4.3-4.4实数（二）与近似数（解析版）

4.3-4.4实数（二）与近似数【推本溯源】1.（1）实数a的相反数是-a；（2）一个正实数的绝对值是是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；（3）乘积为1的两个实数互为倒数。2.有理数的绝对值、相反数、倒数的意义，有理数大小比较的方法，有理数的运算性质、运算律，在实数范围内都仍然适用。在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开立方运算。3.实数的大小比较：任意两个实数都可以比较大小，正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数中绝对值大的反而小。4.比较大小（1）（2）平方法：倒数法：5.近似数取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。6.例如，圆周率=3.1415926…取π≈3，就是精确到1位（或精确到个位）取π≈3.1，就是精确到0.1位（或精确到十分位）取π≈3.14，就是精确到0.01位（或精确到百分位）取π≈3.1416，就是精确到0.0001位（或精确到万分位）小试牛刀：小亮用天平称得罐头的质量为2.0296kg,,按下列要求取近似数：精确到十分位，2.0296≈2.0精确到0.001kg，2.0296≈2.030精确到1kg，2.0296≈2【解惑】例1：在，0，，四个数中，最小的是（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较绝对值大的反而小，即可解答．【详解】解：，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟知比较法则是解题的关键．例2：下列对于的大小估算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据无理数的估算方法进行求解即可．【详解】解：∵，∴，故选：D．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．例3：月球沿着一定的轨道围绕地球运动，某一时刻它与地球相距405500千米，用科学记数法表示这个数并保留三个有效数字是_______千米．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为的形式．其中，为整数．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与10的多少次方无关．【详解】解：405500千米千米千米．故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法与有效数字，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．例4：按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：(1)0.76589（精确到千分位）；(2)289.91（精确到个位）；(3)320541（保留三个有效数字）；(4)（精确到千位）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】对于（1），确定万分位上的数字，再精确即可；对于（2），确定十位上的数字，再精确即可；对于（3），先将数字用科学记数法表示，再根据有效数字的定义判断即可；对于（4），先将1.423×104化为14230，再确定万位上的数字是2，即可得出答案．（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字，掌握定义是解题的关键.注意：精确到哪一位，只需对下一个数字进行四舍五入．例5：阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：(1)求的整数部分与小数部分各是多少？(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根．【答案】(1)的整数部分为，的小数部分为，(2)【分析】（1）利用例题结合，进而得出答案；（2）利用例题结合，，进而得出答案．【详解】（1）解：∵，∴的整数部分为，的小数部分为，（2）解：∵，∴的整数部分为，的小数部分为，∵，即，∴的整数部分为，则∴的平方根为【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．【摩拳擦掌】1．（2023·全国·七年级假期作业）在数轴上，与表示的点最接近的整数是（）A．5 B．6 C．35 D．1225【答案】B【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：，，，表示的点最接近的整数是6．故选：B．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，解题的关键是熟知估算无理数大小要用逼近法．2．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期末）用四舍五入法将有理数精确到，所得到的近似数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“四舍五入”求近似值的方法即可求解．【详解】解：用四舍五入法将精确到，∴近似数是，故选：．【点睛】本题主要考查求近似数的方法，掌握“四舍五入”是解题的关键．3．（2023春·山东济南·九年级专题练习）年月日，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心发射，月日名航天员进驻中国空间站，会师神舟十四乘组，两个航天员乘组首次实现“太空会师”，神舟十五号飞船远地点高度约，近地点高度约，将数字用科学记数法并保留三位有效数字表示为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】科学记数法就是将一个数字表示成的形式，其中，表示整数．为整数位数减，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以的次幂．用科学记数法是正整数表示的数的有效数字应该由首数来确定，首数中的数字就是有效数字．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了科学记数法和有效数字，掌握科学记数法和有效数字的概念是解题的关键．4．（2022秋·福建龙岩·七年级统考期末）用四舍五入法取近似数：_______．（精确到百分位）【答案】【分析】精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可【详解】解：精确到百分位的结果为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求一个数的近似数，熟知精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键．5．（2023·安徽六安·统考二模）已知，则整数__________．【答案】3【分析】估算出的取值范围即可求出的值．【详解】解：∵，∴，即，∴∴．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是理解在确定形如的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．6．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）规定用符号表示一个数的整数部分，例如，，按此规定______．【答案】2【分析】先求出的范围，再求出的范围，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，解题的关键是估算得出．7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）按括号里的要求对下列各数取近似值．(1)1．5982（精确到(2)0．03049（精确到(3)33074（精确到百位）(4)816056．1（精确到【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接将小数点后第三位四舍五入即可．（2）直接将小数点后第五位四舍五入即可．（3）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可．（4）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可．【详解】（1）（精确到．，（2）（精确到．（3）（精确到百位）．（4）（精确到．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．止，所有数字都叫这个数的有效数字．8．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）（1）已知圆周率，按四舍五入法对圆周率取近似数（精确到0.0001位）是______．（2）若，求的值．（3）把转化成用度、分、秒表示的形式．【答案】（1）3.1416；（2）8；（3）【分析】（1）找出0.0001位上的数字，再通过四舍五入即可得出答案；（2）根据得出，然后将变形为，代入求值即可即可；（3）按照度、分、秒之间的关系进行转化即可．【详解】解：（1）圆周率取近似数，精确到0.0001位，得到的结果是；故答案为：3.1416．（2）∵，∴，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了去近似数，代数式求值，度、分、秒的转化，解题的关键是熟练掌握度、分、秒之间的换算关系，注意运用整体代入思想．9．（2023春·福建莆田·七年级统考期中）阅读下列解题过程：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．(2)利用这一规律计算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】（1）解：根据题意得：∴第4个等式为：；故答案为：；（2）．【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．【知不足】1．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟预测）下列各数中最小的一个数是(

