安徽省蚌埠市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学

蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知点在角终边上，且，则（）A. B. C. D.4.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，y'轴经过斜边A'B'的中点，则中边上的高为（）A. B. C.2 D.45.要得到函数的图象，可将函数的图象（）A.先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍B.先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍C.先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍D.先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍6.已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，∥，则∥ B.若，，则C.若，，，则 D.若，∥，则7.已知，，则（）A. B. C. D.8.在中，角的对边分别为，已知，，则（）A. B. C. D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，其中i为虚数单位，下列说法正确的是（）A. B.C. D.10.已知正方体，分别为，的中点，下列说法正确的是（）AB.C.直线与直线所成角的大小为D.直线与平面所成角的大小为11.已知向量，满足，则以下说法正确的是（）A.若，，则或B.若，则C.若，，则向量在向量上的投影数量为D.向量在向量上的投影向量为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.13.已知，tanβ是方程的两根，则tanα＝________．14.在△ABC中，，，点M满足，则________．四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中i为虚数单位，．（1）若z为纯虚数，求；（2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．16.如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点．（1）记向量，，试以向量，基底表示，；（2）若，求m，n值；（3）求证：A，G，H三点共线．17.如图，直三棱柱中，与交于点O，M为线段AC的中点，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥体积．18.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）关于x的方程在区间有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（3）不等式对恒成立，求实数x的取值范围．19.已知球O半径为2，A，B，C，D是球面上的点，平面⊥平面，四边形OACD为平行四边形．（1）证明：；（2）若，求点O到平面BCD的距离；（3）求BD与平面OAC所成角的余弦值的最小值．蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量加减运算法则及运算律计算可得.【详解】.故选：B2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】.故选：C3.已知点在角终边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求出，再由定义计算可得.【详解】因为点在角终边上，且，即，解得，所以.故选：A4.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，y'轴经过斜边A'B'的中点，则中边上的高为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，即可得的原图，根据长度关系即可求解.【详解】根据题意可得的原图如图所示，其中D为AB的中点，由于为的中点，,且，则中边上的高为．故选：B.5.要得到函数的图象，可将函数的图象（）A.先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍B.先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍C.先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍D.先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可.【详解】将函数的图象先向左平移个单位得到，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故A正确；将函数的图象先向左平移个单位得到，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故B错误；将函数的图象先向右平移个单位得到，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故C错误；将函数的图象先向右平移个单位得到，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故D错误.故选：A6.已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，∥，则∥ B.若，，则C.若，，，则 D.若，∥，则【答案】D【解析】【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可.【详解】对于A，如图当，，∥时，与相交，所以A错误，对于B，如图，当，时，∥，所以B错误，对于C，如图当，，时，∥，所以C错误，对于D，设，在平面内作，因为，所以，因为∥，所以，因为，所以，所以D正确.故选：D7.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由求出，利用两角和的正弦公式化简，再利用二倍角公式化简可求得答案.【详解】因，所以，因为，所以，所以.故选：C8.在中，角的对边分别为，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得，由正弦定理得，再利用正弦的二倍角公式可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，或舍去，可得，因为，由正弦定理得，所以，因为，所以，可得，，所以.