寒假作业13全等三角形的基本模型（14道经典题型4道中考真题）-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业13全等三角形的基本模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本课时就全等三角形中的六类基本模型（倍长中线模型、截长补短模型、一线三等角（K字）模型、手拉手（旋转）模型、半角模型、对角互补模型）进行专项训练，方便同学们熟练掌握.1．如图，在中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3.故选A．2．如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到的位置，连接，则的度数为（

）A．15° B．20° C．30° D．45°【答案】C【解析】如图所示，连接，由题意得：，，∴为等边三角形，∴，.在与中，，∴≌（SSS），∴，故选C．3．如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【解析】如图，将关于AE对称得到，则，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即与的面积之和为21，故选B．4．如图，中，点为的中点，，，，则的面积是______．【答案】30【解析】如图，延长至，使，连接CE，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，．故答案为：305．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）【答案】180°2x【解析】在CD上截取CE=CB，如图所示，在△ABC和△AEC中，，∴△ABC≌△AEC(SAS)，∴AE=AB，∠B=∠AEC，∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，∴∠DAB+∠BCD=360°∠ABC∠CDA=360°180°=180°，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=x+x=2x，∴∠DAB=180°∠BCD=180°2x，故答案为：180°2x.6．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D，E．若，求DE的长．【解析】在中，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．7．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS），故BE=CF.（2）如图，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°60°90°90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=BD=BC=2，为定值.8．如图，点为等边外一点，，，点，分别在和上，且，，，则的边长为______．【答案】【解析】∵为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵∠BDC=120°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=×（180°120°）=30°，∴∠DBM=∠DCN=90°，如图，延长AC至H，使CH=BM，连接DH，∴∠DCH=90°，∴∠DBM=∠DCH，在△DBM和△DCH中，，∴△DBM≌△DCH（SAS），∴DM=DH，∠BDM=∠CDH，∵∠BDM+∠CDN=60°，∴∠CDN+∠CDH=60°，∴∠MDN=∠HDN，在△MDN和△HDN中，，∴△MDN≌△HDN（SAS），∴MN=HN=BM+CN，，，，即的边长为故答案为：.9．如图，在中，，平分．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；（3）如图3，若，求证：．【解析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，在中，，∴∠ABC＝45°，∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD，∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，在和中，，∴（HL），∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD.（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连接DK，如图2，∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK，∴BK＝BD，∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD，在△CAD和△KAD中，，∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α，∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°.（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，则△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK∠CBA=40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．10．已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：．②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．【解析】（1）①EF，BE，AF间的等量关系为：EF=BEAF.证明：当∠α=90°时，∠BEC=∠CFA=90°，∵∠BCA=90°，∴∠BCE＋∠ACF=90°，∵∠BCE＋∠CBE=90°，∴∠ACF=∠CBE，∵AC=BC，∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF,CE=AF，∵CF=CE＋EF，∴EF=CFCE=BEAF.②∠α与∠BCA的关系为∠α+∠BCA=180°.当∠α+∠BCA=180°时，①中结论仍然成立.理由是：如题图2，∵∠BEC=∠CFA=∠α，，∠α+∠ACB=180°，，又∵，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF(AAS)，∴BE=CF,CE=AF，∴EF=CFCE=BE–AF.故答案为∠α+∠BCA=180°.（2）EF，BE，AF间的等量关系为EF=BE+AF，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE＋∠BEC=180°，∠BCE＋∠ACF+∠ACB=180°，∴∠EBC＋∠BCE=∠BCE＋∠ACF，∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA(AAS)，∴AF=CE，BE=CF，∵EF=CE+CF,∴EF=BE＋AF．11．综合与实践：（1）如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN＝45°，则线段MN，AM，CN的等量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN，AM，CN有怎样的等量关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，则线段MN，AM，CN的等量关系为．【解析】（1）如图1，把△ABM绕点B顺时针旋转，使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，图1图2图3在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN.（2）MN=AM+CN.理由如下：如图2，把△ABM绕点B顺时针旋转，使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'，C，N三点共线，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN.（3）MN=CNAM，理由如下：如图3，在NC上截取CM'=AM，连接BM'，∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MBM'=∠ABC，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MBM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M'N=CNCM'，

∴MN=CNAM．故答案是：MN=CNAM．12．【教材呈现】下面是某版本教材的内容：如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：.证明：∵，（已知）∴，，（两直线平行，内错角相等）在与中，∵，（已证），，（已知）∴，∴．（全等三角形的对应边相等）（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的等量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．【解析】（1）如图①，延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，ABBE＜AE＜AB+BE，∴64＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5.（2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD.（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=ABCF=3．13．阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：．证明：由题意，，,∴．在和中，，∴．像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：(1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索，，之间的等量关系，并证明你的结论．(2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：．(3)如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是_____．（不必书写解题过程）【解析】（1），理由如下：∵，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴.（2）过D作交的延长线于点F，如图，

∵，∴，，∴，而，∴，∴，，∴，∴，∵，∴.（3）过A作，过B作，如图，可证得，∴，，由题意知，，∴，∵，即，∴，∴，∴（米）．故答案是17米.14．综合运用：阅读下面材料，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．求证：.小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以证得，并得到等腰三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，并可以证得，进而解决问题．(1)根据阅读材料，任选一种方法（图2或图3）证明：；(2)如图4，在中，E是上一点，，，于E，探究之间的等量关系，并证明．【解析】（1）用方法一证明，如图2，∵平分，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴.用方法二证明，如图3，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴.（2）之间的等量关系是，理由如下：如图，在上截取，使，连接，∵，∴是等腰三角形，，，∵，∴，∴，∵，∴．15．（2023·四川遂宁·中考真题改编）如图，以的边，为腰分别向外作等腰直角、，连接，，，过点A的直线分别交线段,于点,，以下说法：①当时，；②；③当直线时，点为线段的中点．正确的有．(填序号)【答案】①②③【解析】①当时，是等边三角形，∴，∴，∵等腰直角、，∴，∴，∴.故①正确.②∵等腰直角、，∴，