沪科版八年级数学上册第14章全等三角形14-2三角形全等的判定第5课时两个直角三角形全等的判定“斜边直角边”课件

第14章全等三角形14.2三角形全等的判定第5课时两个直角三角形全等的判定——“斜边、直角边”知识点6判定两个直角三角形全等的定理——“斜边、直角边(HL)”基础过关全练1.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△

CDB全等,则需要添加的条件是

()A.∠A=∠C

B.∠ADB=∠CBDC.AB=CD

D.AD=CBD解析∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△

ABD和Rt△CDB中,

∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).2.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CE于点E,BD⊥CD于点D,

AE=5cm,CE=BD=2cm,则DE的长是()A.8cm

B.5cm

C.3cm

D.2cmC解析∵AE⊥CE,BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°,在Rt△

AEC和Rt△CDB中,

∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL),∴CD=AE=5cm,∴DE=CD-CE=5-2=3(cm).3.(易错题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm,

PQ=AB,P、Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,若

以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形

全等,则AP的长为()A.6cmB.12cmC.6cm或12cmD.以上答案都不对C解析①当AP=CB=6cm时,∵∠C=∠QAP=90°,∴在Rt△

APQ与Rt△CBA中,

∴Rt△APQ≌Rt△CBA(HL);当AP=CA=12cm时,∵∠C=∠QAP=90°,∴在Rt△QAP与Rt△

BCA中,

∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL).综上所述,AP的长为6cm或12cm.易错警示

本题往往因考虑不全而导致漏解.本题要分情况讨论:①

Rt△APQ≌Rt△CBA,此时AP=BC=6cm.②Rt△QAP≌Rt△

BCA,此时AP=AC=12cm.4.如图,AB=AC,AD=CE,∠D=∠E=90°,若BD=4cm,CE=3cm,

则DE=

cm.7解析∵∠D=∠E=90°,AB=CA,AD=CE,∴Rt△ABD≌Rt△

CAE(HL),∴BD=AE,∴DE=AD+AE=CE+BD=3+4=7(cm).5.(2022安徽铜陵四中期中)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的

延长线与AE交于点F.(1)若CD=4,求CE的长;(2)求证:BF⊥AE.解析(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.在Rt△BDC

与Rt△AEC中,

∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL),∴CE=CD=4.(2)证明:由(1)知Rt△BDC≌Rt△AEC,∴∠CBD=∠CAE.∵∠

CAE+∠E=90°,∴∠EBF+∠E=90°.∴∠BFE=90°,即BF⊥AE.能力提升全练6.(2023安徽六安金寨月考,6,★★☆)如图,AF=BE,∠A=∠B=

90°,要根据“HL”证明Rt△ACE≌Rt△BDF,还需要添加一

个条件是

()A.AF=BE

B.AE=BFC.∠C=∠D

D.CE=DFD解析∵AF=BE,∴AF+EF=BE+EF,即AE=BF.在Rt△ACE和

Rt△BDF中,

∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL).7.(2024安徽安庆望江月考,8,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥

BC,CE⊥AB,垂足分别为点D、E,AD、CE交于点H,且AH=

BC,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是

()

A.1

B.2

C.3

D.4A解析∵CE⊥AB,∴∠AEH=∠CEB=90°.在Rt△AEH和Rt△

CEB中,∵

∴Rt△AEH≌Rt△CEB(HL),∴AE=CE.∵EH=EB=3,AE=4,∴CH=CE-EH=AE-EH=4-3=1.8.(2024安徽合肥庐江期中,8,★★☆)如图,在△ABC中,PB=

PQ,PR=PS,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,则三个结论:①AS=

AR;②QP∥AR;③AB+AQ=2AR中

()A.全部正确B.仅①和③正确C.仅①正确D.仅①和②正确B解析在Rt△APR和Rt△APS中,

∴Rt△APR≌Rt△APS(HL),∴AR=AS,①正确;在Rt△BRP与Rt△QSP中,

∴Rt△BRP≌Rt△QSP(HL),∴BR=QS,∴AB+AQ=AR+BR+AQ=AR+QS+AQ=AR+AS=2AR,故③正确;根据已知

条件无法证明PQ∥AB,故②错误.9.(2023安徽芜湖镜湖期中,12,★★☆)如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,P为BD上的点,PD=AD且AB=CP.若∠PCD=25°,则∠CBA=

.70°解析∵BD⊥AC,∴∠CDP=∠BDA=90°.在Rt△ABD和Rt△

PCD中,

∴Rt△ABD≌Rt△PCD(HL),∴CD=BD,∠ABD=∠PCD=25°.∵CD=BD,∠BDC=90°,∴∠CBD=45°,∴

∠ABC=∠CBD+∠ABD=70°.10.(2024安徽芜湖三山月考,18,★★☆)如图,AB=BC,∠BAD=

∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,

AE=CF,求证:DE=DF.∵∠BAD=∠BCD=90°,∴在Rt△ABD和Rt△CBD中,

∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),∴AD=CD.∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠E=∠F=90°.在

Rt△ADE和Rt△CDF中,

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF.证明如图,连接BD,素养探究全练11.(推理能力)(倍长中线法)已知AD=AC,AB=AE,AD交BC于点F.(1)如图1,若∠BAD=∠CAE,设DE交BC于点N,交AC于点M,求

证:∠AMD=∠AFC;(2)如图2,若∠BAC+∠DAE=180°,且点F为BC的中点时,线段DE与线段AF之间存在某种数量关系,写出你的结论,并加以证明.图1图2解析(1)证明:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE

+∠DAC,∴∠BAC=∠EAD.在△BAC和△EAD中,

∴△BAC≌△EAD(SAS),∴∠B=∠E.∵∠AMD=∠E+∠CAE,∠AFC=∠B+∠BAD,∴∠AMD=∠AFC.(2)DE=2AF.证明:如图,延长AD至点G,使AF=GF,连接CG,

∵点F为BC的中点,∴BF=CF.在△AFB和△GFC中,

∴△AFB≌△GFC(SAS),∴AB=GC,∠BAF=∠CGF,∴AB∥CG,∴∠BAC+∠ACG=180°.∵∠BAC+∠

DA