广东省江门市蓬江区陈白沙中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年广东省江门市蓬江区陈白沙中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．二次函数的图象的顶点坐标是（）A． B． C． D．3．将一元二次方程配方后所得的方程是（）A． B． C． D．4．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值为（）A．1 B． C． D．25．将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为（）A． B． C． D．6．抛物线与轴交点的坐标是（）A． B． C． D．7．在一元二次方程中，二次项系数和常数项分别是（）A．2，5 B． C．2，1 D．8．已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系为（）A． B． C． D．9．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是，则可列方程为（）A． B．C． D．10．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．11．方程的解是_______．12．若关于的函数是二次函数，则的值为_______．13．若抛物线的对称轴是直线，则常数_______．14．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有个球队参赛，根据题意，所列方程为_______．15．已知：是方程的两根，则_______．三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题10分）用适当的方法解下列方程：（1） （2）17．（本小题7分）已知函数（1）指出函数图象的开口方向是_______，对称轴是_______，顶点坐标为_______（2）当_______时，随的增大而增大（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线18．（本小题7分）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1．求的值．19．（本小题9分）已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？20．（本小题9分）某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

21．（本小题9分）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．（1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；（2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为？22．（本小题12分）观察下列方程及其解的特征：（1）的解为；（2）的解为；（3）的解为；…解答下列问题：（1）请猜想：方程的解为_______；（2）请猜想：关于的方程_______的解为；（3）下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）23．（本小题12分）已知是关于的一元二次方程的两实数根．（1）求的取值范围；（2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．（3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．答案和解析1．【答案】C

【解析】解：A、含有两个未知数，不符合题意；B、为一元一次方程，不符合题意；C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；D、，含有两个未知数，不符合题意；故选：C．只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．本题主要考查了一元二次方程的定义，用到的知识点为：一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程，并且二次项系数不为0．2．【答案】A【解析】解：二次函数为顶点式，其顶点坐标为．故选：A．根据二次函数的顶点式的特点，可直接写出顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，把二次函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键．3．【答案】C【解析】解：，，，．故选：C．配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

把代入方程得，然后解关于的方程即可．【解答】解：把代入方程得，解得．故选：C．5．【答案】D【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：，即；再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为：，即．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．6．【答案】A

【解析】解：当时，，抛物线与轴的交点坐标为，故选：A．抛物线与轴相交时，横坐标为0，将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标．本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．令，可到抛物线与轴交点的纵坐标，令，可得到抛物线与轴交点的横坐标．7．【答案】D【解析】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别是2和，故选：D．根据单项式的系数和多项式的项的定义得出答案即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：（1）一元二次方程的一般形式是（为常数，），找项的系数和多项式的项带着前面的符号．8．【答案】D【解析】解：二次函数的对称轴为轴，和时的函数值相等，，时，随的增大而增大，．故选：D．先判断出函数的对称轴为轴，再根据函数的对称性，和时的函数值相等，再根据时，随的增大而增大解答．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确利用二次函数的对称性和增减性求解更加简便是解题关键．9．【答案】D【解析】解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为，由题意得：

故选：D．关键描述语是："预计今明两年的投资总额为8万元"，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额，把相关数值代入即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的．10．【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．根据二次函数的开口方向，与轴的交点；一次函数经过的象限，与轴的交点可得相关图象．【解答】解：一次函数和二次函数都经过轴上的，两个函数图象交于轴上的同一点，故B选项错误；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选D．11．【答案】0或4【解析】解：原方程可化为：，，解得或4，故答案为：0或4．此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得，即可求解．本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．12．【答案】3

【解析】解：由题意可得，解得：，故答案为：3．根据二次函数的定义求解即可．本题考查二次函数的定义，熟练掌握其概念是解题的关键．13．【答案】1【解析】解：由题知，因为抛物线的函数解析式为，所以抛物线的对称轴为直线．又因为抛物线的对称轴是直线，所以．故答案为：1．根据所给函数解析式，得出二次函数的对称轴为直线，再结合所给抛物线对称轴是直线即可求出的值．本题主要考查了二次函数的性质，能根据所给函数解析式得出拋物线的对称轴为直线是解题的关键．14．【答案】【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，即可列方程．【解答】解：设一共有个球队参赛，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：．15．【答案】【解析】解：是方程的两根，，，，故答案为：．根据是方程的两根，可以得到，，进而得到，再代入所求式子计算即可．本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确两根之和与两根之积与系数的关系．16．【答案】解：，或，解得：或；（2），或，解得：或．【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．

（1）利用提公因式法因式分解可得；（2）利用十字相乘法因式分解可得．17．【答案】（1）向下，直线；（2）；（3））将抛物线向左平移一个单位长度就可以得到抛物线．【解析】解：（1）函数，该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是，故答案为：向下，直线；（2）函数，当时，随的增大而增大，故答案为：；（3）将抛物线向左平移一个单位长度就可以得到抛物线．（1）根据题目中的函数解析式可以解答本题；（2）根据二次函数的性质可以解答本题；（3）根据平移的性质可以解答本题．本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．【答案】解：方程为一元二次方程，方程的根的判别式的值为1，，解得：（不合题意，舍去），．【解析】由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值．本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键．19．【答案】解：（1）二次函数的图象交轴于，设该二次函数的解析式为：．将代入，得，解得，抛物线的解析式为，即．（2），所以这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，最值为4，为最大值．【解析】（1）根据与轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算求出的值，即可得到二次函数解析式；（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求解即可．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．20．【答案】解：设每件童装应降价元，则，解得，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以只取20．答：每件童装应降价20元．【解析】设每件童装应降价元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程，解方程就可以求出应降价多少元．考查了一元二次方程的应用，首先找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．21．【答案】解：（1）设矩形苗圃的一边的长为，则，；（2）根据题意，得：，解得：或，答：当或时，所围矩形苗圃的面积为．【解析】（1）一边的长为，则另一边，根据长方形面积公式可得函数解析式；（2）根据得出关于的方程，解方程即可得．本题主要考查二次函数的应用，根据面积公式得出函数解析式是解题的关键．22．【答案】（1）；（2）（或）；（3）方程二次项系数化为1，得．配方得，，即，开方得，解得．经检验，都是原方程的解．【解析】解：（1）由题意知：方程的解为，故答案为；（2）由题意知：（或），故答案为（或）；（3）见答案．【分析】解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．23．【答案】解：（1）由题意得：，且，化简得：，解得：且；（2）由题意知：恰好是等腰的腰长