九年级数学一元二次方程

1.1一元二次方程

--选择题（共10小题）

1.x=l是关于x的一元二次方程〃+ax+26=0的解，贝!|2a+4Z?=()

A.-2B.-3C.-1D.-6

2.已知关于x的一元二次方程（a-1）〃-2x+〃-1=0有一个根为x=0,则a的值为

（）

A.0B.±1C.1D.-1

3.若一元二次方程*-2Zx+N=0的一根为x=-1，则4的值为（）

A.-1B.0（：.1或-1D.2或0

4.若〃（巾0）是关于X的方程/+Z77X+2〃=0的一个根，则777+〃的值是（）

A.1B.2C.-1D.-2

5.已知m是方程/-2019%+1=0的一个根，则代数式加-2018/77+1+2的值是（）

m

A.2018B.2019C.2020D.2021

6.若x=2是关于x的方程a*-bx=2的解，则2019-2a+b的值为（）

A.2016B.2017C.2018D.2019

7.已知关于X的一元二次方程M-x+l/77=O的一个实数根为b，若片4〃-46+加4,

则p的取值范围是（）

8.若2是关于x的方程（/77-1）x+m+2=0的一个实数根，并且这个方程的两个实

数根恰好是等腰的两条边的长，贝的周长为（）

A.7或10B.9或12C.12D.9

9.已知xig是一元二次方程炉-3x+1=0的两实数根，则」一H一1~的值息）

l-3x|1-3«2

A.-7B.-1C.1D.7

10.下列是一元二次方程的是（）

A.M+3=0B.xy+3x-4=0C.2x-3+y=0D.—+2x-6=0

x

二.填空题（共10小题）

11.已知2+F是关于x的方程/-4%+/77=0的一个根，则m=.

12.若关于x的一元二次方程/+Z77X+2〃=0有一个根是2,则m+n=.

13.已知x=2是关于x的一元二次方程蛇+（N-2）X+2&+4=0的一个根，则攵的值

为•

14.若关于x的一元二次方程a/+6x+3=0的一个解是x=1,则2019-a-b的值

是.

15.定义运算ai^b-a・ab,若a=x+l,b-x,a^b=・3,贝!!x的值为.

16.已知x=-1是一元二次方程a*+bx-8=0的一个解，且aw-6,则于二卜？的值

2a+2b

为.

17.若m是方程2〃-3x-1=0的一个根，则9/77-6而+5的值为.

18.若a是方程解-5x+l=0的一个根，则容+与勺值是.

a

19.关于x的方程|x-1|（x+1）=攵恰好有三个不同的解，则实数4的取值范围是.

20.若关于x的方程（『4）（*-6x+m）=0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三

边长，则）的值为.

=.解答题（共16小题）

21.已知x=2是关于x的方程〃-mx-4加=0的一个根，求m（2m+l）的值.

22.已知x=1是关于x的一元二次方程*-4mx+m^=0的根，求代数式2mlm-2）

-(m+'R)(/77-V3)的值.

23.解方程：(x-5)(x-3)=24.

24.已知：关于x的一元二次方程〃-(2/77+3)x+m2+3m+2=0.

(1)已知*=2是方程的一个根，求)的值；

(2)以这个方程的两个实数根作为歌中AB、AC{的边长，当踩=椀,

6c是等腰三角形，求此时m的值.

25.阅读下歹！J材料:

(1)关于x的方程〃-3x+l=0(片0)方程两边同时乘以L导:X-3+L=C^XJ=3，

XXX

Ioo1191911v99

v,,z

(xH)-x+—TzS'2X—=x+—^-+2，xHr=(x+-)-2=3-2=7

xxxxxx

(2)#+加=(a+6)(用-ab+b^);#-〃=(a-6)(¥+ab+H).

根据以上材料，解答下列问题：

-4x+l=0(胜0),则xJ=______,x2+A-=______，X4-HAF=______；

xx2x4

(2)2解-7*+2=0(*/0),求X3_H^值.

x。

26.若用是f一元二次方程#+"-x-5=0的T实数根.

