2024-2025学年高中数学第1章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例作业含解析新人教A版必修5_第1页
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PAGE课时分层作业(四)解三角形的实际应用举例(建议用时:40分钟)一、选择题1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4m,A=30°,则其跨度ABA.12m B.8mC.3eq\r(3)m D.4eq\r(3)mD[由题意知,A=B=30°,所以C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得,eq\f(AB,sinC)=eq\f(AC,sinB),即AB=eq\f(AC·sinC,sinB)=eq\f(4·sin120°,sin30°)=4eq\r(3).]2.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A.eq\f(17\r(6),2)nmile/h B.34eq\r(6)nmile/hC.eq\f(17\r(2),2)nmile/h D.34eq\r(2)nmile/hA[如图所示,在△PMN中,eq\f(PM,sin45°)=eq\f(MN,sin120°),∴MN=eq\f(68×\r(3),\r(2))=34eq\r(6),∴v=eq\f(MN,4)=eq\f(17\r(6),2)nmile/h.]3.如图所示,要测量河对岸A,B两点间的距离,今沿河岸选取相距40m的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则A,BA.20eq\r(2)m B.20eq\r(3)mC.20eq\r(6)m D.40eq\r(2)mC[可得DB=DC=40,由正弦定理得AD=20(eq\r(3)+1),∠ADB=60°,所以在△ADB中,由余弦定理得AB=20eq\r(6)(m).]4.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20m,A.20m B.30mC.40m D.60mC[如图,设O为顶端在地面的射影,在Rt△BOD中,∠ODB=30°,OB=20,BD=40,OD=20eq\r(3),在Rt△AOD中,OA=OD·tan60°=60,∴AB=OA-OB=40(m).]5.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,则建筑物的高度为()A.15eq\r(6)m B.20eq\r(6)mC.25eq\r(6)m D.30eq\r(6)mD[设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=eq\r(2)h,PC=eq\f(2\r(3),3)h,∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=eq\f(602+2h2-4h2,2×60×\r(2)h),①cos∠PBC=eq\f(602+2h2-\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA+∠PBC=180°,∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=30eq\r(6)或h=-30eq\r(6)(舍去),即建筑物的高度为30eq\r(6)m.]二、填空题6.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长千米.eq\r(2)[如图,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1,∴∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°.在△ABC中,eq\f(AB,sinC)=eq\f(AC,sin∠ABC),∴AC=eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)=eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))=eq\r(2)(千米).]7.如图所示,在高速马路建设中须要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1km,且C=120°,则A,B两点间的距离为eq\r(3)[在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理eq\f(AB,sinC)=eq\f(BC,sinA),得AB=eq\f(BCsinC,sinA)=2×1×eq\f(\r(3),2)=eq\r(3)(km).]8.如图,某山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发觉张角∠ABC=120°,从B处攀登400米后到达D处,再看索道AC,发觉张角∠ADC=150°,从D处再攀登800米方到达C处,则索道AC的长为米.400eq\r(13)[在△ABD中,BD=400,∠ABD=120°,因为∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以AB=BD=400,AD=eq\r(AB2+BD2-2AB·BDcos120°)=400eq\r(3).在△ADC中,DC=800,∠ADC=150°,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=(400eq\r(3))2+8002-2×400eq\r(3)×800×cos150°=4002×13,所以AC=400eq\r(13),故索道AC的长为400eq\r(13)米.]三、解答题9.如图,甲船以每小时30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10eq\r(2)海里,求乙船航行的速度.[解]如图,连接A1B2,在△A1A2B中,易知∠A1A2B=60°,又易求得A1A2=30eq\r(2)×eq\f(1,3)=10eq\r(2)=A2B2,∴△A1A2B2为正三角形∴A1B2=10eq\r(2).在△A1B1B2中,易知∠B1A1B2=45°∴(B1B2)2=400+200-2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)=200,∴B1B2=10eq\r(2),∴乙船每小时航行30eq10.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,[解]如图所示,∠CBD=30°,∠ADB=30°,∠ACB=45°.∵AB=30(m),∴BC=30(m),在Rt△ABD中,BD=eq\f(30,tan30°)=30eq\r(3)(m).在△BCD中,CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos30°=900,∴CD=30(m),即两船相距30m1.如图所示,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD是60m,则河流的宽度BCA.240(eq\r(3)-1)m B.180(eq\r(2)-1)mC.120(eq\r(3)-1)m D.30(eq\r(3)+1)mC[由题意知,在Rt△ADC中,∠C=30°,AD=60m∴AC=120m.在△ABC中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,BC=eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)=eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)+\r(2),4))=120(eq\r(3)-1)(m).]2.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距500m,则电视塔ABA.100eq\r(2)m B.400mC.200eq\r(3)m D.500mD[设AB=x,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∴BC=AB=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=eq\r(3)x.在△BCD中,∠BCD=120°,CD=500m,由余弦定理得(eq\r(3)x)2=x2+5002-2×500xcos120°,解得x=500m.]3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危急区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危急区内的时间为小时.1[设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米,AP=x,在△ABP中,PB2=AP2+AB2-2AP·AB·cosA,即302=x2+402-2x·40cos45°,化简得x2-40eq\r(2)x+700=0,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20,即图中的CD=20(千米),故t=eq\f(CD,v)=eq\f(20,20)=1(小时).]4.如图,某海轮以60海里/时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°方向,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点,则P,C间的距离为________海里.40eq\r(7)[因为AB=40,∠BAP=120°,∠ABP=30°,所以∠APB=30°,所以AP=40,所以BP2=AB2+AP2-2AP·AB·cos120°=402+402-2×40×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=402×3,所以BP=40eq\r(3).又∠PBC=90°,BC=80,所以PC2=BP2+BC2=(40eq\r(3))2+802=11200,所以PC=40eq\r(7)海里.]5.如图,某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后,在点D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;(2)求塔的高AB.(结果保留根号,不求近似值).[解](1)依题意知,在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=6000×eq\f(1,60)=100(m),∠BDC=45°-30°=15°,由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)=eq\f(BC,sin∠BDC)所以BC=eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠DBC)=eq\f(100×sin15°,sin135°)=eq\f(100×\f(\r(6)-\r(2),4),\f(\r(2),2))=eq\f(50(\r(6)-\r(2)),\r(2))=50(eq\r(3)-1)(m),在Rt△ABE中,tanα=eq\f(AB,BE),因为AB为定长,所以当BE的长最小时,α取最大值60°,这时BE⊥CD,当BE⊥CD时,在Rt△BEC中,EC=BC·cos∠BCE=50(eq\r(3)-1)·eq\f(\r(3),2)=25(3-eq\r(3))(m),设该人沿南偏西60°的方

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