三角形的形状。3.已知三角形中一个角的度数，根据三角形内角和等于180°，可以求出另外两个角的度数和，并根据每个角的大小来判断这个三角形可能是什么三角形。知识点五：三角形三边的关系1.三角形边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。2.判断三条线段能否围成三角形最简捷的方法：只要把较短的两条线段的和与最长的线段进行比较即可。知识点六：四边形的分类1.四边形的分类：平行四边形、梯形和一般的四边形。2.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。只有一组对边平行的四边形是梯形。3.正方形、长方形都是特殊的平行四边形；正方形是特殊的长方形。考点1：三角形和四边形的性质【例1】（2019春•秦皇岛期末）下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是A． B． C．【思路分析】不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可．【规范解答】解：根据三角形的特性：三角形具有稳定性；故选：．【名师点评】此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用．1．（2019春•郾城区期末）自行车利用了三角形的，伸缩门是利用了平行四边形的．【思路分析】根据三角形的稳定性和平行四边形的易变性进行解答即可．【规范解答】解：自行车利用了三角形的稳定性，自动伸缩门是利用了平行四边形的易变性；故答案为：稳定性，易变性．【名师点评】解答此题的关键：应明确三角形的稳定性和平行四边形的易变性．2．（2019春•新华区期末）升降机可以上下活动是利用了平行四边形的易变性；篮球架中的三角形，是利用了三角形的．【思路分析】根据三角形的稳定性和平行四边形的易变形（不稳定性）进行解答．【规范解答】解：升降机可以上下活动是利用了平行四边形的易变性；篮球架中的三角形，是利用了三角形的稳定性．故答案为：易变性，稳定性．【名师点评】灵活掌握三角形和平行四边形的特性，是解答此题的关键．3．（2019秋•文登区期末）教室的门牌歪了，请根据三角形的有关知识设计一种加固方案画在图二中．【思路分析】根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状．【规范解答】解：利用三角形具有稳定性的特点，设计如下：【名师点评】题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题考点2：三角形的分类【例2】（2019春•越秀区期末）甲、乙、丙、丁四个三角形都分别知道其中两个角的度数：甲：、乙：、丙：、丁：、根据上面的信息可以知道：是锐角三角形，是直角三角形，是钝角三角形；是等腰三角形，是等边三角形．【思路分析】三角形的两个内角的度数已知，依据三角形的内角和是，即可求出第三个内角的度数，从而可以判定这个三角形的类别．【规范解答】解：甲中第三个角：，甲是锐角三角形，也是等腰三角形；乙中第三个角：，乙是锐角三角形，也是等边三角形；丙中第三个角：，丙是钝角三角形；丁中第三个角：，丁是直角三角形；由此可知：甲、乙是锐角三角形，丁是直角三角形，丙是钝角三角形；甲是等腰三角形，乙是等边三角形；故答案为：甲、乙，丁，丙，甲，乙．【名师点评】规范解答此题的主要依据是：三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．1.（2019春•沙河口区期末）下列各图表示的关系正确的个数有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【思路分析】根据三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边可以分为：不等腰三角形和等腰三角形，其中等边三角形属于等腰三角形；四边形可以分为一般四边形和长方形，其中正方形是长方形的一种特殊情况；由此规范解答即可．【规范解答】解：下列各图表示的关系正确的个数有0个；故选：．【名师点评】灵活掌握三角形的分类、四边形的分类，是规范解答此题的关键．2．把表格补充完整．分类按边分类按角分类名称等边三角形等腰三角形不等边三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形图形序号特点三条边相等条边相等条边都不相等个锐角个钝角个锐角个直角个锐角【思路分析】三角形按边分类，可分为：等边三角形（三条边都相等的三角形）、等腰三角形（有两条边相等的三角形）、不等边三角形（三条边都不相等的三角形）；三角形按角分类，可分为：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）、直角三角形（有一个角是直角的三角形）、钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）．