2025届北京市西城区第14中学数学高一上期末综合测试模拟试题含解析

2025届北京市西城区第14中学数学高一上期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合，，若，则A. B.C. D.2．如图，AB是⊙O直径，C是圆周上不同于A、B的任意一点，PA与平面ABC垂直，则四面体P_ABC的四个面中，直角三角形的个数有（）A.4个 B.3个C.1个 D.2个3．已知函数，若正数，，满足，则（）A.B.C.D.4．若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（）倍.A B.C. D.25．实数，，的大小关系正确的是()A. B.C. D.6．下列有关命题的说法错误的是（）A.的增区间为B.“”是“-4x+3=0”的充分不必要条件C.若集合中只有两个子集，则D.对于命题p：.存在，使得，则p：任意，均有7．已知直线与直线平行，则的值为A.1 B.-1C.0 D.-1或18．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（）A.3 B.2C.1 D.1或29．若集合，则（）A. B.C. D.10．下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞A.y=-x2C.y=x3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．当时，函数的最大值为________.12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.13．已知，，则ab＝_____________.14．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式为__________.15．写出一个最小正周期为2的奇函数________16．下列命题中所有正确的序号是______________①函数最小值为4；②函数的定义域是，则函数的定义域为；③若，则的取值范围是；④若(,)，则三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示（1）请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；（2）求函数，的解析式；（3）已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围18．已知函数=的部分图象如图所示(1)求的值;(2)求的单调增区间;(3)求在区间上的最大值和最小值19．已知函数为的零点，为图象的对称轴（1）若在内有且仅有6个零点，求；（2）若在上单调，求的最大值20．化简下列各式：（1）；（2）.21．刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：套餐月租本地话费长途话费套餐甲12元0.3元/分钟0.6元/分钟套餐乙无0.5元/分钟0.8元/分钟刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）（1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得的值，进而求得.【详解】由于，故，所以，故，故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题.2、A【解析】AB是圆O的直径,可得出三角形是直角三角形，由圆O所在的平面，根据线垂直于面性质得出三角形和三角形是直角三角形，同理可得三角形是直角三角形.【详解】∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=，即,三角形是直角三角形.又∵圆O所在的平面，∴三角形和三角形是直角三角形,且BC在此平面中，∴平面,∴三角形是直角三角形.综上，三角形，三角形，三角形，三角形.直角三角形数量为4.故选：A.【点睛】考查线面垂直的判定定理和应用，知识点较为基础.需多理解.难度一般.3、B【解析】首先判断函数在上单调递增；然后根据，同时结合函数的单调性及放缩法即可证明选项B；通过举例说明可判断选项A，C，D.【详解】因为，所以函数在上单调递增；因为，，，均为正数，所以，又，所以，所以，所以，又因为，所以，选项B正确；当时，满足，但不满足，故选项A错误；当时，满足，但此时，不满足，故选项C错误；当时，满足，但此时，不满足，故选项D错误.故选：B.4、A【解析】以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可【详解】以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，故三角形的高变为原来的，故直观图中三角形面积是原三角形面积的.故选：A.【点睛】本题考查平面图形的直观图，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可，属于基础题.5、B【解析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围，即可得结果.【详解】由对数函数的单调性可得，根据指数函数的单调性可得，即，，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6、C【解析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程有一根判断；D.由命题p的否定为全称量词命题判断.