重难点26 巧解圆锥曲线的离心率问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点26巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 2【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 3【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 3【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】 4【题型5利用基本不等式求离心率的范围】 5【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】 5【题型7函数法求离心率或其范围】 6【题型8坐标法求离心率或其范围】 71、巧解圆锥曲线的离心率问题从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.【知识点1圆锥曲线的离心率】1．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.

(2)离心率的范围：0<e<1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.2．求椭圆离心率或其取值范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用离心率公式求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.3．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.4．求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.5．抛物线的离心率抛物线的离心率e=1.【知识点2离心率的范围问题的求解方法】1．不等式法求离心率的范围

(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.

(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.

(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解.

2．函数法求离心率的范围(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.3．坐标法求离心率的范围根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为4,0,−4,0，点4,−6在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．3 B．3 C．2 D．2【变式1-1】（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（

）A．22 B．3−12 C．5【变式1-2】（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2A．33 B．32 C．12【变式1-3】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1A．2,+∞ B．1,2 C．2,+【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】【例2】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0上存在关于原点中心对称的两点A．2,+∞ B．3,+∞ C．【变式2-1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y26=1(a>0)A．33 B．32 C．63【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F,A分别为E的右焦点和左顶点，点M−2,3A．3 B．2 C．62 D．【变式2-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知F1,F2是椭圆E:x2a2+y2A．0,2−1 B．0,2−1 C．【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】【例3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PA．12 B．33 C．63【变式3-1】（2024·江西南昌·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线CA．52,5 B．32,3【变式3-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0，O为坐标原点，F1、F2分别为C的左、右焦点，点P在双曲线上，且A．2 B．3 C．2 D．2【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线l:y=12x+a与椭圆C交于A,B两点（B点在A点上方），O为坐标原点，以O为圆心，OBA．13 B．12 C．22【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】【例4】（2024·广西桂林·模拟预测）已知F1、F2是双曲线C:x2a2−y2A．53 B．54 C．23【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）设A,B分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点，A．35 B．37 C．1511【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点AA．175 B．135 C．855【变式4-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2A．2 B．2 C．5 D．3【题型5利用基本不等式求离心率的范围】【例5】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知点F1是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，过原点作直线l交椭圆于A、BA．14 B．34 C．12【变式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知F1，F2，分别为双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0A．1,72 C．1,3 D．3,5【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1A．1,2 B．1,3 C．1,3 D．2,4【变式5-3】（2024·河南·二模）从椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点Px0,y0向椭圆引两条切线，切点分别为A,B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为x0xa2+y0yb2

A．12 B．13 C．15【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】【例6】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2nA．e1e2C．0<e1e【变式6-1】（2024·山东菏泽·二模）已知e1,e2分别为椭圆x2a2+yA．2 B．3 C．4 D．5【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)与双曲线C2:xA．2+34 B．2+32 C．【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2A．8 B．6 C．4 D．2【题型7函数法求离心率或其范围】【例7】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,A．23,1 B．22,104【变式7-1】（2024·河北邯郸·二模）已知直线l：abx−(4a−1)y+m=0(a＞14)与双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线交于AA．2 B．3 C．2 D．5【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知Q是椭圆M:x29+y2b2=1(0<b<3)上的动点，若动点QA．23,1 B．0,22 C．【变式7-3】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，F1，F2为C的左、右焦点，BA．5 B．2 C．22 D．【题型8坐标法求离心率或其范围】【例8】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知A,F分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和左焦点，直线y=kx与椭圆交于B,CA．23 B．12 C．154【变式8-1】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)，点P2,0,Q3,0A．(1,153) B．(1,303)【变式8-2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2，点P0,mm>b，线段PF1，A．12 B．22 C．32【变式8-3】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0，F2c,0，过点F1的直线l①B的坐标为a,b；②BF1−BF2>2aA．①② B．②③ C．①③ D．①②③一、单选题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点为F1,A．57 B．63 C．2−22．（2024·四川雅安·三模）设F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点MA．3+12 B．3+1 C．23．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2A．32 B．53 C．344．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，F1(−c,0)、F2(c,0)分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段PFA．32+102 B．32−5．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆x2a2+y2bA．3+12 B．5−12 C．6．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1,F2,P是椭圆C1与双曲线C2A．3 B．4 C．6 D．127．（2024·河南濮阳·模拟预测）点M是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆A．2−3,1 C．6−228．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与EA．2332 B．2333 二、多选题9．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．12 B．35 C．5610．（2024·河南信阳·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0,FA．若NF1⊥NF2，则e=2C．若NF2=2MF2，则11．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为点F1,F2，斜率为正的渐近线为l1，过点FA．双曲线C的离心率为5B．双曲线C的共轭双曲线方程为yC．当点M位于双曲线C右支时，MD．点M到两渐近线的距离之积为4三、填空题12．（2024·山东济南·三模）已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F1做斜率为正的直线交双曲线左支于A14．（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上关于原点对称的两点，点P在第一象限，F1、F2四、解答题15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0与椭圆x225+y(1)求双曲线的离心率；(2)求△OMN的面积.16．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E:x2a(1)若椭圆E的离心率e∈0,12(2)已知椭圆E的离心率e=32，M，N为椭圆E上不同两点，