据此即可把这些三角形进行分类、填表．【规范解答】解：分类按边分类按角分类名称等边三角形等腰三角形不等边三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形图形序号⑥、⑦②、③、⑤①、④、⑧、⑨、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨①、②、③、④特点三条边相等两条边相等三条边都不相等三个锐角一个钝角两个锐角一个直角两个锐角【名师点评】此题是考查三角形的分类、及特征．3．（2019春•肇州县校级期末）分一分，将正确答案的序号填在括号内．【思路分析】根据三角形按照角的大小分类情况，三角形按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角等于的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；据此进行判断即可．【规范解答】解：锐角三角形：①④⑦直角三角形：②⑧钝角三角形：③⑤⑥故答案为：【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形按照角的大小分类的情况及应用，要熟悉各类三角形的判定条件．考点3：三角形的内角和【例3】求下面未知角的度数．【思路分析】（1）三角形的内角和是，求出的度数，再根据平角的定义，的角叫做平角．用减去的度数就是的度数，据此列式规范解答．（2）如图：首先根据平均的定义求出的度数，再根据三角形的内角和是，那么，据此规范解答．【规范解答】解：（1）如图：答：的度数是．（2）如图：答：的度数是．【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和的意义、平角的定义及应用．1．（2019春•韶关期末）算一算．和的度数各是多少？【思路分析】（1）在直角三角形中，两个锐角的度数和是，所以用减去即得的度数；（2）由图可知，与跟它相邻的角组成一个平角，是，而在右边的三角形中，与相邻的角，所以；据此规范解答．【规范解答】解：（1）（2）．【名师点评】此题考查了三角形的内角和是的运用．2．在一个三角形中，三个内角分别为、和，其中与的度数和比大，求的度数．【思路分析】三角形的内角和是，在一个三角形中，三个内角分别为、和，其中与的度数和比大，用再除以2即可求出的度数，据此列式规范解答．【规范解答】解：答：的度数是．【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形的内角和，并且能够根据三角形的内角和求出三角形中任意一个未知角的度数．3．一个等腰三角形顶角度数比一个底角多，求它的顶角和一个底角各多少度？【思路分析】等腰三角形的两个底角相等，设三角形的底角是度，则三角形的顶角是度．根据三角形的内角和是180度．列方程规范解答即可．【规范解答】解：设三角形的底角是度，（度答：这个三角形的顶角是126度，底角是27度．【名师点评】规范解答本题的关键是根据等腰三角形的两个底角相等，再根据三角形的内角和是规范解答即可．考点4：三角形的三边的关系【例4】（2019•云岩区）有五根木条，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当中选出3根木条围成一个三角形，一共可以围成多少种不同的三角形？请列举出来．【思路分析】根据三角形边的特征，在三角形中任意两边之和大于第三边，由此规范解答．【规范解答】解：根据思路分析知，共有以下情况，①2厘米，3厘米，4厘米；②3厘米，4厘米，5厘米；③2厘米，4厘米，5厘米；答：一共可以拼成3个不同的三角形，分别为2厘米，3厘米，4厘米；3厘米，4厘米，5厘米；2厘米，4厘米，5厘米．【名师点评】此题主要根据三角形的任意两边之和大于第三边解决问题．1．（2019春•江宁区期末）如图，在池塘的一侧选取一个点，测得米，米．那么、两点之间的距离可能是A．7米 B．15米 C．23米 D．8米【思路分析】连接，根据三角形的性质，在三角形中，任意两边之和等于第三边，任意两边之差小于第三边．据此规范解答即可．【规范解答】解：如图：连接，（米，23米米，答：、两点之间的距离可能是15米．故选：．【名师点评】此题规范解答关键是明确：在三角形中，任意两边之和等于第三边，任意两边之差小于第三边．2．（2019秋•靖州县期末）下面各组线段不能围成三角形的是A．、和 B．、和 C．、和【思路分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行思路分析．【规范解答】解：、，能够组成三角形；、，不能够组成三角形；、，能组成三角形．故选：．【名师点评】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．3．（2019春•法库县期末）下面组数字的长度可以围成等腰三角形．