专项13-最值模型-将军饮马-专题训练

最值模型-将军饮马-专题训练三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。注意：本专题部分题目涉及勾股定理，希望大家全部学习完毕后再完成该专题训练。【解题技巧】将军饮马模型图形原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点题型1:求两条线段和最小值例1．（湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．变式1．（甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．变式2．（广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______．变式3．（湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．变式4．（江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为；（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．例2．（重庆初二月考）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．变式5．（山东青岛九年级一模）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）变式6．（广东·深圳市福田区莲花中学八年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为_________________．题型2:求两条线段差最大值例3．（江苏·无锡市江南中学八年级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（

）A．160 B．150 C．140 D．130变式7．（福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．题型3:求三条（周长）最小值（双动点问题）【模型图示】要求：点位定点，在直线，上分别找点，，使周长（即）最小操作：分别作点关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，求长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），连结，，，由对称性可求也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三边关系求出要求：点，为定点，直线，上分别找，，使周长（即）小操作：分别作点，关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，例4．（上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A．15 B．30 C．45 D．60变式8．（安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．课后训练：1．（安徽九年级一模）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（）A．6 B．6 C．3 D．32．（河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．3．（安徽亳州·一模）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（

）A．6 B．6 C．3 D．34．（江西宜春·八年级期末）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（重庆大渡口·八年级期末）如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则______．6.（绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．70°7.（西湖区月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．8．（山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.9.如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于．10．（福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为_____．11．（江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°12．（全国·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．13．（河北承德·八年级期末）如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b．（1）________；（2）________．14．（山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．15．（重庆八中八年级期中）阅读理解.材料一：平面内任意两点，间的距离公式为：，特别地，当两个点同时在轴或轴上，或者两点所在直线平行于轴或轴时，两点间的距离公式可化简为或；材料二：如图1，点，在直线的两侧，在直线上找一点，使得的值最大．解题思路：如图2，作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点，则点，之间的距离即为的最大值．请根据以上材料解决下列问题：（1）已知点，在平行于轴的直线上，点在一三象限的角平分线上，，求点的坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点，请在直线上找一点，使得最大，求出的最大值及此时点的坐标．

最值模型-将军饮马-专题训练（解析版）题型1:求两条线段和最小值例1．（湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．【答案】【分析】作A关于OB的对称点D，连接ED交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根据勾股定理求出ED，即可得出答案．【解析】作A关于OB的对称点D，连接ED交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PE的最小值的线段是解题的关键．变式1．（甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．变式2．（广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______．【答案】8【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．变式3．（湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．变式4．（江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为；（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（1）；（2），图和理由见解析【分析】（1）作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，∵是的中点，∴BE=BA=，∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案为：；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，∴CM+MN的最小值为C′N==．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．例2．（重庆初二月考）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．【答案】16．【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．变式5．（2022.山东青岛九年级一模）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q点坐标（，）故选：A．变式6．（广东·深圳市福田区莲花中学八年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为_________________．【答案】【解析】【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．故答案为：．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．题型2:求两条线段差最大值例3．（江苏·无锡市江南中学八年级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，∵，，，∴，，，在中，根据勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如图所示，延长AB交MN于点，∵，，∴当点P运动到点时，最大，过点B作，则，∴，在中，根据勾股定理得，，∴，即，∴，故选A．【点睛】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．变式7．（福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．【答案】3【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．【详解】解：连接PC，∵在等边中，，P是的中线上的动点，∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，∵E是边的中点，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键．题型3:求三条（周长）最小值（双动点问题）【模型图示】要求：点位定点，在直线，上分别找点，，使周长（即）最小操作：分别作点关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，求长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），连结，，，由对称性可求也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三边关系求出要求：点，为定点，直线，上分别找，，使周长（即）小操作：分别作点，关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，例4．（上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．变式8．（安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．课后训练：1．（安徽九年级一模）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，这样AP＋PQ转化为AP＋PE即可得出答案．【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，当AP＋PE＝AH时最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝＝，∴AP＋PQ的最小为，故选：D．【点睛】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到BD的另一侧．2．（河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解．【详解】解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则∵BD平分∠ABC，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=，∴根据两点之间线段最短可得CM+MN的最小值为，即C点到线段AB某点的连线，∴根据垂线段最短，CM+MN的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，∵△ABC的面积为10，∴，∴CE=5，故选B．【点睛】本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是解题关键．3．（安徽亳州·一模）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（

）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，这样AP＋PQ转化为AP＋PE即可得出答案．【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，当AP＋PE＝AH时最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝，∴AP＋PQ的最小为，故选：D．【点睛】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到BD的另一侧．4．（江西宜春·八年级期末）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在点P运动的过程中，P与E重合时有最小值．【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB，∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故选：A【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．5．（重庆大渡口·八年级期末）如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则______．【答案】12【分析】如图1中，过点P作PH⊥BC于点H．求出PH＝2，推出点P在BC的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的值最小，如图2中，设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解决问题．【详解】解：如图1中，过点P作PH⊥BC于点H．∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4，∵S△BCP＝4，∴4×PH＝4，∴PH＝2，∴点P在BC的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BP＝BP′，∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，∴当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的值最小，如图2中，设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，∴PM＝4+2＝6，∴S△ACP′AC×PM4×6＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．6.（绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．70°【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【答案】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．7.（西湖区月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．【答案】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．8．（山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.【答案】【分析】如图把点A向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时AP+PQ+QB的值最小，求出直线BF的解析式，即可解决问题．【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案为（2，0）.【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型9.如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于．【解答】解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．10．（福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为_____．【答案】15°##15度【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明△BCD是等边三角形，从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对称性可得∠CBP的度数．【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．11．（江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．12．（全国·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．【答案】5【分析】作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．【详解】解：如图，作点关于射线的对称点，连接、，B'P．则，，，．∵，∴，∴是等边三角形，∴，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．∴的最大值是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．13．（河北承德·八年级期末）如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b．（1）________；（2）________．【答案】

【分析】作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出AB的长就是PA＋PB的最小值；延长AB交MN于点P，此时PA−PB＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA−PB|，故当点P运动到P点时|PA−PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA−PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．【详解】解：如图，作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，则点P即为所求点．过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段AB