2023-2024学年上海市长宁区复旦附中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

-2024学年上海市长宁区复旦附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）1．（3分）下列代数式，，33，，中，二次根式有A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是A． B． C． D．3．（3分）下列说法正确的是A．的根为 B．是的根 C．方程的根为 D．没有实数根4．（3分）能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是A． B． C． D．5．（3分）下列等式中，一定成立的是A． B． C． D．6．（3分）命题：①邻补角互补；②三角形的一个外角等于它的两个内角和；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④在三角形中，如果一边上的中线等于这一边长的一半，那么这条边所对的角是直角；⑤两点之间线段最短；其中真命题的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共7小题，每题2分，共24分）7．（2分）写出二次根式的一个有理化因式是．8．（2分）化简：．9．（2分）方程的根是．10．（2分）命题：“同角的余角相等”的逆命题是．11．（2分）等式成立的条件是．12．（2分）方程的常数项是1，的值为．13．（2分）已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是．14．（2分）现代互联网技术广泛应用，催生快递行业的高速发展，上海某家小型快递公司，去年十月份与十二月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件．则该公司每月投送的快递件数的增长率为为．15．（2分）在实数范围内因式分解：．16．（2分）最简二次根式与是同类二次根式，则的值为．17．（2分）如图，中，于点，于点，、相交于点，如果，，，那么．18．（2分）已知等腰△，，，如果将△绕着点旋转，使点正好落在直线上的点处，那么度．三、解答题（本大题共9小题，共58.0分）19．（5分）计算：．20．（5分）计算：21．（5分）解方程：．22．（5分）解方程：23．（5分）解方程：．24．（5分）已知关于的一元二次方程为常数）．如果方程根的判别式为1，求的值及该方程的根．25．（8分）如图，要建一个面积为130平方米的长方形仓库，现有32米长的木板，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门．（1）如果墙长16米，求仓库的长和宽（垂直于墙的边为宽）；（2）如果墙长米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，直接写出墙长至少要米？26．（10分）已知一元二次方程、、为常数，的两个实数解为，，则有，．这个结论称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．（1）请你证明这个定理．（2）若关于的一元二次方程的两个实数解为，，直接写出的值（用表示）．（3）一元二次方程的两个实数解为，，求的值．27．（10分）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．求证：（1）；（2）．

参考答案一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）1．（3分）下列代数式，，33，，中，二次根式有A．5个 B．4个 C．3个 D．2个解：形如的式子叫做二次根式．在，，33，，中，33不含根号，被开方数小于0，不符合要求，不是二次根式，其余3个是二次根式，所以，二次根式有3个．故选：．2．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是A． B． C． D．解：因为：、；、；、；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：．3．（3分）下列说法正确的是A．的根为 B．是的根 C．方程的根为 D．没有实数根解：、的根为，故本选项错误；、时，，所以是的根，故本选项错误；、△，方程没有实数根，故本选项错误；、△，当时，方程没有实数根；当时，方程有实数根，故本选项错误；故选：．4．（3分）能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是A． B． C． D．解：，是无理数，不符合题意；，是无理数，不符合题意；，是有理数，符合题意；，是无理数，不符合题意；故选：．5．（3分）下列等式中，一定成立的是A． B． C． D．解：、一定成立，故符合题意；、当时，，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；故选：．6．（3分）命题：①邻补角互补；②三角形的一个外角等于它的两个内角和；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④在三角形中，如果一边上的中线等于这一边长的一半，那么这条边所对的角是直角；⑤两点之间线段最短；其中真命题的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：①邻补角互补，正确，是真命题，符合题意；②三角形的一个外角等于它的不相邻的两个内角和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，不正确，故原命题错误，不符合题意；反例：如图，在△、△中，，，高，但两个三角形不全等，；④在三角形中，如果一边上的中线等于这一边长的一半，那么这条边所对的角是直角，正确，是真命题，符合题意；⑤两点之间线段最短，正确，是真命题，符合题意；真命题有3个，故选：．二、填空题（本大题共7小题，每题2分，共24分）7．（2分）写出二次根式的一个有理化因式是．解：，的一个有理化因式是；故答案为：．8．（2分）化简：．．解：原式，故答案为：．9．（2分）方程的根是或．解：，，或，解得：或，故答案为：或．10．（2分）命题：“同角的余角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角．解：“同角的余角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角”．故答案为：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角．11．（2分）等式成立的条件是．解：由题意可得，解得：，故答案为：．12．（2分）方程的常数项是1，的值为．．解：，，由题意得：且，解得：且，，故答案为：．13．（2分）已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是．解：关于的方程没有实数根，，解得，故答案为：．14．（2分）现代互联网技术广泛应用，催生快递行业的高速发展，上海某家小型快递公司，去年十月份与十二月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件．则该公司每月投送的快递件数的增长率为为．解：由题意得：，解得：，（不合题意，舍去），故答案为：．15．（2分）在实数范围内因式分解：．解：根据，其中、是一元二次方程的两个根，的两个根为，，，故答案为：．16．（2分）最简二次根式与是同类二次根式，则的值为．解：由题意得：，整理得：，解得：或2，当时，不是最简二次根式，不符合题意，故答案为：．17．（2分）如图，中，于点，于点，、相交于点，如果，，，那么4．解：，，，，，，在与中，，，，，，，，故答案为：4．18．（2分）已知等腰△，，，如果将△绕着点旋转，使点正好落在直线上的点处，那么37.5或52.5度．解：，，，当顺时针旋转时，落在的位置，，，，；当逆时针旋转时，落在的位置，，则．故答案为：37.5或52.5．三、解答题（本大题共9小题，共58.0分）19．（5分）计算：．解：原式．20．（5分）计算：解：原式．21．（5分）解方程：．解：方程变形为：，，或，，．22．（5分）解方程：解：，，则，即，，则，．23．（5分）解方程：．解：，，，，，△，，，，即：．24．（5分）已知关于的一元二次方程为常数）．如果方程根的判别式为1，求的值及该方程的根．解：原方程化为，关于的一元二次方程根的判别式为1，，△，解得：（不符合题意，舍去），，原方程化为：，，．25．（8分）如图，要建一个面积为130平方米的长方形仓库，现有32米长的木板，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门．（1）如果墙长16米，求仓库的长和宽（垂直于墙的边为宽）；（2）如果墙长米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，直接写出墙长至少要20米？解：（1）设仓库的长为米，则宽为米，由题意得：，解得：，，，，不符合题意，舍去，，，答：仓库的长为13米，宽为10米；（2）宽为10米米，此时不符合题意．当长为20米时，宽为6.5米米，米，故答案为：20．26．（10分）已知一元二次方程、、为常数，的两个实数解为，，则有，．这个结论称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．（1）请你证明这个定理．（2）若关于的一元二次方程的两个实数解为，，直接写出的值（用表示）．（3）一元二次方程的两个实数解为，，求的值．【解答】