A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行规范解答即可．【规范解答】解：、，不能围成三角形；、因为，所以能组成三角形，又因为两条边都是2厘米，所以能围成等腰三角形；、因为，所以不能围成三角形；、因为，所以能围成三角形，但不是等腰三角形；故选：．【名师点评】规范解答此题的关键是根据三角形的特性进行思路分析、规范解答即可．考点5：等腰和等边三角形【例5】一个等腰三角形的周长是20厘米，腰长是8.48厘米，顶角是．（1）这个等腰三角形的底边长是多少？（2）这个等腰三角形的底角是多少度？【思路分析】（1）根据等腰三角形的周长腰长底长，用这个等腰三角形的周长减去腰长的2倍，求出底长是多少厘米即可．（2）因为三角形的内角和是180度，已知一个顶角，用“”求出两个底角度数的和，然后除以2规范解答即可．【规范解答】解：（1）（厘米）答：底长是3.04厘米．（2）（度答：底角是68度．【名师点评】此题主要考查了三角形的周长的求法，应明确三角形的内角和是180度，知道等腰三角形的两个底角相等．1．（2019秋•青龙县期末）小明家有一块等腰三角形形状的菜地，菜地两条边的长度分别是15米和30米．小明想用篱笆把菜地圈起来，篱笆长最少多少米？【思路分析】三角形的任意两边之和大于第三边，据此确定这个的腰是多少米，再求它的周长即可．【规范解答】解：（米，两边之和等于第三边不合题意，所以这个等腰三角形的腰是30米（米答：篱笆的长最少是75米．【名师点评】本题的重点是确定这个等腰三角形的腰是多少，再进行规范解答．2．（2019春•成武县期末）用一根铁丝围成了一个边长9厘米的正方形．现在把它改围成一个等边三角形，算一算，若围成等边三角形，边长应该是多少厘米？【思路分析】根据正方形的周长公式，求出正方形的周长，即铁丝的长度，再除以3就是等边三角形的边长．【规范解答】解：（厘米），答：等边三角形的边长是12厘米．【名师点评】关键是根据正方形的周长公式及等边三角形的性质解决问题．3．（2019春•简阳市期中）如图中，三角形，三角形都是等腰三角形．已知，，，，各是多少度？【思路分析】等腰三角形的两个底角相等，在三角形中，用180度减去2个70度，即可求出的度数；同理，用180度减去2个50度就是的度数，在三角形中，用180度减去和、的度数就是的度数，最后用的度数减去和的度数就是的度数．【规范解答】解：答：是20度，是40度，是20度．【名师点评】本题主要考查三角形的内角和是180度以及等腰三角形的性质．考点6：四边形的分类【例6】（2019秋•陆良县期末）①长方形②正方形③平行四边形④梯形（1）它是一个只有一组对边平行的四边形．（2）它是一个两组对边平行，没有直角的四边形．（3）它是一个四条边都相等，并且四个角都是直角的四边形．（4）它是一个两组对边分别平行，并且有四个角是直角的四边形．．【思路分析】四条边都相等，并且四个角都是直角的四边形是正方形；只有一组对边平行的四边形是梯形；两组对边平行，没有直角的四边形是平行四边形；两组对边分别平行，并且有四个角是直角的四边形是长方形，据此解答即可．【规范解答】解：①长方形②正方形③平行四边形④梯形（1）它是一个只有一组对边平行的四边形．（④）（2）它是一个两组对边平行，没有直角的四边形．（③）（3）它是一个四条边都相等，并且四个角都是直角的四边形．（②）（4）它是一个两组对边分别平行，并且有四个角是直角的问题．（①）．故答案为：④、③、②、①．【名师点评】此题主要考查长方形、正方形、平行四边形和梯形的概念及特征．1．（2019春•锦江区期末）下面说法中错误的是A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有直角，两组对边分别平行的四边形是正方形 C．正方形和长方形都是特殊的平行四边形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形【思路分析】对各个选项进行分析，找出错误的即可．【规范解答】解：：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；说法正确；：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，如果有一个角是直角，那么剩下的三个角都是直角，那么这个四边形是长方形，不一定是正方形，本选项错误；：正方形和长方形的两组分别对边平行，符合平行四边形的特征，所以正方形和长方形都属于特殊的平行四边形；：只有一组对边平行的四边形是梯形，说法正确．故选：．【名师点评】本题考查了四边形的分类和认识，熟记各种四边形的定义和特征是关键．2．（2019秋•桃园县校级期中）四边形有4条边，个角，正方形、长方形、平行四边形都是特殊边形．