复变函数第二章

提问：

1、复数的三角表示式、指数表示式

2、求模，辐角的主值

3、乘法、除法（）、求方根

4、区域，简单（闭）曲线（Jordan）

5、函数连续的概念、充要条件

1Chap.2.

解析函数2§2.1.复变函数31、复变函数的概念

2、复变函数的极限上页下页铃结束返回首页2、复变函数的连续性1、复变函数的定义4·复变函数:如无特别声明以后讨论的函数均为单值函数。例1例2·集合G

称为f(z)

的定义集合（定义域）

·对应于所有z

的一切w

值所成的集合称为函数值集合（值域）6·复变函数与自变量之间的关系:7复变函数w=f(z)与实二元函数关系8例：

或

利用三角表示式：

令z=rei

,则w=f(z)=u(r,)+iv(r,)2、映射（复变函数的几何意义）9复变函数是两个复平面上的点集间的对应关系，称为z平面和w平面。2、映射（复变函数的几何意义）1011·两个特殊的映射:1213且是全等图形.1415根据复数的乘法公式可知,16·反函数：17根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.18例1·补充例题：19做题方法：已知映射w=f(z)，求把一些特定的点映成什么点？20解21解22解仍是扇形域.23例224例2解25所以象的参数方程为复变函数的极限和连续性1、函数的极限27回忆（实变）函数极限定义:1、函数的极限281-1.定义:30

1-2.极限计算的性质(两个定理！)·定理1证明：根据极限的定义(1)必要性（）【直角边<斜边】复变函数极限与其实部和虚部的极限的关系：二元函数极限：32(2)充分性（）【三角不等式】二元函数极限：3334·定理2

注：与实变函数的极限性质类似，证明类似；

定理成立前提，俩极限存在！35·例：考察36·例：考察根据定理1可知,解：37解法2（三角）：38根据定理1可知,·例(补充)：

解：2、函数的连续性

2-1.定义39（1）

f(z)在z0处有定义

（2）f(z)在z0处有极限

（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值连续的三要素:402-2.性质定理3例：41定理4例：42

在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)，在曲线上是有界的。即：·有界闭集上连续函数的性质（补充）

设D是有界闭集，f(z)

C(D),则有：

（1）

f(z)在D上有界：

M>0，

zD，

有|f(z)|<M（2）

|f(z)|在D上有最值：

z1,z2DzE|f(z)|<|f(z1)|,|f(z)|>|f(z2)|

（3）

f(z)在D上一致连续：

>0,

>0，当z1,z2D且|z1-z2|<时，

有|f(z1)-f(z2)|<43例45例：试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续证明：46例：47例：证明：§2.2.解析函数的概念481、导数与微分

2、解析函数上页下页铃结束返回首页1、导数与微分491-1.导数的定义50注:（1）（*）式表明（连续！），

（2）※51这就是用定义求导方法！判断可导否？求导数？解析否?(下文)52例1

解:53例2

解：54551-2.可导和连续的关系：

证明：可导必连续，连续不一定可导57例解：

(1)f(z)=

z的连续性显然58例解：59601-3.求导法则——实数中求导法则的推广例解复变函数w=f(z)与实二元函数关系w=f(z)的极限、连续w=f(z)的导数：651-4.微分（一元实变）

※注：求dw不要忘了写△z！66特别地,※※※671-1.定义·在z0解析：2、解析函数·f解析：·奇点例如:以z=0为奇点:记作：f(z)

A(D)求函数f(z)=u+iv的奇点——不解析的点方法：(1)不连续点；(2)u，v不可微的点；(3)不可导的点；(4)不满足C-R条件的点；(5)不满足解析定义的点。例：见课本P3869注：·区域为开集，故f在D内解析

与可导等价·但在一点解析要求高于可导70例3

解：717273例4解：两个重要例子：结论：它们在原点都不解析。75例解：7677练习答案处处不可导,处处不解析.78

1-2.