(1)求a的值；

(2)不解方程，求代数式(加-6)(m-5+1)的值.

27.已知一元二次方程*+7mx+nMm-4=0有一个根为零,求实数m的值.

28.已知X=〃是关于X的一元二次方程/77X2-4X-5=0的T根，若77?亦-4"+/77=6,

求m的值.

29.解方程：(x+3)(x+1)=6x+5.

30.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好

友方程"，如果关于x的一元二次方程/-2x=0与解+3x+m-1=0为"友好方程"，

求m的值.

31.已知实数a是一元二次方程序-x-1=0的一个根，求代数式#+7a-4的值.

32.关于x的一元二次方程x(x-2)=x-2①与一元一次方程2x+l=2a-x@.

(1)若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；

(2)若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a

的取值范围.

33.在一元二次方程〃-2ax+b=0中，若"-6>0,则称a是该方程的中点值.

(1)方程〃-8x+3=0的中点值是.

(2)已知〃-mx+n=0的中点值是3,其中一个根是2,求的值.

34.已知A774-1=5加-Sm

(1)试问：加的值能否等于2?请说明理由;

(2)求序+今的值.

35.当777为何值时，关于x的方程(m-2)/2.2-4mx=0为一元二次方程，并求这个

一元二次方程的解.

36.请阅读下列材料：

问题：已知方程彦+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=2..

把x=工代入已知方程，得(工)2+工-1=o.

222

化简，得尸+2尸4=0,

故所求方程为/+2y-4=0.

这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为"换根法”.

请用阅读材料提供的“换根法"求新方程(要求：把所求方程化为一般形式).

(1)已知方程M+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反

数,则所求方程为：；

(2)已知方程2〃-7X+3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒

数.

答案与解析

-.选择题(共10小题)

1.*=1是关于x的一元二次方程〃+ax+26=0的解，贝!|2a+46=()

A.-2B.-3C.-1D.-6

【分析】先把代入方程解+得,然后^用整体代入的方法计

x=1ax+26=0a+2b=-1

算2a+46的值.

【解答】解：把x=1代入方程/+赤+26=0得l+a+2b=0,

所以a+26=-1,

所以2a+46=2(a+2b)=2x(-1)=-2.

雌：力.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

2.已知关于x的一元二次方程(a-1)4-2x+#-1=0有一个根为x=0,则a的值为

()

A.0B.±1C.1D.-1

【分析】直接把x=0代入进而方程，再结合a-1^0,进而得出答案.

【解答】解：,.关于x的一元二次方程(a-1)M-2x+乎-1=0有一个根为x=0,

：.a^-1=0,且a-1声0,

则a的值为:a=-1.

故选：。.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零.

3.若一元二次方程必-2依+N=0的一根为x=，则攵的值为()

A.-1B.0（：.1或-1D.2或0

【分析】把x=-1代入方程计算即可求出攵的值.

【解答】解：把x=-1代入方程得：1+2〃+攵2=0,

解得：攵=-1,

故选：力.

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数

的值.

4.若〃（巾0）是关于x的方程M+/77X+2〃=0的一个根，则的值是（）

A.1B.2C.-1D.-2

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到广+/77〃+2〃=0,然后利用等式性质求m+n

的值.

【解答】解：把*="代入方程〃+/77*+2"=。得〃+777/7+2/7=0,

因为,

所以n+m+2=0,

贝!Jm+n=-2.

故选：。.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

5.已知m是方程/-2019X+1=0的一个根，则代数式浒-2018/77+1+2的值是（）

ID

A.2018B.2019C.2020D.2021

【分析】利用一元二次方程的解的定义得到加=2019/77-1,利用整体代入的方法变形

得到苏-2018/77+1+2=/77+1+1,然后通分后再利用整体代入的方法计算.

