专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系【十大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线与圆的位置关系的判断】 5【题型2弦长问题】 6【题型3切线问题、切线长问题】 7【题型4圆上的点到直线距离个数问题】 7【题型5面积问题】 8【题型6直线与圆位置关系中的最值问题】 8【题型7直线与圆中的定点定值问题】 9【题型8圆与圆的位置关系】 10【题型9两圆的公共弦问题】 10【题型10两圆的公切线问题】 111、直线与圆、圆与圆的位置关系考点要求真题统计考情分析(1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题2022年新高考全国I卷：第14题，5分2023年新高考I卷：第6题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第15题，5分2023年全国乙卷（理数）：第12题，5分2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等，多以选择题或填空题的形式考查，难度不大；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解.【知识点1直线与圆的位置关系】1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系d<rd=rd>r方程组

解的情况有两组不

同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.2．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【知识点2圆与圆的位置关系】1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：位置关系关系式图示公切线条数外离d>r1+r2四条外切d=r1+r2三条相交|r1-r2|<d<r1+r2两条内切d=|r1-r2|一条内含0≤d<|r1-r2|无②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.2．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.3．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.【知识点3与圆有关的最值问题的解题策略】1．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【方法技巧与总结】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.【题型1直线与圆的位置关系的判断】【例1】（2024·山东淄博·二模）若圆C:x2+2x+y2−3=0，则直线l:mx+y=0与圆C的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）“k=125”是“直线kx−y+1+k=0与圆(x−2)2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线l:x+1+ay=2−a，圆C:xA．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【变式1-3】（2024·北京大兴·三模）已知直线l:y=kx+1与圆C:x+12+y2=r2r>0，则“∀k∈RA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型2弦长问题】【例2】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2−2x−2y−2=0.则直线A．2 B．23 C．27 【变式2-1】（2024·贵州六盘水·三模）已知直线ax−y+2=0与圆x−12+y2=4相交于A，BA．43 B．1 C．−3【变式2-2】（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l:ax+by=1上有且仅有一点P，使OP=1，则直线l被圆C:x2A．1 B．3 C．2 D．2【变式2-3】（2024·湖南娄底·一模）已知圆C:(x−1)2+(y+2)2=16，过点D0,1的动直线l与圆C相交于M,NA．4x+3y−3=0 B．3x−4y+4=0C．x=0或4x+3y−3=0 D．4x+3y−3=0或3x−4y+4=0.【题型3切线问题、切线长问题】【例3】（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆C:x2+y2−4x−4y+4=0的两条切线OA，OB，切点分别为A，A．2 B．2 C．22 【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知点P在圆C:x−a2+y2=a2a>0．上，点A0,2，若PAA．x=0或7x+24y−48=0 B．x=0或7x−24y−48=0C．x=1或24x−7y−48=0 D．x=1或24x+7y−48=0【变式3-2】（2024·北京西城·模拟预测）已知圆O:x2+y2=1，过直线3x+4y−10=0上的动点P作圆O的一条切线，切点为A．1 B．2 C．3 D．2【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）过直线y=x上一点M作圆C：x−22+y2=1的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点1,3A．5x−y−2=0 B．x−5y+14=0C．5x+y−8=0 D．x+5y−16=0【题型4圆上的点到直线距离个数问题】【例4】（2024·重庆·模拟预测）设圆C:x−22+y−12=36和不过第三象限的直线l:4x+3y−a=0，若圆C上恰有三点到直线l的距离为A．2 B．4 C．26 D．41【变式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圆C：x2+y2=1，直线l：x−y+c=0，则“c=22”是“圆CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx+2，圆x2+y2A．1或2 B．－1或−2 C．2或－1 【变式4-3】（2024·山西·二模）已知O是坐标原点，若圆C:x2+y2+2x−4y+a=0上有且仅有2个点到直线A．(−4−45,45C．(−2−25,25【题型5面积问题】【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知A，B是直线l：x+3y−2=0上的两点，且AB=1，P为圆D：x2+A．32+2C．32−2【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知A(−3,0)，B(0,3)，设C是圆M:x2+y2A．12 B．62 C．6 D．【变式5-2】（2024·山西吕梁·一模）已知圆Q:(x−4)2+(y−2)2=4，点P为直线x+y+2=0上的动点，以PQ为直径的圆与圆Q相交于A．