性质（四则运算、复合）79根据定理可知:（重要！！）(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.即：求有理分式的奇点，就是分母为零的点！函数解析的充要条件

柯西-黎曼方程高数中：

二元函数z=f(x,y)可微：定义：如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)的全增量可表示为其中A,B不依赖于而仅与x,y有关，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分。821、柯西—黎曼方程问:

函数在一点可导，实部虚部应满足什么条件？83f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一点z=x+iy可导假设下面全部展开成实部、虚部：1、柯西—黎曼方程问:

函数在一点可导，实部虚部应满足什么条件？

※柯西-黎曼方程（C-R方程）

----是可导的必要条件！1.但凡一个式子不满足，就不可导；2.哪些点(x,y)成立？86例87例证明：88

设函数定义在区域D内，则函数在点可导的充分必要条件是：⑴

与

在

可微．

⑵

条件(*)常称为柯西—黎曼条件（C.—R.条件）．(*)定理1

(可导的充要条件)高数中：

二元函数z=f(x,y)可微：（充分条件）：如果函数z=f(x,y)的偏导数、在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。93证明：（1）必要性已证。

（2）下证充分性。9495[证毕]定理2(函数在区域D内解析的充要条件)※判断是否解析：1、求出u(x,y),v(x,y)2、求出3、判断以上偏导是否连续4、判断2是否满足C-R方程5、求导：注：仅在个别点可导，则在区域里不解析98例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:99例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:解:不满足柯西－黎曼方程,100四个偏导数均连续指数函数101四个偏导数均连续※已知解析，抽象证明：1、将给出的条件转化为u,v

的表达式2、针对1，两边同时分别对x,y

求偏导，得到

满足的式子3、写出C-R方程4、2、3联立104105例106例证明：107例

解：例3证109例110解：例111练习答案例4证明：可导、解析和连续的关系f(z)在D内解析f(z)在D内可导f(z)在点z0解析f(z)在点z0可导f(z)在点z0连续§2.4.初等函数1141、指数函数

2、对数函数上页下页铃结束返回首页3、幂函数4、三角函数5、反三角函数定义、性质（解析性）、计算1、指数函数115·定义注·性质116(4)加法定理(6)ez是以2

i为基本周期的周期函数类似实变指数函数见P36例7117(4)证明加法定理证明：118因为：当z沿实轴趋于+∞时ez

∞;

当z沿实轴趋于-∞时,ez0.119例解：120例解：求出下列复数的辐角主值:1211221232、对数函数2-1.定义说明：w=Lnz是指数函数ew=z的反函数Lnz一般不能写成lnz124由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数规定：2-2.w计算公式及多值性说明：125特殊地,说明：1、一个复数z(z≠0)的对数仍为复数，它的实部是z的模的实自然对数；它的虚部是z的辐角的一般值，即虚部无穷多，其任意两个相异值相差2π的整数倍。

2、3、w=Lnz不仅对正数有意义，对一切非零复数都有意义。(负数也有对数)4、

指数函数的周期性导致了对数函数的多值性，这与实函数不同。127例1

解：注:

在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.128例解：129例解：1301312-3.对数函数的性质3.

幂函数定义142例解：143例解：144·幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,145它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,4、三角函数和双曲函数146·复变量的正弦与余弦函数147·定义·性质:(2)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.(3)148(5)遵循通常的三角恒等式，如(4)149记好，常用！双曲函数150注：这是与实变函数完全不同的sinz的零点(i.e.sinz=0的根)为z=n

cosz的零点(i.e.cosz=0的根)为z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(6)(7)sinz,cosz在复数域内均是无界函数151例解：152·

其他复变数三角函数的定义153例解:154·定义·双曲函数·性质155·它们的导数分别为并有如下公式:·它们都是以为周期的周期函数,156例解：1575、反三角函数和反双曲函数·反三角函数定义两端取对数得158

同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到