IDID

【解答】解：是方程*-2019%+1=0的一个根，

二.济-2019/77+1=0,

.,./7T2=2019/77-1,

二.浒-2018/77+1+2=2019m-2018/77-1+L+2

mm

=m+—+l

ID

2

二四+L+1

ID

―2019m-l+l4，］

m

=2019+1

=2020.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

6.若x=2是关于x的方程a$-bx=2的解，则2019-2a+6的值为()

A.2016B.2017C.2018D.2019

【分析】把*=2代入方程求出2a-6的值，代入原式计算即可求出值.

【解答】解：把x=2代入方程得：4a-26=2,即2a-6=1,

则原式=2019-(2a-b)=2019-1=2018,

故选：C.

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数

的值.

7.已知关于x的一元二次方程/-%+1/77=0的一个实数根为b，若片4g-4。+加三,

则y的取值范围是()

A.y>得B.y>AC.y>-1D.y>-1

【分析】先表示出判别式△,根据方程有两个实数根得出"的取值范围，根据6是方程

的一个实数根，可得4〃-46+2m=0,整体代入，根据二次函数的性质可得y的取值

范围.

【解答】解：1.关于x的一元二次方程M-x+Lm=0有实数根，

2

；4=1-2/7720,

：.m<—,

2

••力是方程的一个实数根，

:.*-b+^m=0,

2

；.4%-46+2/77=0,

.,.4b2-46=-2m,

:.y=4b^-46+加_X=-2m+/n2_X=（zn-1）2--,

444

而m<^,

2

：.y>-1.

故选：。.

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，二次函数的性质，解答本题的关

键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系.

8.若2是关于x的方程〃一（机一1）x+m+2=0的一个实数根，并且这个方程的两个实

数根恰好是等腰的两条边的长，贝h/8c的周长为（）

A.7或10B.9或12C.12D.9

【分析】将x=2代入方程求得用的值，继而可还原方程，因式分解法求解得出x的值,

根据等腰三角形的性质分类讨论，结合三角形三边间的关系即可得出答案.

【解答】解：将x=2代入方程得:4-2(<n-l)+6+2=0,

解得：777=8,

则方程为M-7x+10=0,

即(x-5)(x-2)=0,

解得：x=5或x=2,

当三角形的三边为2、2、5时，2+2<5,不能构成三角形；

当三角形的三边为5、5、2时，三角形的周长为5+5+2=12,

综上所述，三角形的周长，12.

观察选项，选项C符合题意.

雌：C.

【点评】本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三

边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键.

9.已知Xi,X2是一元二次方程必-3x+1=0的两实数根厕」一H一1_的值是()

l-3xj1-3x2

A.-7B.-1C.1D.7

【分析】先根据一元二次方程解的定义得到用2-3X1+1=0,至2-3及+1=0,则1-3短

11(Xi+Xo)^-2x(x9

=-,1-3X2=-X22,则」一H一i_可变形为——~2——丁」,再根据

2

1-3X11-3x2(X1X2)

根与系数的关系得到X1+加=3,X1M=1,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：,歪是一元二次方程4-3x+l=0的两实数根,

/.Ai2-3AI+1=0,X22-3至+1=0,

/.I-3xi=-X12,1-3x2=-X22,

2

.11,.工.1.(町+9)-2盯乂2

22

1-3入11-3乂2X/x2(x^2)

••.依，木是一元二次方程必・3x+l=0的两实数根，

：.X1+X2=3,X1X2-1,

，原式〜与＞=-7.

I2

故选：/.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解•也考查了根与系数的关系.

10.下列是一元二次方程的是()

A.x^+3=0B.xy+3x-4=0C.2x-3+y=0D.—+2x-6=0

x

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.

一元二次方程必须满足四个条件：

(1)未知数的最高次数是2;

(2)二次项系数不为0；

(3)是整式方程；

(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答

案.

【解答】解：4该方程是一元二次方程，故本选项正确；

员该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；

G该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；

该方程是分式方程，故本选项错误；

故选：

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

二.填空题（共10小题）

11,已知2+居关于X的方程M-4X+/77=0的一个根，则/77=二

【分析】把X=2+仃弋入方程得到关于777的方程，然后解关于m的方程即可.

【解答】解：把乂=2+仃弋入方程得（2+我）2-4（2+遥）+/77=o,

解得m=l.

