湖南省2024年中考数学试卷（含答案）

湖南省2024年中考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（）A．+180元 B．+300元 C．−180元 D．−480元2．据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（）A．0.4015×107 B．4.015×13．如图，该纸杯的主视图是（）A． B．C． D．4．下列计算正确的是（）A．3a2−2C．a2⋅a5．计算2×A．27 B．72 C．14 6．下列命题中，正确的是（）A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形7．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A=45°，则∠BOC的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．135°8．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（）A．130 B．158 C．160 D．1929．如图，在ΔABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（）A．DE//BC C．BC=2DE D．S10．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当yx（其中A．a<−3B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11．计算：−(−202412．有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是．13．分式方程2x+1=1的解为14．若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为°．15．若关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为16．在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f=kl(k为常数，k≠0)．若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f17．如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=2，AD=4MD，则AM=18．如图，图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC=4分米，OB=12分米，∠BOE=60°，则点C到水平线l的距离CF为分米（结果用含根号的式子表示）．三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．计算：|−320．先化简，再求值：x2−4x21．某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为人：（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是°；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．22．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，点E在边AB上，请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；（2）若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长．23．某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F处用测角仪测得∠CFG=60.3°，∠BFG=45°，④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）:（1）求线段CE和BC的长度；（2）求底座的底面ABCD的面积．25．已知二次函数y=−x2+c的图象经过点A(−2,5)，点（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2=x（3）如图2，点P在第二象限，x2=−2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1−1，过点M作26．【问题背景】已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C（1）【初步感知】如图1，当α=60°时，∠CAE=▲°；（2）【问题探究】以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F．①如图2，当AC=2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC=CD+ED总成立：②如图3，当AC=43r，CEOE=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：若收入为“+”，则支出为“−”，所以支出180元记作−180元．故答案为：C.【分析】由正负数表示相反意义的量，根据题意，正数表示收入，那么负数表示支出，即可作答.2．【答案】B【解析】【解答】解：4015000用科学记数法表示为4.故答案为：B.

【分析】用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，3．【答案】A【解析】【解答】解：该纸杯的主视图是选项A，故答案为：A.【分析】主视图是从几何体的正面观察，即可得出答案．4．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵3a2−2B、∵a3÷aC、∵a2⋅aD、∵(2a)3=8a故答案为：B.

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.5．【答案】D【解析】【解答】解：2×故答案为：D.

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案即可．6．【答案】A【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，该选项是真命题，符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，该选项是假命题，不符合题意；C、正五边形的外角和为360°，该选项是假命题，不符合题意；D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，该选项是假命题，不符合题意；故答案为：A.

【分析】根据多边形外角和，菱形的性质，轴对称图形的特点及两点之间线段最短，逐一判断即可作答.7．【答案】C【解析】【解答】解：∠BOC=2∠A=2×45°=90°．故答案为：C.

【分析】根据圆周角定理可知∠A=18．【答案】B【解析】【解答】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故答案为：B.

【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，即可解答.9．【答案】D【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点，∴DE∥BC，BC=2DE，故A、C正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确；∵△ADE∽△ABC，∴S△ADE∴S△ADE=1故答案为：D.

【分析】根据三角形中位线的性质可判断A、C正确，相似三角形的判定和性质可判断B、D，即可得出结果.10．【答案】C【解析】【解答】解：∵点P(2a−4,∴2a−4<0a+3>0∴−3<a<2，故选项A错误；∵点P(2a−4,a+3)为“整点”，∴整数a为−2，−1，0，1，∴“整点”点P的个数为4个，故选项B错误；∴“整点”P为(−8,1)，(−6,2)，∵1−8=−18，2∴“超整点”P为(−2,∵点P(2a−4,∴点P坐标为(−2,∴点P到两坐标轴的距离之和2+4=6，故选项D错误，故答案为：C.

【分析】根据象限点的特征，先判断出a的取值范围，再根据题中新定义，找到符合条件的“整点”“超整点”，再由点到坐标轴的距离即可对四个选项逐一判断.11．【答案】2024【解析】【解答】解：−(−2024)=2024故答案为：2024.

【分析】根据相反数的定义，化简多重符号即可.12．【答案】1【解析】【解答】解：∵共有4枚棋子“”“”“”“”，∴从中随机翻开一张，恰好翻到棋子“”的概率是14．故答案为：14【分析】根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”，即可作答．13．【答案】x=1【解析】【解答】解：最简公分母为：x+1

方程的两边同乘（x+1），得2=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【分析】根据解分式方程的一般步骤，先找到分式方程的最简公分母，再去分母将分式方程化为整式方程求解，注意解后必须要检验.14．【答案】100【解析】【解答】解：等腰三角形两个底角相等，都为40°所以其顶角=180°−40°×2=100°.

