【浙教】期中模拟卷01【1-2章】

2023-2024学年上学期期中模拟考试01八年级数学（浙教版：第1-2章）（考试时间：90分钟试卷满分：120分）一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目.1．（2023秋•浙江月考）下列图形中是轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．（2022秋•越城区校级期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，4，8 B．4，5，10 C．5，6，11 D．8，7，143．（2022秋•嵊州市期中）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（）A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝24．（2023秋•浙江月考）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠E＝20°，∠BAE＝90°，则∠EAC＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°5．（2023秋•诸暨市月考）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A． B． C． D．6．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A． B． C． D．7．（2022秋•嵊州市期中）同学们都玩过跷跷板的游戏，如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA＝OB．当跷跷板的一头A着地时，∠AOA′＝50°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠COB′等于（）A．25° B．50° C．65° D．130°8．（2023•临海市校级开学）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（）A．8 B．10 C．12 D．149．（2022秋•慈溪市期中）如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2023•镇海区校级开学）如图，已知∠AOB＝60°，点D是∠AOB的平分线上的t点，点E，F分别是射线OA和射线OB上的点，且DE＝DF，∠EDF＞90°．下列结论中正确的是（）A．∠EDF是一个定值 B．四边形DEOF的面积是一个定值 C．当DE⊥OA时，△DEF周长最小 D．当DE∥OB时，DF⊥OA二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（2022秋•镇海区校级期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．12．（2022秋•诸暨市期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是（不添加字母和辅助线）．13．（2022秋•嵊州市期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为．14．（2022秋•嵊州市期中）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC＝．15．（2021秋•瑞安市期中）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝°．16．（2022秋•北仑区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为．三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.17．（2022秋•下城区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（，）；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（，）．18．（2022秋•镇海区校级期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．19．（2022秋•西湖区校级期中）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC．（1）用直尺和圆规作出∠BAC的角平分线交BC于点D，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的基础上，若∠B＝36°，求∠CAD的度数．20．（2021秋•义乌市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E．（1）求证：EC⊥BC；（2）若∠BAC＝120°，试判定△ACE的形状，并说明理由．21．（2022秋•长兴县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC于点E．（1）求BF的长；（2）直接写出DE的长．22．（2022秋•镇海区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．23．（2022秋•杭州期中）已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°．（1）如图1，摆放△ACD和△BCE时（点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE、BD．求线段AE与BD的数量关系，位置关系．（直接写出答案）（2）如图2，摆放△ACD和△BCE时，连接AE、BD，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，摆放△ACD和△BCE时，连接AE、DE．若有AE2＝DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．

2023-2024学年上学期期中模拟考试01八年级数学（浙教版：第1-2章）一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目1．（2023秋•浙江月考）下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2022秋•越城区校级期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，4，8 B．4，5，10 C．5，6，11 D．8，7，14【答案】D【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可．【详解】解：A、∵3+4＜8，∴长度为3，4，8的三条线段不能构成三角形，本选项不符合题意；B、∵4+5＜10，∴长度为4，5，10的三条线段不能构成三角形，本选项不符合题意；C、∵5+6＝11，∴长度为5，6，11的三条线段不能构成三角形，本选项不符合题意；D∵8﹣7＜14＜8+7，∴长度为8，7，14的三条线段能构成三角形，本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．3．（2022秋•嵊州市期中）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（）A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝2【答案】C【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘法法则计算，根据假命题的概念判断即可．【详解】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＝1，b2＝4，则a2＜b2，∴若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．4．（2023秋•浙江月考）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠E＝20°，∠BAE＝90°，则∠EAC＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】D【分析】由△ABC≌△ADE，得到∠D＝∠B＝30°，∠EAD＝∠BAC，因此∠EAC＝∠BAD，由三角形内角和定理求出∠EAD＝180°﹣∠E﹣∠D＝130°，而∠BAE＝90°，即可得到∠BAD＝∠EAD﹣∠BAE＝40°，从而得到∠EAC＝40°．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B＝30°，∠EAD＝∠BAC，∴∠EAC＝∠BAD，∵∠E＝20°，∴∠EAD＝180°﹣∠E﹣∠D＝130°，∵∠BAE＝90°，∴∠BAD＝∠EAD﹣∠BAE＝40°，∴∠EAC＝40°．