)A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根据实数的大小的比较法则比较实数的大小，再求出最小的数即可.【详解】∴最小的数是.故选：B【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小的比较法则是解题的关键.2．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）是目前全球最大目最灵敏的射电望远镜，其反射总面积相当于595个标准篮球场的总面积．已知每个标准篮球场的面积为、则的反射总面积约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算出的反射总面积，再保留到万位，用科学记数法表示即可．【详解】解：的反射总面积为：，∵万，∴的反射总面积约为：，故选：C．【点睛】本题主要考查了近似数和科学记数法，解题的关键是掌握求一个数近似数的方法以及用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法和步骤．3．（2023·河北沧州·模拟预测）已知，，为不等于0的实数，且，则下列说法正确的是（

）A．的倒数最大 B．的倒数最小 C．的倒数最大 D．，，的倒数都有可能最大【答案】D【分析】根据题意分情况讨论判断即可．【详解】解：∵，，为不等于0的实数，且，∴当，，都小于时，例如：取，其倒数的大小为：，此时a的倒数最大；当，c小于0，时，b的倒数最大；当，b，c大于0小于1时，c的倒数最大，故选：D．【点睛】题目主要考查倒数的定义及实数的大小比较，理解题意进行分情况分析是解题关键．4．（2022秋·七年级单元测试）用四舍五入法将精确到千位后，用科学记数法表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可．【详解】解：精确到千位是．故选C．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．5．（2023·全国·七年级假期作业）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为______．【答案】【分析】根据定义分别求出每一项，然后再根据有理数的加减混合运算法则计算即可【详解】解：∵，∴,根据题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了定义新运算，和有理数的运算，计算较为简单，关键弄清楚定义．6．（2023春·上海松江·七年级统考期中）某计算机运算速度的近似数用科学记数法表示为每秒次，这个近似数据保留了______个有效数字．【答案】【分析】根据有效数字的定义求解．【详解】解：，这个近似数据保留了个有效数字．故答案为：．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为的数数起到这个数数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．7．（2023·山西太原·统考二模）在小明同学的笔记本中记录了求算术平方根近似值的一种方法，如．用他记录的这种方法，求得的近似值为______．【答案】10.15【分析】根据题中的方法进行计算即可．【详解】解：根据题意可得，，故答案为：10.15．【点睛】本题考查求算术平方根近似值，理解题意，掌握求算术平方根近似值的方法是解题的关键．8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在实数中，比小的数是___．【答案】【分析】先根据实数的大小比较法则将各数进行排序，再判断即可．【详解】∵，∴比小的数是．故答案为：．【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握比较实数大小的方法是解题的关键．9．（2023春·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向栽出一块面积为的长方形纸片且长方形纸片的长宽之比为5：3．(1)求正方形纸片的边长；(2)小丽能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，求出长方形纸片的长与宽；若不能，请说明理由．【答案】(1)长方形纸片的长为，宽为；(2)不能剪出符合要求的纸片．理由见解析【分析】（1）设长方形的长为cm，则宽为，根据面积求出长方形的长和宽即可；（2）将（1）中求出的矩形的长与正方形的边长进行比较大小即可得出结果．【详解】（1）解：设长方形的长为，则宽为，根据题意得，解得或（不合题意，舍去），则，．答：长方形纸片的长为，宽为；（2）小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：∵正方形的面积为，∴边长为，∵，∴不能剪出符合要求的纸片．【点睛】本题主要考查了平方根的应用以及实数比较大小，解题的关键是理解题意并正确列出方程．【一览众山小】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨风华中学校考期中）由四舍五入得到的近似数8.83，精确到（