故答案为1.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

12.若关于x的一元二次方程/+/77*+2〃=。有一个根是2,则m+n=-2.

【分析】根据一元二次方程的解的定义把X=2代入^+mx+2n=0得至（J4+2/77+2/7=0

得"+m=-2,然后利用整体代入的方法进行计算.

【解答】解：，乜（用0）是关于x的一元二次方程〃+mx+2n=0的一个根，

.,.4+2/77+2/7=0,

..n+m=-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数

的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，

所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

13.已知x=2是关于x的一元二次方程攵彦+（N-2）X+264=0的一个根，则攵的值

为-3.

【分析】把x=2代入奸+（N-2）X+2Z+4=0得4攵+2代-4+2Z+4=0,再解关于

Z的方程，然后根据一元二次方程的定义确定攵的值.

【解答】解：把X=2代入k*+(N-2)x+24+4=0得4Z+2N-4+2Z+4=0,

整理得*+3攵=0,解彳导h=0,后=-3,

因为60,

所以〃的值为-3.

故答案为-3.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

14.若关于x的一元二次方程ax^+bx+3=0的一个解是x=1,则2019-a-b的值是

2022.

【分析】先利用一元二次方程根的定义得到a+6=-3,再把2019-a-6变形为2019

-(a+6),然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：x=1代入一元二次方程a^+bx+3=0得a+6+3=0,

:.a+b=-3,

.-.2019-a-6=2019-(a+b)=2019-(-3)=2022.

故答案为2022.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

15.定义运算aisb=a-ab,若a-x+1,b=x,a^b=-3,则x的值为2或-2.

【分析】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：由题意可得：x+1-(x+1>x=-3,

-A2=-4,

解得：x=±2,

故答案为：2或-2

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能根据已知得出一元二次

方程，题目匕匕较新颖，难度适中.

16.已知x=-1是一元二次方程a彦+bx-8=0的一个解，且”-6,则.号沁之的值为

2a+2b

4.

【分析】先利用约分得至嫄式=空也，再利用一元二次方程根的定义得到a-6=8,然

2

后利用整体的方法计算.

【解答】解：•.-%=-1是一元二次方程ax^+bx-8=0的T解，

：.a-/?-8=0,即a・b=8,

所以原式="）『）=空也=8.=4.

2（a+b）22

故答案为4.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

17.若m是方程2〃-3x-1=0的一个根，则9/77-6而+5的值为2.

【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：2加-3/77-1=0,

:2m2--3/n=1

•.原式=-3（2加-3/77）+5=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，

本题属于基础题型.

18.若a是方程/-5x+l=0的一个根，贝！］用+」产值是23.

【分析】把X=a代入方程，得至IJ型+1=5a,则将其代入整理后的代数式进行求值即可.

【解答】解：把x=a代入方程炉-5x+l=0,得

a2-5a+l=0,

所以#+l=5a,

2

则于+L=(a+L)-2=(5a)2.2=25-2=23.

a2aa

故答案是：23.

【点评】此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的

未知数的值.

19.关于x的方程|x-1|(x+1)=%恰好有三个不同的解，则实数1的取值范围是0<〃

<1.

【分析】画出函数f(X)=|x-1|(X+1)的图象，分析攵取不同值时,函数图象与直线

f(X)的交点个数即可得答案.

【解答】解：设〃X)=|%-1|(X+1),

X2-1(x)l)

:,f(X)=<

,-x2+l(X<1)

如关于X的方程|x-1|(x+1)=%恰好有三个不同的解，

则O<Z<1,

故答案为：0<Xr<l.

【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根，将其中关于x的方程f(x)=攵的解的

个数转化为函数〃x)的图象与直线f(x)=攵的交点个数是解题的关键.

20.若关于x的方程(X-4)(2-6x+m)=0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三

边长，则)的值为团.

一且一

【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可.