27 B．47 C．2【变式5-3】（23-24高三上·广东深圳·期末）P是直线3x−4y+5=0上的一动点，过P作圆C:x2+y2−4x+2y+4=0的两条切线，切点分别为A．2 B．22 C．42 【题型6直线与圆位置关系中的最值问题】【例6】（2024·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为QA．2 B．2 C．6 D．2【变式6-1】（2024·陕西汉中·二模）已知⊙M:x2+y2−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0,P为l上的一动点，A，B为A．−255 B．−45 【变式6-2】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，记d为点Pcosθ，sinθ到直线kx−y−3k+4=0的距离，则当θ，A．2 B．3 C．4 D．6【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【题型7\t"/gzsx/zj165988/_blank"\o"直线与圆中的定点定值问题"直线与圆中的定点定值问题】【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆A：(x+2)2+y2=25，A为圆心，动直线l过点P(2,0)，且与圆A交于B，C两点，记弦BC(1)求曲线E的方程；(2)过A作两条斜率分别为k1，k2的直线，交曲线E于M，N两点，且k1【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心C在直线y=−2x上，并且经过点A2,−1，与直线x+y−1=0(1)求圆C的标准方程；(2)对于圆C上的任意一点P，是否存在定点B（不同于原点O）使得PBPO恒为常数？若存在，求出点B【变式7-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆G经过点2,23,−4,0(1)求圆G的标准方程；(2)若圆G与x轴分别交于M,N两点，A为直线l:x=16上的动点，直线AM,AN与曲线圆G的另一个交点分别为E,F，求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标．【变式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆C过点A2,6，圆心在直线y=x+1上，截y轴弦长为2(1)求圆C的方程；(2)若圆C半径小于10，点D在该圆上运动，点B3,2，记M为过B、D两点的弦的中点，求M(3)在（2）的条件下，若直线BD与直线l:y=x−2交于点N，证明：BM⋅【题型8圆与圆的位置关系】【例8】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆E:(x−2)2+(y−4)2A．内含 B．相切 C．相交 D．外离【变式8-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆C1:(x−2)2+A．相交 B．外切 C．内切 D．相离【变式8-2】（2024·广东广州·二模）若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相切，则圆A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点【变式8-3】（2024·山东·模拟预测）已知圆M:x2+y2+2ay=0a>0的圆心到直线3x+2y=2的距离是13A．相离 B．相交 C．内切 D．内含【题型9\t"/gzsx/zj165988/_blank"\o"直线与圆中的定点定值问题"两圆的公共弦问题】【例9】（2024·黑龙江·模拟预测）圆C1:x2+A．27 B．7 C．6 D．【变式9-1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆C1:x2+A．555 B．2555 C．3【变式9-2】（2024·河北石家庄·二模）已知圆O1:x2+y2=5与圆O2A．52 B．5 C．15 D．【变式9-3】（2024·河南·二模）若圆C1:x2+y2=1与圆A．2ax+by−1=0 B．2ax+by−3=0C．2ax+2by−1=0 D．2ax+2by−3=0【题型10\t"/gzsx/zj165988/_blank"\o"直线与圆中的定点定值问题"两圆的公切线问题】【例10】（2024·河北石家庄·三模）已知圆C1:x2+A．1 B．2 C．3 D．4【变式10-1】（23-24高三下·山东·开学考试）圆C1:x2+A．y=−x+1 B．y=−x+1或y=x+5C．y=−x+5 D．y=x+1或y=2x+5【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆C1:(x+1)2+A．1 B．2 C．3 D．4【变式10-3】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆C1:x2+y2+4x+3=0，圆A．3x+3y=0 B．C．x+35y+8=0 一、单选题1．（2024·北京海淀·三模）已知直线l:kx−y+1−k=0和圆⊙O:x2+y2=r2(r>0)，则“r=A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆x2+y2+4mx−2my+m=0m∈R与A．1 B．0或14 C．0或1 D．3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C1:x2+A．x+y+2=0 B．x+y−2=0 C．x+y+1=0 D．x+y−1=04．（2024·青海西宁·二模）已知圆C:x−32+y−42=9，直线l:m+3A．27 B．10 C．22 5．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆C₁:x+12+y+12A．4 B．3 C．2 D．16．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线l:x−y+1=0上一点，过点P作圆C:x−12+y2=1的一条切线，切点为A．1 B．2 C．3 D．27．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线l1:mx−2y−m+6=0与直线l2:2x+my−m−6=0(m∈R)的交点，点Q为圆C:(x+3)A．[22,82] B．(22,88．（2024·广西南宁·三模）已知圆C:x−42+y2=4，点M在线段y=x（0≤x≤3）上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，以AB为直径作圆A．π B．2π C．5π2二、多选题9．（2024·广西·模拟预测）已知直线l:y=kx−3+3与曲线C:x2+A．0 B．1 C．2 D．310．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l:kx−y−2k+3=0，圆C:x2−2x+A．圆心C的坐标为(1,4)B．直线l与圆C始终有两个交点C．当k=2时，直线l与圆C相