【思路分析】由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形是四边形，正方形：长方形四边相等；长方形：平行四边形四个直角；平行四边形：对边平行（对边相等）；梯形：有一对边平行；所以，它们都是特殊的四边形；由此解答即可．【规范解答】解：四边形有4条边，4个角，正方形、长方形、平行四边形都是特殊四边形故答案为：4，4，四．【名师点评】本题根据四边形的意义和特点进行求解．3．（2019秋•西山区期末）把符合要求的四边形的序号填入横线里．①长方形②正方形③平行四边形④梯形（1）只有一组对边平行．④（2）四条边相等，四个角都是直角．（3）两组对边分别平行，没有直角．【思路分析】长方形的特征：两组对边分别平行且相等，四个角都是直角；正方形的特征：四条边都相等，四个角都是直角；平行四边形的特征：两组对边分别平行；梯形的特征：只有一组对边平行，据此解答．【规范解答】解：（1）只有一组对边平行．是梯形．（2）四条边相等，四个角都是直角．是正方形．（3）两组对边分别平行，没有直角．是平行四边形．故答案为：④，②，③．【名师点评】此题考查了正方形、长方形、平行四边形和梯形的定义．考点7：画指定要求的三角形、平行四边形或梯形【例7】（2019春•法库县期末）在点子图上按要求画图形．【思路分析】在三角形中，其中有一个角为钝角的三角形为钝角三角形；三个角都为锐角的三角形为锐角三角形；其中两条边都相等的三角形为等腰三角形；两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫梯形，根据他们的意义画图即可．【规范解答】解：【名师点评】此题主要考查了常见的几种简单图形的定义以及画法．1．（2019春•东西湖区校级期末）在方格纸上分别画一个直角三角形、一个钝角三角形和一个等腰三角形．【思路分析】根据含义：有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；两个腰相等的三角形，叫等腰三角形；画出即可．【规范解答】解：画图如下：【名师点评】此题主要考查的是对各个三角形意义和特点的理解，应灵活运用．2．（2019春•玉林期末）画出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，并分别画出它们的一条高．【思路分析】（1）根据三角形的分类：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；画出三角形即可．（2）从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，即从与底边对应的顶点作底边的垂线即可．【规范解答】解：【名师点评】此题考查了三角形的分类以及画三角形的高的方法，关键是理解三角形的分类方法及高的含义，注意画高用虚线而且要标上垂直符号．3．按要求画图形．（每个方格边长表示1厘米）（1）画一个腰长3厘米的等腰直角三角形．（2）画一个底是5厘米、高3厘米的平行四边形．（3）画一个上底是6厘米、下底和高都是4厘米的梯形．【思路分析】根据等腰直角三角形是两直角边相等顶角，底角；两组对边分别平行的四边形称为平行四边形平行四边形；一组对边分别平行的四边形称为平行四边形梯形，然后根据已知条件作图即可．【规范解答】解：【名师点评】本题主要考查等腰直角三角形、平行四边形和梯形的画法．考点8：图形的分割及剪拼【例7】（2019春•纳雍县月考）按要求在每个图形中画一条线段．【思路分析】（1）在钝角上面取一个直角，再与对边连接；（2）过梯形的上底的一个顶点，画出一条腰的平行线，则即可把梯形分成一个平行四边形和三角形．（3）连接平行四边形的两个锐角的顶点即可；（4）要分成两个完全一样的梯形，因在平行四边形中它们的高相等，只要作它们的上、下底相等即可，在长的三分之一处连线即可．【规范解答】解：如图：【名师点评】规范解答此题的关键是根据平行四边形、钝角三角形、以及已知图形的特征进行规范解答．1．（2019春•惠东县校级月考）按要求在每个图中画一条线段．【思路分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；据此规范解答即可．【规范解答】解：【名师点评】规范解答此题的关键应明确三角形的分类，注意平时基础知识的积累．2．（2019春•旅顺口区期末）在下面方格图上按要求画图．（1）分别画一个梯形、一个直角三角形和一个平行四边形．（2）在画好的平行四边形中画一条线段，使它变成一个三角形和一个梯形．（3）在画好的梯形中画一条线段，使它变成一个三角形和一个平行四边形．（4）在画好的直角三角形中画一条线段，使它变成两个直角三角形．【思路分析】（1）分别按画梯形、直角三角形和平行四边形的作图方法去画图即可．（2）在平行四边形中经过一个顶点，和它对边上的除顶点外的任意一点画一条线段，就能使它变成一个三角形和一个梯形．（3）在梯形中经过上底的一个顶点，画一条与另一条腰平行的且与下底相交的线段，就能使它变成一个三角形和一个平行四边形．（4）在直角三角形中画一条垂直于斜边的高，就可使它变成两个直角三角形．