【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c,

依题意可得

X-4=0或/-6x+m=0,

..x=4,A2-6x+m=0,

设〃-6%+/77=0的两根为a、b,

(-6)2-Am>0,m<9,

根据根与系数关系，得a+6=6,ab=m,则c=4,

①c为斜边时，a2+Z?2=c2,(a+b)2-2ab=&

」.62-2m=42,10(不符合题意，舍去)；

②a为斜边时，〃+〃=于，

42+(6-a)2=#,

a=^~,6=6-a=—,

33

：.m=ab=l^-x—=—>

339

故答案为毁.

9

【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练运用根与系数关系、根的判别式是解题的

关键.

三.解答题(共16小题)

21.已知X=2是关于X的方程A2-777%-4/772=0的一个根，求利(2/77+1)的值.

【分析】根据X=2是关于x的方程〃-mx-4加=0的一个根，将x=2代入方程变形

即可求得所求式子的值.

【解答】解：•.•%=2是关于x的方程x2-mx-4济=0的一个根，

：.22-2m-4/772=0,

.,.4=4/772+2/77,

：.2=m(2/77+1),

：.m(2/77+1)=2.

【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解

答.

22.已知x=1是关于x的一元二次方程解-4mx+济=0的根，求代数式2/77(/77-2)

-(m+M)(m-a)的值.

【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式=苏-4/77+3,再利用一元二次方程根的

定义得到苏-4/77=-1,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：原式=2加-4m-(苏-3)

=2加-4f77-加+3

=m2--4/77+3,

.：x=1是关于x的一元二次方程/-4mx+*0的根，

..I-4m+m2=0,即加-4/n=-1,

二原式=-1+3=2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

23.解方程：(x-5)(x-3)=24.

【分析】利用十字相乘法解一元二次方程即可；

【解答】解：/-8X+15-24=0

*-8x-9=0

(x-9)(x+l)=0,

：.x-9=0或x+1=0,

.,.Al=9,X2=-1.

【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特点选择适当的

方法解方程.

24.已知：关于x的一元二次方程*-(2/77+3)x+m2+3m+2=0.

(1)已知x=2是方程的一个根，求机的值；

(2)以这个方程的两个实数根作为中AB、AC(的边长，当8G糊，

△/8C是等腰三角形,求此时m的值.

【分析】(1)把x=2代入方程〃-(2m+3)x+9+3/77+2=0得到关于m的一元二

次方程，然后解关于机的方程即可；

(2)先计算出判别式，再利用求根公式得到M=m+2,及=m+1,则AC=777+2,AB

=m+1.然后讨论：当AB=6c时，有/77+1=依；当/C=8c时，有6+2=代，再

分别解关于6的一次方程即可.

【解答】解：(1)・•.x=2是方程的一个根,

/.4-2(2/77+3)+/772+3/77+2=0,

.•・/77=0或777=1；

(2)---A=(2/77+3)2-4(7772+3/77+2)=1,

=1;

.一2nri-3±1

2

/.Ai=777+2,A>=/77+1,

••,AB、AC{AB<AC)的长是这个方程的两个实数根，

：.AC-777+2,AB-777+1.

-BC=4s.6c是等腰三角形，

.•.当4?=%时，有/77+1=遥，

■-m=y/s-1；

当ZC=8C时，有加+2=代，

.••/77=V5-2,

综上所述，当m=代-1或m=代-2时，是等腰三角形.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.也考查了等腰三角形的判定.

25.阅读下歹II材料：

(1)关于x的方程/-3x+l=0(胖0)方程两边同时乘以U导：x-3+工=限3x3=3，

XXX

In91191011oo

(X-H-)=x+-x,一二x，x+产(x+—)-2=3-2=7

+F+2z

XXxx

(2)¥+加=(8+b)(a2-ab+b2);a3-/^=(a-d)(.

根据以上材料，解答下列问题：

24

(l)〃-4x+l=0(E0),贝！)xJ=」_,-J-=14,U-=194;

xYx2Yx4

(2)2〃-7x+2=0(xr0),求值.

X

【分析】(1)模仿例题利用完全平方公式即可解决.

(2)模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可.

