2024-2025学年江西省高二数学上学期10月考试卷附答案解析

-2025学年江西省高二数学上学期10月考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列直线中，倾斜角最小的是（）A. B.C. D.2.已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（）A. B.C. D.3.若方程表示椭圆，则m的取值范围为（）A. B.C. D.4.若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（）A.5 B.1 C. D.5.已知，，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（）A. B.C. D.6.点关于直线对称的点的坐标为（）A.B.C. D.7.已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（）A. B.C. D.8.已知P是圆C：上一动点，若直线l：上存在两点A，B，使得能成立，则线段的长度的最小值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知，，，且四边形是平行四边形，则（）A.直线的方程为B.是直线的一个方向向量C.D.四边形面积为310.若直线与曲线恰有一个交点，则k值可能为（）A.0 B. C.2 D.11.已知，，P是圆O：上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.过点B且被圆O截得最短弦长的直线方程为B.直线与圆O总有两个交点C.过点A作两条互相垂直的直线，交圆O于点E，G和F，H，则四边形的面积的最小值为97D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为___________.13.已知，直线l：，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为______.14.在某城市中，F地位于E地正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是___________万元.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线l：.（1）若l在两坐标轴上截距相反，求a的值；（2）若直线m：，且，求l与m间的距离.16.已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.（1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；（2）若，的面积为4，求b的值.17.已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为.（1）求圆M的标准方程；（2）若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程.18.已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点.（1）若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程；（2）若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围，19.定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”（1）求点P所在曲线的方程.（2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.（ⅰ）求直线方程.（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列直线中，倾斜角最小的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系求解.【详解】由倾斜角的范围，可知斜率为正时倾斜角小于斜率为负时的倾斜角，故排除AC，B中直线斜率为，D中直线斜率为，由正切函数的单调性及知，的倾斜角最小.故选：D2.已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求的值,然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程.【详解】因为圆经过点，将点代入圆的方程可得：.即，所以，则圆的方程为.对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.：根据斜率公式，这里，，则.因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.已知，所以切线的斜率.又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），可得切线方程为.整理得.故选：A.3.若方程表示椭圆，则m的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆标准方程的形式求解即可.【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得，选D.4.若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（）A.5 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解.【详解】因为点在圆C：的外部，所以，解得，又方程表示圆，则，即，所以，结合选项可知，m取值可以为.故选：C5.已知，，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直线，的斜率后，结合图象得到斜率的取值范围.【详解】，，由图象可知：直线l的斜率的取值范围为.故选：B.6.点关于直线对称的点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两对称点的中点在直线上，对称点连线与直线垂直列出方程组得解.【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，故选：A7.已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.【详解】圆：和：的圆心、半径分别为，由可知圆内含于圆内，设动圆半径为,由题意，，,两式相加可得,故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，所以，所以椭圆方程为.故选：C8.已知P是圆C：上一动点，若直线l：上存在两点A，B，使得能成立，则线段的长度的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可.【详解】由圆得圆心,半径.因为直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆与圆有交点，当长度最小时，两圆外切，且两圆圆心所在直线与垂直，如图，因为圆心到直线距离，所以故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知，，，且四边形是平行四边形，则（）A.直线的方程为B.是直线的一个方向向量C.D.四边形的面积为3【答案】ABD【解析】【分析】由四边形是平行四边形，得到，结合向量的坐标公式可得到的坐标，从而计算直线的斜率，写出直线的点斜式方程，从而判断A；由方向向量和斜率的关系可判断B；由两点间的距离公式可判断C；利用点到直线的距离公式得到边上的高，由平行四边形的面积公式可判断D.