【规范解答】解：根据思路分析画图如下：【名师点评】本题考查了基本的作图能力和图形的简单的拆拼（切拼），要注意作图一定要规范，比如画垂直要加直角符号．3．（2019秋•保定期末）在下面的梯形中画一条与梯形的任意一条边平行的线段，把梯形分成下面要求的图形．【思路分析】（1）从上底找出任意一个非顶点的点，做一条腰的平行线，即可把梯形分成一个平行四边形和一个梯形；（2）从上底的一个顶点，做和它不相邻的腰的平行线，即可把梯形分成一个三角形和一个平行四边形；（3）从一条腰上的任意一个非顶点的点，做底的平行线，即可把梯形分成两个梯形．【规范解答】解：作图如下：【名师点评】解决本题关键是熟知梯形的特点，以及平行线的画法．考点9：计数问题【例8】（2019春•岑溪市期中）如图所示，图中有个三角形，个平行四边形，个梯形．【思路分析】按照一定的顺序分类计算：（1）三角形：单独1个三角形有1个，由2个图形拼成的三角形有1个；所以一共有2个；（2）平行四边形：单独1个平行四边形有2个，由2个四边形拼成的平行四边形有1个；所以一共有3个；（3）梯形：由1个四边形拼成的梯形有1个，由1个平行四边形和1个梯形拼成的梯形有1个，由1个平行四边形和三角形拼成的梯形有1个，由1个三角形1个梯形和两个平行四边形组成的梯形有1个；所以一共有4个；由此规范解答．【规范解答】解：三角形有（个；平行四边形有（个；梯形有（个．答：图中有2个三角形，3个平行四边形，4个梯形．故答案为：2；3；4．【名师点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．1．（2019春•利辛县校级月考）一共有个三角形．【思路分析】根据三角形的定义，线段所截的三角形由个，线段所截的三角形有个，所以图中有个三角形．【规范解答】解：线段所截的三角形由个，线段所截的三角形有个，所以共有个三角形．答：一共有20个三角形．故答案为：20．【名师点评】本题图形中，若线段上如果有个点，那么构成的三角形就有个．2．（2019秋•环江县期末）如图中有9个平行四边形，有个梯形．【思路分析】按照一定的顺序分类计算：（1）平行四边形：由单独1个平行四边形有4个，由2个四边形拼成的平行四边形有4个，由4个四边形拼成的平行四边形有1个；相加即可求解；（2）梯形：由3个图形拼成的梯形有1个，由5个图形拼成的梯形有1个；相加即可求解．【规范解答】解：平行四边形有（个梯形有（个答：如图中有9个平行四边形，有2个梯形．故答案为：9；2．【名师点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．3．（2019春•普宁市校级期中）在如图中有个梯形，个平行四边形，个三角形．【思路分析】按照一定的顺序分类计算：（1）梯形：最左边的一条线段围成的有梯形有3个，第2条线段围成的有梯形有2个，第3条线段围成的有梯形有1个，第4条线段围成的有梯形有1个；相加即可求解；（2）平行四边形：1个；（3）三角形：单独1个三角形有4个，由2个图形拼成的三角形有1个；相加即可求解；由此规范解答．【规范解答】解：梯形有（个平行四边形有1个三角形有（个答：图中有7个梯形，1个平行四边形，5个三角形．故答案为：7；1；5．【名师点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．1．（2019春•新华区期末）升降机可以上下活动是利用了平行四边形的；篮球架中的三角形，是利用了三角形的．【思路分析】根据三角形的稳定性和平行四边形的易变形（不稳定性）进行解答．【规范解答】解：升降机可以上下活动是利用了平行四边形的易变性；篮球架中的三角形，是利用了三角形的稳定性．故答案为：易变性，稳定性．【名师点评】灵活掌握三角形和平行四边形的特性，是解答此题的关键．2．（2019•芜湖模拟）一个三角形的一条边是5厘米，一条边是8厘米，它的第三条边的长度一定大于3厘米，而小于厘米．【思路分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【规范解答】解：第三条边所以第三条边；故答案为：3，13．【名师点评】此题是考查三角形的特性，应灵活掌握和运用．3．（2019春•湖北期末）三个角都是的三角形，既是等边三角形，又是三角形．【思路分析】三个角都是，那么它是等边三角形，因为三个角都是锐角，所以又是锐角三角形；据此解答即可．【规范解答】解：三个角都是的三角形，既是等边三角形，又是锐角三角形；故答案为：等边，锐角．【名师点评】此题考查了等边三角形的含义及锐角三角形的含义，注意知识的灵活运用．4．（2010•沁水县校级模拟）一个等腰三角形，其中的两条边的长度是和，则它的周长是12．【思路分析】因为，根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；可以得出：该等腰三角形的三条边分别为5厘米、5厘米、2厘米；进而根据周长的含义：围成平面图形一周的长，叫做平面图形的周长；进行解答即可．