2024-2025学年高中数学第1章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例作业含解析新人教A版必修5

PAGE课时分层作业(四)解三角形的实际应用举例(建议用时：40分钟)一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度ABA．12m B．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)mD[由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3).]2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A．eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC．eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/hA[如图所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)nmile/h.]3．如图所示，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，BA．20eq\r(2)m B．20eq\r(3)mC．20eq\r(6)m D．40eq\r(2)mC[可得DB＝DC＝40，由正弦定理得AD＝20(eq\r(3)＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20eq\r(6)(m).]4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，A.20m B．30mC．40m D．60mC[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3)，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m).]5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)mD[设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq\r(6)m．]二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米．eq\r(2)[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米).]7．如图所示，在高速马路建设中须要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为eq\r(3)[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)(km).]8．如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发觉张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发觉张角∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为米．400eq\r(13)[在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°，因为∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcos120°)＝400eq\r(3).在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(400eq\r(3))2＋8002－2×400eq\r(3)×800×cos150°＝4002×13，所以AC＝400eq\r(13)，故索道AC的长为400eq\r(13)米．]三、解答题9．如图，甲船以每小时30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10eq\r(2)海里，求乙船航行的速度．[解]如图，连接A1B2，在△A1A2B中，易知∠A1A2B＝60°，又易求得A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(1,3)＝10eq\r(2)＝A2B2，∴△A1A2B2为正三角形∴A1B2＝10eq\r(2).在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，∴B1B2＝10eq\r(2)，∴乙船每小时航行30eq10．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，[解]如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m).在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即两船相距30m1.如图所示，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BCA．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)mC[由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m).]2．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500m，则电视塔ABA．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500mD[设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得(eq\r(3)x)2＝x2＋5002－2×500xcos120°，解得x＝500m．]3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危急区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危急区内的时间为小时．1[设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1(小时).]4．如图，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，则P，C间的距离为________海里．40eq\r(7)[因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，所以AP＝40，所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°＝402＋402－2×40×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝402×3，所以BP＝40eq\r(3).又∠PBC＝90°，BC＝80，所以PC2＝BP2＋BC2＝(40eq\r(3))2＋802＝11200，所以PC＝40eq\r(7)海里．]5．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值).[解](1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×eq\f(1,60)＝100(m)，∠BDC＝45°－30°＝15°，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠DBC)＝eq\f(100×sin15°,sin135°)＝eq\f(100×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(50（\r(6)－\r(2)）,\r(2))＝50(eq\r(3)－1)(m)，在Rt△ABE中，tanα＝eq\f(AB,BE)，因为AB为定长，所以当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(eq\r(3)－1)·eq\f(\r(3),2)＝25(3－eq\r(3))(m)，设该人沿南偏西60°的方