【详解】设，由四边形是平行四边形，可得，即，解得：，所以，，直线的方程为，即，故A正确；，所以是直线的一个方向向量，故B正确；，故C错误；到直线的距离，所以四边形的面积为，故D正确.故选：ABD.10.若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（）A.0 B. C.2 D.【答案】BD【解析】【分析】根据直线过定点及曲线为半圆，作出图象，求出切线、割线对应斜率，数形结合即可得解.【详解】直线恒过定点，由可得，如图，由解得或（舍去），即,由，可得由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点.故选：BD11.已知，，P是圆O：上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.过点B且被圆O截得最短弦长的直线方程为B.直线与圆O总有两个交点C.过点A作两条互相垂直的直线，交圆O于点E，G和F，H，则四边形的面积的最小值为97D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据圆的几何性质判断A，根据直线系过定点且在圆内判断B，根据圆的几何性质求弦长，再由均值不等式及四边形面积判断C，根据正弦定理转化为求三角形外接圆半径的最小值，再由圆的性质知内切时外接圆半径最小即可得解.【详解】如图，因为，圆O：，所以在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦长最短，此时最短弦所在的直线方程为，A正确；由直线可得，故直线恒过点，由知点在圆内，所以直线与圆O总有两个交点，B正确；记点O到直线的距离分别为，则，又，，所以，即,则四边形的面积，即四边形的面积的最大值，C错误；当点P在轴上时，，当点P不在轴上时，设外接圆的圆心为，半径为，由正弦定理得，则，当外接圆的半径最小，即外接圆与圆O内切时，最大，由题意在的中垂线上，可设其坐标为，则，因为圆M与圆O内切，所以圆心距等于半径之差，则，化简后可得，即的最小值为，此时最大，最大值为，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于灵活运用圆的相关性质，特别是弦心距、半弦长、半径之间的关系，问题注意转化为外接圆半径最值问题，再由两圆的位置关系即可求出最小值，本题属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为___________.【答案】##【解析】【分析】由通径的求法得出，再由为直角三角形得出，建立方程求出即可得解.【详解】因为当时，代入椭圆方程可得，所以，不妨设在第一象限，则，因为为直角三角形，由椭圆的对称性知，，所以，故，即，可得，解得或（舍去），所以椭圆M的长轴长为.故答案为：13.已知，直线l：，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】由直线系方程求出定点，再由题意得出B点轨迹为圆，利用圆的几何性质可得圆上点到轴距离的最小值.【详解】由可得，由解得，即直线过定点，连接，则中点，因为，所以B在以为圆心，半径为的圆上，如图，圆的方程为，则圆心到轴的距离，所以点B到x轴的距离的最小值为.故答案为：14.在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是___________万元.【答案】15【解析】【分析】由题意求出点的轨迹方程，再根据椭圆的定义化简费用关系式，数形结合可知在处有最小值.【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的直角坐标系.设Р为沿湖小径上的任意一点，则，根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆.所以，则点P的轨迹方程为，由题意，修建两条观景步道的总费用为，由图形可知，当三点共线且在之间时，即运动到处时，总费用最低，最低为.故答案为：15【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立平面直角坐标系，利用椭圆定义得到动点的轨迹方程，再由数形结合，得出三点共线时，动点的位置，属于较难题目.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线l：.（1）若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值；（2）若直线m：，且，求l与m间的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出截距，利用截距和为0得解；（2）根据平行得出直线方程，再由平行线间距离公式求解.【小问1详解】令，则，令，则，所以，解得【小问2详解】因为，所以，解得，则的方程为，即，则l与m间的距离.16.已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.（1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；（2）若，的面积为4，求b的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出；（2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值.【小问1详解】已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得.又因为，，，所以.所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，.由勾股定理可得.又，即.在椭圆中有，将变形为，即，解得.17.已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为.（1）求圆M的标准方程；（2）若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据弦长及圆的几何性质求出圆心半径得解；（2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线距离等于半径得解.【小问1详解】因为圆心在轴的负半轴上，所以设圆：又圆与轴相切，所以，即.圆心到直线的距离为,所以，解得，则.故圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，圆心为，因为，所以点在圆外，过圆外一点作圆的切线，其切线有2条.①当的斜率存在时，设的方程为，即，则圆心M到的距离，解得，此时的方程为.②当的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为2，所以直线与圆M相切.综上，的方程为或.18.已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点.（1）若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程；（2）若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直线，的斜率之积，利用短轴长，求出即可得出椭圆的标准方程；（2）求出，利用可得，分类讨论求，建立不等式求解即可.【小问1详解】易知，设点，则，即，直线的斜率之积，又椭圆C的短轴长为，即，所以，故椭圆C的方程为【小问2详解】圆可化为，则圆心为，半径为，由是圆上一动点，且，可得，如图，设，则，所以，当，即时，，即，符合题意，由，可得，即；当即时，，即，化简得，所以，这与矛盾，不符合题意.综上，椭圆C的离心率的范围为19.定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G