【规范解答】解：根据分析可知：该等腰三角形的三条边分别为5厘米、5厘米、2厘米，（厘米）；答：它的周长是．故答案为：12．【名师点评】解答此题的关键：先根据三角形的特性，判断出该等腰三角形的三条边的长度，进而根据三角形的周长计算方法进行解答即可．5．（2019秋•灵山县期末）如果一个三角形最大角是，它是一个锐角三角形，如果最大角是，它是一个三角形；如果最大角是，它是一个三角形．【思路分析】根据锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的概念：有一个角是锐角三角形是锐角三角形；有一个角是钝角三角形是钝角三角形；有一个角是直角三角形是直角三角形，据此解答即可．【规范解答】解：一个三角形中，如果最大角是，那么它是一个锐角三角形；如果最大角是，那么它是一个钝角三角形；如果最大角是，那么它是一个直角三角形；故答案为：锐角，钝角，直角．【名师点评】此题主要考查直角三角形和锐角、钝角三角形的概念及其分类方法．6．（2019春•陈仓区期末）在三角形三个内角中，，那么这个三角形一定是直角三角形．【思路分析】根据三角形的内角和为结合已知，可求，即可判断三角形的形状．【规范解答】解：因为，所以，所以这个三角形是直角三角形．故答案为：直角．【名师点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．7．（2019秋•昆明期末）把符合要求的图形序号填在横线里．（1）两组对边分别平行，有四个直角．（2）只有一组对边平行．（3）两组对边分别平行．、长方形、平行四边形、梯形【思路分析】根据正方形、长方形、平行四边形和梯形的定义进行分类即可．【规范解答】解：（1）两组对边分别平行，有四个直角．是长方形．（2）只有一组对边平行．是梯形．（3）两组对边分别平行．是平行四边形．故答案为：（1）（2）（3）．【名师点评】此题考查了正方形、长方形、平行四边形和梯形的定义．8．（2019春•安徽校级期中）一个等腰三角形的一个底角的度数是顶角的2倍，这个三角形的顶角是36，底角是．【思路分析】设出顶角的度数，然后表示出底角，列方程求解即可．【规范解答】解：设顶角为度，则底角为度，则：，，所以底角为：；故答案为：36，72．【名师点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确的列方程，比较简单．9．（2019春•龙海市期末）用一根长20厘米的铁丝围一个等腰三角形，其中一条边长6厘米，另外两条边的长应是厘米和厘米，或是厘米和厘米．【思路分析】因为等腰三角形的两条腰是相等的，而当6厘米是等腰三角形的腰时，此时底边是厘米，而当底边是6厘米时，此时腰是厘米，据此解答．【规范解答】解：（1）当6厘米是等腰三角形的腰时，底边是：（厘米），（2）当底边是6厘米时，腰是：（厘米）所以另外两条边的长应是6厘米和8厘米，或是7厘米和7厘米．故答案为：6，8；7，7．【名师点评】本题主要是利用等腰三角形的特点：两条腰相等进行解答．10．（2019秋•阳山县期末）数一数．【思路分析】（1）由图可知：有4个小三角形，每两个小三角形又可以组成3个三角形，每3个三角形又组成2个三角形，每4个小三角形可以组成1个三角形；相加即可求解；（2）有3个小平行四边形，每2个平行四边形可以组成2个平行四边形，每3个平行四边形又组成1个平行四边形，相加即可得解．【规范解答】解：（1）（个共有10个三角形．（2）（个共有6个平行四边形．故答案为：10，6．【名师点评】三角形、平行四边形底边上如果有个点，那么构成的三角形、平行四边形就有个三角形、平行四边形．11．（2019春•丹阳市校级期末）在等腰三角形中，当底角是的时候，那么它的顶角是度，按角来分它属于三角形；一个三角形，它的顶角是底角的2倍，顶角是度，底角是度，按角来分类它属于三角形．【思路分析】（1）因为等腰三角形的两个底角的度数相等，以及三角形的内角和是，从而可以求出这个三角形的顶角的度数，进而确定其类别；（2）一个三角形，它的顶角是底角的2倍，依据三角形的内角和是，求出最大角的度数，进而确定其类别．【规范解答】解：（1），的角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形；（2）设这个三角形的底角的度数为，则顶角：，的角是直角，所以这个三角形是直角三角形；故答案为：130，钝角，90，45，直角．【名师点评】规范解答此题的主要依据是：等腰三角形的特征以及三角形的内角和定理．12．（2019春•卢龙县期末）如图中等腰三角形的顶角是56度．【思路分析】根据平角是，用，然后根据等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和是180度，用180度减去两个底角的度数和就是顶角的度数．【规范解答】解：答：图中等腰三角形的顶角是56度；故答案为：56．