）A．十分位 B．百位 C．百分位 D．十位【答案】C【分析】根据近似数的精确度的相关知识即可解答．【详解】解：8.83精确到小数点后两位，即百分位，故选：C．【点睛】本题考查了近似数的精确度，熟知精确度的概念是解题的关键．2．（2023·全国·七年级假期作业）由四舍五入法得到的近似数，下列说法中正确的是（）A．精确到个位，有2个有效数字 B．精确到十位，有2个有效数字C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字【答案】C【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，它的有效数字的个数只与a有关，而与n的大小无关．【详解】解：由题意得，近似数精确到了百位，共有2个有效数字，故选：C．【点睛】此题考查了近似数数位的确定及有效数字的定义，正确掌握近似数的数位的确定方法及有效数字的定义是解题的关键．3．（2023·北京·校联考模拟预测）已知，，，，那么精确到的近似值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据无理数的估算确定的取值范围，再利用四舍五入找出近似值即可．【详解】解：，，，，精确到的近似值是，故选B．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．4．（2023·河北唐山·统考二模）设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，即可求得．【详解】∵，，∴，即∵，，∴，即，∴，即，故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用逼近法找出是解题的关键．5．（2023春·河南濮阳·七年级统考期中）在什么范围（

）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】C【分析】根据即可解答．【详解】解：∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的大小是解题的关键．6．（2023·湖南长沙·统考二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（）A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位【答案】B【分析】根据近似数的精确度求解即可．【详解】解：数据亿精确到的位数是十万位．故选：B．【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．7．（2023春·上海普陀·七年级统考期中）比较大小：________．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查实数的大小比较，解题的关键是掌握负实数都比0小，正实数都比0大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小．8．（2023春·湖北黄冈·七年级统考阶段练习）若，且n是正整数、则___________．【答案】3【分析】估算出的范围，即可得出答案．【详解】解：，，故答案为：3．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．9．（2023·陕西商洛·校考三模）如图，第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则八进制数2023换算成十进制数是______．

【答案】【分析】根据题意，按要求展开即可得到答案．【详解】解：由题意得，故答案为：．【点睛】本题考查新定义问题，读懂题意，按照材料中的方法展开是解决问题的关键．10．（2023春·全国·七年级阶段练习）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)到底有多大？下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．由面积公式，可得______．因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．【答案】(1)，，，；(2)见解析【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．【详解】（1）由面积公式，可得∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．故答案为：，，，；（2）小敏同学的做法，如图：排列形式如图（3），如图：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．11．（2022秋·八年级课时练习）【阅读材料】∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2．∴﹣1的整数部分为1．∴﹣1的小数部分为﹣2【解决问题】(1)填空：的小数部分是________；(2)已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）估算出的范围，可得到的整数部分，进而得到的小数部分；（2）估算出的范围，可得到的整数部分，进而得到的小数部分，从而得到a，b的值，再求代数式的值即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴的整数部分是9，∴的小数部分为：，故答案为：；（2）∵，∴，∴，∴的整数部分是：1，∴小数部分是：，∴．∴原式＝＝＝＝．∴代数式的值为：．【点睛】本题考查了代数式求值，无理数的整数部分与小数部分，正确求出无理数的整数部分与小数部分，并将其代入代数式计算求值是解题的关键．12．（2022秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）按要求完成下列各题(1)完成下列各数的近似数

（精确到十分位）

（精确十位）

（精确到百分位）

（精确到百分位）(2)光年是天文学中的距离单位，1光年大约是，用科学记数法表示为．(3)截至年底，我国已建立的国家级自然保护区总面积约，用科学记数法表示为．(4)据工信部数据显示，年我国移动电话用户总数达到亿户，用科学记数法表示为户．(5)地球上已发现的生物约种，用科学记数法表示为种．【答案】(1)，，，(2)(3)(4)(5)【分析】（1）根据精确到哪一位即对这一位的下一位数字进行四舍五入进行求解即可；（2）（3）（4）（5）根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】（1）解：（精确到十分位）

（精确十位）（精确到百分位）

精确到百分位）；（2）解：，故答案为：；（3）解：，故答案为：；（4）解：亿户户，故答案为：；（5）解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学记数法和近似数，熟知科学记数法的表示方法和近似数的求解方法是解题的关键．13．（2023春·安徽合肥·七年级中国科技大学附属中学校考阶段练习）【观察】请你观察下列式子．第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．第4个等式：．第5个等式：．【发现】根据你的阅读回答下列问题：(1)写出第7个等式________．(2)请根据上面式子的规律填空：________．(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)16【分析】