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得到∠EAC＝∠BAD．5．（2023秋•诸暨市月考）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【详解】解：线段BE是△ABC的高的图是选项A．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．6．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】A．由作法知AD＝AC，可判断A；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D．由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D．【详解】解：A．由作法知AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC＝60°，由作法知AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝30°＝∠B，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；故选B．【点评】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．7．（2022秋•嵊州市期中）同学们都玩过跷跷板的游戏，如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA＝OB．当跷跷板的一头A着地时，∠AOA′＝50°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠COB′等于（）A．25° B．50° C．65° D．130°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵OA＝OB=12∴OA′＝OB′=12A′∵AB＝A′B′，∴OA＝OB′，∵∠AOA′＝50°，∴∠AOB′＝180°﹣50°＝130°，∵OC⊥AB′，∴∠COB′=12故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8．（2023•临海市校级开学）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【详解】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2．如图，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即a+d＝b+c，∵a＝2，b+c＝12，d＝12﹣2＝10．故选：B．【点评】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．9．（2022秋•慈溪市期中）如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接AF，可得AF⊥BD，再利用等角的余角相等，证明∠EAF＝∠EFA，从而得EA＝EF，即可解答．【详解】解：连接AF，∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，∴∠AFD＝90°，∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠C，∴∠EAF＝∠AFE，∴EA＝EF，∴EF＝EA＝EC=12故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键．10．（2023•镇海区校级开学）如图，已知∠AOB＝60°，点D是∠AOB的平分线上的t点，点E，F分别是射线OA和射线OB上的点，且DE＝DF，∠EDF＞90°．下列结论中正确的是（）A．∠EDF是一个定值 B．四边形DEOF的面积是一个定值 C．当DE⊥OA时，△DEF周长最小 D．当DE∥OB时，DF⊥OA【答案】C【分析】过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N，DG⊥EF于点G，证明Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），得出∠EDM＝∠FDN，S△DEM＝S△DFN，求出∠EDF＝120°，得出∠EDF是一个定值；根据S△DEM+S四边形DEON＝S四边形DEON+S△DFN，得出S四边形DEOF＝S四边形DMON，说明四边形DEOF的面积是一个定值；根据C?DEF=DE+DF+EF=2DE+3DE=(2+3)DE，得出当DE最小时，△DEF的周长最小，根据垂线段最短，得出当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小；根据DE∥OB时，∠DEO＝180°﹣∠ABC＝120°，得出∠DFO＝360°﹣∠EDF﹣∠DEO﹣∠AOB＝60°，求出∠AOB+∠【详解】解：过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N，DG⊥EF于点G，如图所示：∵点D是∠AOB的平分线上的一点，∴DM＝DN，∵DE＝DF，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴∠EDM＝∠FDN，S△DEM＝S△DFN，∴∠EDM+∠EDN＝∠EDN+∠FDN，∴∠MDN＝∠EDF，∵∠DMO＝∠DNO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠EDF＝120°，即∠EDF是一个定值；当E、F关于OD对称时，DE＝DF，∠EDF不固定，故A错误，符合题意；∵S△DEM＝S△DFN，∴S△DEM+S四边形DEON＝S四边形DEON+S△DFN，即S四边形DEOF＝S四边形DMON，∵四边形DMON的面积是一个定值，∴四边形DEOF的面积是一个定值，当E、F关于OD对称时，DE＝DF，∠EDF不固定，四边形DEOF的面积不固定，故B错误，符合题意；∵DG⊥EF，DE＝DF，∴EG＝FG，∠EDG=1∴EG=DE×sin60°=3∴EF=2EG=3∴C?DEF∴当DE最小时，△DEF的周长最小，∵垂线段最短，∴当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故C正确，不符合题意；∵DE∥OB时，∠DEO＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠DFO＝360°﹣∠EDF﹣∠DEO﹣∠AOB＝60°，∴∠AOB+∠DFO＝60°+60°＝120°≠90°∴DF一定与OA不垂直，故D错误，符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，证明Rt△DEM≌Rt△DFN．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（2022秋•镇海区校级期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【答案】两个角相等三角形是等腰三角形【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．12．（2022秋•诸暨市期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是AB＝DC（答案不唯一）（不添加字母和辅助线）．【答案】AB＝DC（答案不唯一）．【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．【详解】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AB＝DC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：∠ABC＝∠DCB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：∠ACB＝∠DBC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．13．（2022秋•嵊州市期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为110°．【答案】110°【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，∴∠BAC＝110°，由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，∵DE∥AB，∴∠BAE＝∠E＝30°，∴∠CAD＝40°，∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，故答案为：110°．【点评】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．14．