故选：D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，其中i为虚数单位，下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据题意，由共轭复数的概念即可判断A，由复数的模长公式即可判断B，由复数的四则运算，即可判断CD【详解】对A因为复数，，则，故A正确；对B,，即，故B正确；对C,，故C错误；对D,，，所以，故D错误；故选：AB10.已知正方体，分别为，的中点，下列说法正确的是（）A.B.C.直线与直线所成角的大小为D.直线与平面所成角的大小为【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线的定义可判断A；连接，取中点，设正方体的棱长为2，在中由余弦定理求出可判断B；设正方体的棱长为2，直线与直线所成的角即为，求出可判断C；连接、相交于点，利用线面垂直的判定定理得即为与平面所成的角，设正方体的棱长为2，求出可判断D.【详解】对于A，因为平面，平面，，平面，所以与是异面直线，故A错误；对于B，连接，取中点，连接，可得，所以平面，设正方体的棱长为2，则，，，，由余弦定理得，所以，所以，故B正确；对于C，由B，，，所以，设正方体的棱长为2，所以直线与直线所成的角即为与直线所成的角，即为，因为，平面，所以，即直线与直线所成角的大小为，故C正确；对于D，连接，因为分别为，的中点，所以，连接、相交于点，则，因平面，平面，所以，且，平面，所以平面，所以等于与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，，所以，，所以，所以与平面所成的角大小为，故D正确.故选：BCD.11.已知向量，满足，则以下说法正确的是（）A.若，，则或B.若，则C.若，，则向量在向量上的投影数量为D.向量在向量上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】A选项，计算出，根据向量垂直得到方程，求出或，A正确；B选项，两边平方，求出；C选项，根据垂直关系得到，从而根据投影向量的模长公式求出C正确；D选项，在C选项基础上，根据投影向量的公式进行求解.【详解】A选项，，因为，所以，解得或，A正确；B选项，两边平方得，，因，所以，故，则，B正确；C选项，因为，所以，，故，则向量在向量上的投影数量为，C错误；D选项，由C选项知，，向量在向量上的投影向量为，D正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为，母线长为，故圆锥的侧面积为.故答案为：13.已知，tanβ是方程的两根，则tanα＝________．【答案】1【解析】【分析】先利用根与系数的关系，再利用两角和的正切公式可求得答案.【详解】因为，tanβ是方程的两根，所以，，所以.故答案为：114.△ABC中，，，点M满足，则________．【答案】【解析】【分析】设，根据可得，在中分别利用余弦定理可得，再求出可得答案.【详解】设，因为，，所以，因为，所以,因为，所以，得，在分别由余弦定理得，，，所以，所以，得，所以，所以，即.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，解题的关键是在中分别利用余弦定理找出的关系，再结合又得到的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中i为虚数单位，．（1）若z为纯虚数，求；（2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知求出，再由模的意义求出结果.（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.【小问1详解】由z为纯虚数，得，解得，则，所以.【小问2详解】由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得，所以实数a的取值范围是.16.如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点．（1）记向量，，试以向量，为基底表示，；（2）若，求m，n的值；（3）求证：A，G，H三点共线．【答案】（1），（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量减法法则结合题意求解；（2）对结合（1）化简用，表示，而，然后列方程组可求得结果；（3）设，，由，，用用，表示，列方程组求出，从而可得，进而证得结论.【小问1详解】因为在中，E，H分别是AD，BC的中点，，所以，．【小问2详解】由（1）知，，所以，因为，所以，解得；【小问3详解】，设，，则，又，所以，解得，所以，∴，∴，即A，G，H三点共线．17.如图，直三棱柱中，与交于点O，M为线段AC的中点，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）．【解析】【分析】（1）根据线面平行判定定理证明；（2）应用面面垂直判定定理证明；（3）等体积法求三棱锥的体积.【小问1详解】连接，因为直三棱柱，，，又∴是正方形且O为线段的中点，又M为线段AC中点，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】∵，，平面平面，∴平面，又平面，∴平面平面；【小问3详解】∵M为线段AC中点，∴，即三棱锥的体积为．18.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）关于x的方程在区间有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（3）不等式对恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，．（2）（3）【解析】【分析】（1）先化简，再根据正弦函数的单调性求解；（2）根据函数两个不相等的实数根，结合正弦单调性及值域求参；（3）把恒成立问题转化为解三角不等式即可.【小问1详解】令，解得，令，解得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，．【小问2详解】由（1）知函数在区间单调递增，在区间单调递减，又，，，结合图象可知a的取值范围是．【小问3详解】即不等式对恒成立，有，所以或解得，或故x的取值范围是．19.已知球O半径为2，A，B，C，D是球面上的点，平面⊥平面，四边形OACD为平行四边形．（1）证明：；（2）若，求点O到平面BCD的距离；（3）求BD与平面OAC所成角的余弦值的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）．【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到平行四边形OACD为菱形，为等边三角形，则，由面面垂直得到线面垂直，故，故，又因为，得到