【详解】A.令，由，解得，由二次函数的性质知：t在上递增，在上递减，又在上递增，由复合函数的单调性知：在上递增，故正确；B.当时，-4x+3=0成立，故充分，当-4x+3=0成立时，解得或，故不必要，故正确；C.若集合中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程有一根，当时，，当时，，解得，所以或，故错误；D.因为命题p：.存在，使得存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即p任意，均有，故正确；故选：C7、A【解析】由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋＝0平行所以，即－1或1，经检验成立.故选A.8、C【解析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论【详解】幂函数为偶函数，，且为偶数，则实数，故选：C9、C【解析】根据交集定义即可求出.【详解】因为，所以.故选：C.10、A【解析】根据基本函数的性质和偶函数的定义分析判断即可【详解】对于A，因为f(x)=-(-x)2=-x2=f(x)，所以y=-x2是偶函数，对于B，y=2x是非奇非偶函数，所以对于C，因为f(-x)=(-x)3=-x3对于D，y=lnx=lnx,x>0故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】分子分母同除以，再利用基本不等式求解即可．【详解】，，当且仅当时取等号，即函数的最大值为，故答案为：．12、12【解析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.13、1【解析】将化成对数形式，再根据对数换底公式可求ab的值.【详解】，.故答案为：1.14、【解析】根据最大值得，再由图像得周期，从而得，根据时，取得最大值，利用整体法代入列式求解，再结合的取值范围可得.【详解】根据图像的最大值可知，，由，可得，所以，再由得，，所以，因为，所以，故函数的解析式为.故答案为：.15、【解析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，满足，即是奇函数；根据最小正周期，可得.故函数可以是中任一个，可取.故答案为：.16、③④【解析】利用基本不等式可判断①正误；利用抽象函数的定义域可判断②的正误；解对数不等式可判断③；构造函数，函数在上单调递减，结合，求得可判断④.详解】对于①，当时，，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立，所以，函数，的最小值不是，①错误；对于②，若函数的定义域为，则有，解得，即函数的定义域为，②错误；对于③，若，所以当时，解得：，不满足；当时，解得：，所以的取值范围是，③正确；对于④，令，函数在上单调递减，由得，则，即，故④正确.故答案为：③④.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）图象见解析，函数的单调增区间为；（2）；（3）.【解析】(1)根据奇函数的图象特征即可画出右半部分的图象，结合图象，即可得出单调增区间；(2)根据函数的奇偶性即可直接求出函数的解析式；(3)由(2)得出函数的解析式，画出函数图象，利用数形结合的数学思想即可得出m的取值范围.【小问1详解】剩余的图象如图所示，有图可知，函数的单调增区间为；【小问2详解】因为当时，，所以当时，则，有，由为奇函数，得，即当时，，又，所以函数的解析式为；【小问3详解】由(2)得，，作出函数与图象，如图，由图可知，当时，函数与图象有3个交点，即方程有3个不等的实根.所以m的取值范围为.18、(1);（2）单调递增区间为(3)时,取得最大值1;时,f(x)取得最小值【解析】(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和值;(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解试题解析：(1)由图象知由图象得函数最小正周期为=,则由=得(2)令..所以f(x)的单调递增区间为（3）..当即时,取得最大值1;当即时,f(x)取得最小值19、（1）；（2）.【解析】（1）根据的零点和对称中心确定出的取值情况，再根据在上的零点个数确定出，由此确定出的取值，结合求解出的取值，再根据以及的范围确定出的取值，由此求解出的解析式；（2）先根据在上单调确定出的范围，由此确定出的可取值，再对从大到小进行分析，由此确定出的最大值.【详解】（1）因为是的零点，为图象的对称轴，所以，所以，因为在内有且仅有个零点，分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，代入，所以，所以，所以，又因为，所以，所以；（2）因为在上单调，所以，即，所以，又由（1）可知，所以，所以，当时，，所以，所以，所以此时，因为，所以，又因为在时显然不单调所以在上不单调，不符合；当时，，所以，所以，所以此时，因为，所以，又因为在时显然单调递减，所以在上单调递减，符合；综上可知，的最大值为.【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数涉及的取值范围问题的常见突破点：（1）结论突破：任意对称轴（对称中心）之间的距离为，任意对称轴与对称中心之间的距离为；（2）运算突破：已知在区间内单调，则有且；已知在区间内没有零点，则有且.20、（1）0（2）1【解析】（1）由诱导公式化简计算；（2）由诱导公式化简即可得解【小问1详解