（2022秋•嵊州市期中）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC＝8．【答案】8【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，∴FA＝FB，∴AC＝FA+FC＝FB+FC＝8，故答案为：8．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．15．（2021秋•瑞安市期中）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝67.5°．【答案】67.5．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质以及三角形内角和定理解答即可．【详解】解：设∠ECF＝x，∵EC＝EF，∴∠EFC＝∠ECF＝x，∴∠GEF＝2x，∵EF＝GF，∴∠FGE＝∠GEF＝2x，∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x，∵DG＝GF，∴∠GDF＝∠DFG＝3x，∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，∵DG＝DA，∴∠A＝4x，∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝5x，∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝6x，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴4x+6x+6x＝180°，解得：x=45°∴∠B=135°故答案为：67.5．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等边对等角的性质．16．（2022秋•北仑区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为245【答案】24【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP＝B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP＝B′P，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=A∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C，∴△ABC≌△AB′C（SAS），∴S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC，即12AB•B′D＝2×12BC∴5B′D＝24，∴B′D=24故答案为：245【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.17．（2022秋•下城区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（2，﹣4）；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（0，2）．【答案】（1）图形见解析，A1（2，﹣4）；（2）52【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出△A1B1C1；（2）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可；（3）作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于P，从而解决问题．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），故答案为：2，﹣4；（2）△ABC的面积＝2×3-12×1×2-12（3）如图所示，点P即为所求，P（0，2），故答案为：0，2．【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．18．（2022秋•镇海区校级期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；（2）根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．【详解】（1）证明：在△ABE和△DCE中，?A=?D?AEB=?DEC∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°．【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．19．（2022秋•西湖区校级期中）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC．（1）用直尺和圆规作出∠BAC的角平分线交BC于点D，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的基础上，若∠B＝36°，求∠CAD的度数．【答案】（1）见详解；（2）27°．【分析】（1）以A点为圆心，以合适长度为半径画弧交AC、AB于点N、M，再以M、N为圆心，以大于MN一半的长度为半径画弧，两弧交于点G，连接AG，交BC于点D，即可；（2）先求出∠BAC＝90°﹣∠B＝54°，再根据AD平分∠BAC，可得∠CAD=1【详解】解：（1）作图如下，点D即为所求；（2）∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝54°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=1【点评】本题主要考查了角平分线的尺规作图，直角三角形中两锐角互余等知识，掌握角平分线的尺规作图方法是解答本题的关键．20．（2021秋•义乌市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E．（1）求证：EC⊥BC；（2）若∠BAC＝120°，试判定△ACE的形状，并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）只要证明∠ECB＝∠ADB＝90°即可解决问题；（2）想办法证明∠EAC＝∠ACE＝∠E＝60°即可解决问题；【详解】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，又∵CE∥AD，∴∠BCE＝∠BDA＝90°，∴EC⊥BC．（2）解：△ACE是等边三角形，理由如下：∵∠BAC＝120°，∴∠EAC＝60°，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=1又∵EC⊥BC，∴∠ACE＝60°，∴∠EAC＝∠ACE＝∠E＝60°，∴△ACE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（2022秋•长兴县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC于点E．（1）求BF的长；（2）直接写出DE的长．【答案】（1）5；（2）6013【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，BF＝CF，再利用勾股定理可求解；（2）连接CD，利用三角形的面积可计算求解．【详解】解：（1）∵AB＝AC＝13，F是BC中点，∴AF⊥BC，BF＝CF，∵AF＝12，∴CF=A∴BF＝5；（2）连接CD，∵BF＝CF＝5，∴BC＝10，∴S△ABC=12BC•∵AD＝BD，∴S△ADC＝S△BCD=12S△即12AC•DE∴DE=2×30【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．22．（2022秋•镇海区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP＝BQ，由BQ＝2t，BP＝8﹣t，列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时，则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时，则BC+CQ＝12，易求得t；③当BC＝BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【详解】解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ=42+（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t=16即出发163秒钟后，△PQB（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE=AB⋅BC∴CE=B∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形