故答案为：100.

【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）及三角形内角和定理即可解答.15．【答案】2【解析】【解答】解：∵a=1，b=-4，c=2k

∴Δ=b解得：k=2故答案为：2.

【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式Δ=b2−4ac=016．【答案】180【解析】【解答】解：将l=0.9，f=200代入f=k解得k=180，故答案为：180．

【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式，即可求解.17．【答案】6【解析】【解答】解：由题意，BP是∠ABC的平分线

∵AD是边BC上的高，MN⊥AB，

∴MD=MN=2，

∴AD=4MD=4×2=8

∴AM=AD−MD=6，故答案为：6．【分析】根据尺规作图的步骤，判断出BP是∠ABC的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.18．【答案】(【解析】【解答】解：∵∠BOE=60°，OE⊥l

∴∠BOH=90°−60°=30°

如图，延长DC交l于点H，连接OC

在Rt△OBH中，OB=12dm，∠BHO=90°-∠BOH=60°∴BH=OB×tan30°=12×∴CH=BH-BC=43-4

在Rt△CFH中故答案为：(6−23

【分析】根据已知条件，延长DC交l于点H，连接OC，构造出Rt△OBH和Rt△CFH，再利用特殊角三角函数值和解直角三角形的相关知识求解即可.19．【答案】解：原式=3+1+1【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．20．【答案】解：原式===x+1当x=3时，原式=3+1【解析】【分析】根据分式混合运算的法则，将原式先化简再代入求值即可.21．【答案】（1）100（2）“3项”的人数为：100−3−30−42−10=15（人)，补全条形统计图如下：（3）36（4）1200×15+10100=300答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数大约为300人．【解析】【解答】（1）解：根据题意得：30÷30%故答案为：100；（3）360°×10故答案为：36；

【分析】（1）用参与1项家务劳动的人数除以其所占的比例即可得出结果；（2）先根据（1）求出的总人数即可算出3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；（4）总人数1200乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例，用样本数据估计总体．22．【答案】（1）选择①或②，证明如下：选择①，∵∠B=∠AED，∴BC//∵AB//∴四边形BCDE为平行四边形；选择②，∵AE=BE，AE=CD，∴BE=CD，∵AB//∴四边形BCDE为平行四边形；故答案为：①或②；（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC=10，∵AD⊥AB，∴∠A=90°，∴AE=D即线段AE的长为6．【解析】【分析】（1）若选择①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；若选择②，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质得出DE=BC=10，再由勾股定理即可求解．23．【答案】（1）解：设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，由题意得：x+2y=1102x+3y=190解得：x=50y=30答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元；（2）解：设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗(1000−m由题意得：50m+30(解得：m⩽400，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．【解析】【分析】（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列二元一次方程组求解即可；

（2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗(1000−m24．【答案】（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG=60.∴tan∴CE=7（米)；∵∠BFG=45°，∴BE=EF=4米，∴CB=CE−BE=3（米)；（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示：∵∠AFG=21.∴tan∵AM=BE=4米，∴MF=10米，∴AB=ME=10−4=6米，∴底座的底面ABCD的面积为：3×6=18（平方米）．【解析】【分析】（1）在Rt△CFE中，tan∠CFE=tan60.3°=CEEF≈1.75，即可解出CE的长度，再由∠BFG=45°判断出三角形BEF是等腰直角三角形，即可算出BC的长.

（2）过点A作AM⊥GH25．【答案】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5=−4+c，则c=9，即抛物线的表达式为：y=−x（2）证明：为定值，理由：令y=−x2+9，则x=±3由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=−x+3，设点P、Q、D的表达式分别为：(x1，−x12+9)、(则SΔPDQ同理可得：SΔADC则SΔPDQ（3）解：点P、Q的表达式分别为：(x1，−x12由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y=x则MN=y故MN的最大值为：374【解析】【分析】（1）将A点代入二次函数解析式用待定系数法求解即可；（2）先根据A、B两点坐标，求出直线AB的解析式，表示出P(x1,−x12+9)，Q(x1+3（3）根据题意，若x2=−2x1，则Q(−2x1,26．【答案】（1）30（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，AC=2r，∴OA=OE=CF=DF=r，∵∠OAC=∠AD