【解答】解；(l).・/・4x+l=0,

/.%+—=4,

x

・・.(X+L)2=16,

X

.•/+2+^-=16,

2

x

.•/+工=14,

2

x

.•.(解+_k)2=196,

X

.•./+工+2=196,

4

x

.•.M+L=194.

x4

故答案为4,14,194.

(2),••2/-7x+2=0,

•y.1-7皿-1—41

X2x24

34-^—=(%+—)(g-1+^-)=-Lx(-1)=-25'9_.

X不

xx2248

【点评】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是

灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项(利用完全平方公式整体平方)，属于中

考常考题型.

26.若m是一个一元二次方程3a+i|一X一5=0的T实数根.

(1)求a的值；

(2)不解方程，求代数式(加-m)(心+1)的值.

ID

【分析】(1)根据一元二次方程的定义得到|a+l|=2,然后解绝对值方程即可；

(2)利用m是一个一元二次方程*-x-5=0的一个实数根达到加-m=5,贝！)(加

-mm-反+1)=(加-m>(皿/+1),然后利用整体代入的方法计算.

IDID

【解答】解：(1)根据题意得|a+l|=2,解得a=1或a=-3;

(2)是一个一元二次方程/-X-5=0的一个实数根，

..m2-/77-5=0,

：.ni2-m-5,

：.(ni2-m)(m--+1)=(rrP-m>(10+1)

min

=5x(四+1)

m

=5x2

=10.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

27.已知一元二次方程*+7mx+出+3m-4=0有一个根为零，求实数m的值.

【分析】把x=0代入方程*+7mx+*+3m-4=0得加+36-4=0,然后解关于m

的方程即可.

【解答】解：把X=0代入方程4+7/77X+加+3m-4=0得加+36-4=0,解得利

=-4,rrt2=l,

所以m的值为-4或1.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

28.已知x=〃是关于x的一元二次方程一4x-5=0的一个根，若m*-4n+m=6,

求m的值.

【分析】把x=〃代入方程求出-4〃的值，代入已知等式求出6的值即可.

【解答】解：把x=〃代入方程得：m*-4n-5=0,即m庠-4〃=5,

代入已知等式得：5+m=6,

解得：777=1.

【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则

是解本题的关键.

29.解方程：(x+3)(x+1)=6x+5.

【分析】根据多项式乘多项式法则把一元二次方程化为一般形式，利用公式法解出方程.

【解答】解：(x+3)(x+l)=6x+5

〃+3x+x+3=6x+5

/-2x-2=0

2

A=(-2)-4xlx(-2)=12>0

2±i±7s

2

Xi=l+4s，X2=l-43.

【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程的一般步骤是

解题的关键.

30.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好

友方程"，如果关于x的一元二次方程/-2x=0与Mx+m-1=0为"友好方程"，

求m的值.

【分析】通过解方程*-2x=0,可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x

=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=

0代入方程4+3X+/77-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的

解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入

方程Mx+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对

照后可得出m=2符合题意.综上此题得解.

【解答】解：解方程/-2x=0,得：/i=0,&=2.

①若x=0是两个方程相同的实数根.

将X-0代入方程)^+3x+m-1=0,得：/n-l=O,

-m=1,此时原方程为炉+3%=0,

解得：M=0,歪=-3,符合题意，

：.m-1;

②若x=2是两个方程相同的实数根.

将X=2代入方程8+3*+/77-1=0,得：4+6+777-1=0,

.■.m=-9,此时原方程为/+3x-10=0,

解得：M=2,歪=-5,符合题意，

：.m=-9.

综上所述：)的值为1或-9.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键.

31.已知实数a是一元二次方程/-x-1=0的一个根，求代数式#+7a-4的值.

【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值.

【解答】解：是一元二次方程*一x-1=o的一个根，

a2-a-1=0

：.cP=a+l,

济=(a+1)2=#+2a+l=a+l+2a+l=3a+2

#=(3a+2)2=9#+12a+4=9(a+l)+12a+4=21a+13

又r/-a-1=0

a

即a4=7-a4

.，+7a.4

=21a+13+7(7-拯)

=21a+13+7(7-3a-2)

=21a+13+49-21a-14

=49+13-14

=48.