【名师点评】此题主要考查了等腰三角形的特征和三角形的内角是180度．13．（2019春•聊城期中）一个等腰三角形，它一个角的度数是．它的另两个角的度数是多少？【思路分析】根据等腰三角形的特征：可能是一个底角，也可能是顶角，根据内角和，分两种情况解决问题．【规范解答】解：当是一个底角时：顶角为：答：它的另两个角的度数分别是，．当是一个顶角时，底角：答：它的另两个角的度数分别是，．【名师点评】根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和是分两种情况解决问题．14．（2019秋•绵阳期末）画出下列图形的高．【思路分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高．【规范解答】解：作梯形、平行四边形的高如下：【名师点评】本题是考查作平行四边形、梯形的高．注意作高用虚线，并标出垂足．15．（2019秋•惠来县校级月考）在方格纸上分别画一个锐角三角形、一个钝角三角形、一个平行四边形和一个梯形．【思路分析】根据角的概念：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；有一个角是钝角的三角形，是钝角三角形；进而画出即可．根据平行四边形和梯形的意义即可画出一个平行四边形和一个梯形．【规范解答】解：由思路分析画图如下：【名师点评】此题考查了三角形的分类以及平行四边形和梯形的特征．16．（2019秋•江岸区期末）按要求在下面图形中画一条线段：（1）分成两个梯形．（2）分成一个平行四边形和一个梯形．【思路分析】（1）要分成两个梯形，只要满足它们的上、下底平行即可，在平行四边形的上下两边的任意连线即可．（2）把梯形分成一个平行四边形和一个梯形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个平行四边形和一个梯形，就要用原来梯形一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底（非顶点）作另一个腰的平行线，既可得到一个平行四边形和一个梯形．【规范解答】解：（1）答案如图，（2）答案如图，【名师点评】本题主要考查了学生根据平行四边形、梯形的定义来对图形进行分割的能力．17．（2019秋•沙坪坝区期末）按要求在下面图形中画一条线段．（1）分割成一个三角形和一个平行四边形．（2）分割成一个三角形和一个等腰梯形．【思路分析】（1）经过梯形的上底的一个顶点，画一条腰的平行线，即可把这个图形分成一个平行四边形和三角形；（2）以平行四边形的一个顶点为圆心，以平行四边形较短边长为半径画弧，则弧线与平行四边形的长边有一个交点，连接这个顶点和交点，即可得出一个三角形和一个等腰梯形．【规范解答】解：根据题干思路分析画图如下：【名师点评】本题主要考查了学生根据平行四边形、梯形的定义来对图形进行分割的能力．18．在图中按要求画一条线段，得到相应的图形．【思路分析】（1）把梯形分成一个平行四边形和一个梯形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个平行四边形和一个梯形，就要用原来梯形一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底（非顶点）作另一个腰的平行线，既可得到一个平行四边形和一个梯形；（2）因平行四边形的对边相等，只要在平行四边形的一条边上，从一个顶点量出一条线段，再在它的对边和它相对的顶点的另一个顶点量出同长的线段，然后边接这两个点即可；（3）过平行四边形的一个顶点，与它不相邻的一条边上的一点（顶点除外）连接起来，即可把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形；（4）有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；据此规范解答即可．【规范解答】解：根据题干思路分析画图如下：【名师点评】本题主要考查了学生根据平行四边形、梯形、三角形的定义来对图形进行分割的能力．19．如图，按要求在格点图中画图：（1）画一个底和高都是4厘米的平行四边形；（2）画一个上底是2厘米，下底是6厘米，高是3厘米的等腰梯形．【思路分析】（1）根据平行四边形的特征：平行四边形的对边平行且相等，进行作图即可；（2）根据梯形的含义：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，据此作图即可．【规范解答】解：画图如下，【名师点评】此题主要考查的是平行四边形、梯形的特征或含义的应用．20．（2019秋•罗平县校级期末）求图中未知角的度数．已知、、，求、、【思路分析】用分别减去、和的度数，即可求出的度数；用分别减去、的度数，即可求出的度数；用分别减去和的度数，即可求出的度数．【规范解答】解：；；．故答案为：、、．【名师点评】此题主要考查三角形的内角和定理，是基础题型，弄清楚图中各角之间的关系，是规范解答本题的关键．