【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的等式，

利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值.

32.关于x的一元二次方程x(x-2)=x-2①与一元一次方程2x+l=2a-x@.

(1)若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；

(2)若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a

的取值范围.

【分析】(1)通过解方程①、②分别得到x的值；然后列出关于a的方程，解该方程即

可；

(2)根据题意列出关于a的不等式，解不等式即可.

【解答】解：解方程①,得用=1,加=2,

解方程②，得*=红土.

3

当生L=1时，a=2;

3

当红lL=2时，a=工.

32

综上所述，a的值是2或工；

2

(2)由题可知，l<2azL<2,解得2<a<l.

32

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义.能使一元二次方程左右两边相等的未知

数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，

所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

33.在一元二次方程炉-2ax+b=0中，若"-0,则称a是该方程的中点值.

(1)方程〃-8x+3=0的中点值是4.

(2)已知*-mx+n=O的中点值是3.其中一个根是2,求的值.

【分析】(1)根据方程的中点值的定义计算；

(2)利用方程的中点值的定义得到m=6,再把把x=2代入〃-m；什"=0计算出n

的值，然后计算mn.

【解答】解：(1)；(-三)2-3=13,

2

方程4-8x+3=0的中点值为4;

故答案为4;

(2)•.0=3,

2

../77=6,

把X=2代入4-/77X+/7=0得4-6x2+〃=0,解得77=8,

/./77/7=6X8=48.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

34.已知A774-1=5加-Sm

（1）试问：加的值能否等于2?请说明理由;

（2）求苏+毛的值.

ID

【分析】（1）根据平方差公式、提公因式法把原式变形，把加=2代入，判断即可；

（2）把原式利用提公因式法因式分解，分情况讨论，计算即可.

【解答】解：（1）加的值不能等于2,

理由如下：原等式变形得，（加+1）（〃-1）=5m（加-1）,

若加=2,即土胸，等式左边=3,等式右边=±5&,

.・左边。右边，

的值不能等于2;

（2）由（加+1）（加-1）=56（加-1）,得（苏-1）（苏-5/77+1）=0

当苏-1=0,即方=1时，加+工=2,

m

当/T?2-5/77+1=0,即时，m+—=5,

m

.-./772+_1_=（/77+.L）2-2=23.

m2m

【点评】本题考查的是一元二次方程的解法、因式分解的应用，掌握公式法、提公因式

法因式分解的一般步骤是解题的关键.

35.当/77为何值时，关于x的方程（m-2）0.2-4mx=0为一元二次方程，并求这个

一元二次方程的解.

【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的一元二次方程和关于m的不等式，

解之即可得到。的值，代入原方程解一元二次方程即可.

【解答】解：根据题意得：

/m2-2=2,

尸-2卢0

解得:m=-2,

即原方程为：-4M+8x=0,

解得:xi=Q,X2=2.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

36.请阅读下列材料：

问题：已知方程炉+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=Z.

把x=工代入已知方程，得(工)2+工-1=o.

222

化简，得尸+2尸4=0,

故所求方程为y+2尸4=0.

这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.

请用阅读材料提供的“换根法"求新方程(要求：把所求方程化为一般形式).

(1)已知方程8+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反

数,则所求方程为：公-七2=0;

(2)已知方程2M-7x+3=0,求一一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒

数.

【分析】(1)利用题中解法，设所求方程的根为匕则片-x,所以x=-匕然后把x

=-y代入已知方程得(-y)2+(-y)-2=0；

(2)设所求方程的根为y,则p=L,所以x=1.然后把x=工代入已知方程得2(1)

xyyy

2-7-1+3=0.再化成整式方程即可.

y

【解答】解：(1)设所求方程的根为匕则片-x,所以x=-y

把乂=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0.

化简得〃-尸2=0,

故所求方程为尸2=0,

（2）设所求方程的根为y,则y=工，所以x=L.

xy

把x=1代入已知方程，得2（工）2-7・工+3=0.

yy