21．（2019春•伊通县校级期末）计算的度数【思路分析】①三角形的内角和是180度，已知其中两个角，求另一个角，用分别减去已知的两个角即可；②因为平角等于180度，先用“”求出三角形的一个内角，进而根据三角形的内角和是180度，求出的度数．【规范解答】解：①；答：是．②答：是．【名师点评】此题应根据三角形的内角和是180度，进行规范解答；用到的知识点：平角的含义．22．（2019秋•固始县期中）一个平行四边形的一组邻边的长分别是20厘米和15厘米，它的周长是多少厘米？【思路分析】根据平行四边形的特征，对边平行且相等，因为长方形是特殊的平行四边形，所以根据长方形的周长公式：，把数据代入公式规范解答即可．【规范解答】解：（厘米）答：它的周长是70厘米．【名师点评】此题考查的目的是掌握平行四边形的特征及周长的计算方法．23．（2019春•咸安区期末）在三角形中，，，求，的度数．【思路分析】因为，，所以利用三角形的内角和是，即可求出的度数，再据，即可求出的度数，据此规范解答即可．【规范解答】解：因为，且，所以，又因，所以；答：是，是．【名师点评】此题主要考查三角形的内角和定理的灵活应用．24．（2019春•萧县校级期末）数一数，图中一共有个三角形，个梯形．【思路分析】（1）根据数线段的方法，底在边上的三角形有个，底在边上的三角形有个，共有个；（2）单个的梯形有2个，两部分组成的梯形有1个，共有个．【规范解答】解：（1）底在边上的三角形有：（个，底在边上的三角形有：（个，共有：（个；（2）单个的梯形有2个，两部分组成的梯形有1个，共有：（个．答：图中一共有6个三角形，3个梯形．故答案为：6，3．【名师点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．25．（2019秋•红安县期末）图中，平行四边形有3个，梯形有个．【思路分析】按照一定的顺序分类计算：（1）平行四边形：由单独1个平行四边形有2个，由2个四边形拼成的平行四边形有1个；所以一共有3个；（2）梯形：由1个四边形拼成的梯形有2个，由2个四边形拼成的梯形有3个，由4个四边形拼成的梯形有1个；所以一共有6个；由此规范解答．【规范解答】解：平行四边形有（个；梯形有（个；答：平行四边形有3个，梯形有6个．故答案为：3；6．【名师点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．26．（2019春•临泉县校级期末）如图：个三角形．个梯形．【思路分析】根据三角形的定义，先数出有一个小三角形的个数4个，2个小三角形组成的三角形的个数3个，3个小三角形组成的三角形的个数2个，4个小三角形组成的三角形1个，和在一起10个，利用同样的方法数出较大的三角形10个，所以三角形个数20个；根据梯形的定义，先数出最小的梯形4个，2个小的梯形组成梯形个数3个，3个梯形组成的梯形2个，4个梯形组成的梯形1个，共10个梯形，据此判断．【规范解答】解：最小的三角形梯形的个数：4个，2个小三角形组成的三角形的个数：3个，3个小三角形组成的三角形的个数：2个，4个小三角形组成的三角形的个数：1个，三角形的个数：个；利用同样的方法数出较大的三角形10个，三角形的总个数：个；小的梯形的个数：4个，2个小的梯形组成梯形个数：3个，3个梯形组成的梯形个数：2个4个梯形组成的梯个数：1个，一共梯形的个数：个．故答案为：20、10．【名师点评】此题考查组合图形的计数，解决此题的关键是根据定义数清组合的三角形和梯形．27．求下面未知角的度数．【思路分析】（1）三角形的内角和是，求出的度数，再根据平角的定义，的角叫做平角．用减去的度数就是的度数，据此列式规范解答．（2）如图：首先根据平均的定义求出的度数，再根据三角形的内角和是，那么，据此规范解答．【规范解答】解：（1）如图：答：的度数是．（2）如图：答：的度数是．【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和的意义、平角的定义及应用．28．（2019春•南京期末）如图，正方形中有四个三角形．90，，．【思路分析】根据正方形的性质：四条边都相等；四个角都是直角即，可求出；再根据等边三角形的性质，三条边相等，三个角都等于，可求出；再根据等腰三角形的性质，2个底角相等，用，得出结果再除以2即可求出的度数，列式即可规范解答．【规范解答】解：因为正方形的四个角都是直角，所以，又因为等边三角形的三个内角都相等，即所以，（度答：等于90度，度30度，等于75度．故答案为：90、30、75．【名师点评】掌握正方形、等边三角形和等腰三角形的性质是解题的关键．29．如图，已知且，求的度数．【思路分析】由三角形内角和定理可知，直角三角形两锐角之和是，，，又知，即可求出的度数，在小直角三形中，，用减的度数就是的度数．【规范解答】解：在直角三角形中，，所以，因为所以在小直角三角形中，所以答：的度数是．【名师点评】此题是考查三角形内