2024八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1.直角三角形三边的关系第1课时认识勾股定理习题课件新版华东师大版

华师版八年级上第14章勾股定理14.1勾股定理1.直角三角形三边的关系第1课时认识勾股定理01名师点金02认知基础练03素养提升练目

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勾股定理的适用条件：直角三角形.勾股定理反映了直

角三角形三边的关系，即已知直角三角形两边长可求第三边

长.对于非直角三角形问题，可根据图形特征构造直角三角

形.运用时要分清直角边和斜边，在Rt△

ABC

中，斜边不一

定是

c

.知识点1勾股定理1.

在△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

A

，∠

B

，∠

C

的对边分

别是

a

，

b

，

c

，则下列式子成立的是(

A

)A.

a2＋

b2＝

c2B.

a2＋

c2＝

b2C.

a2－

b2＝

c2D.

a

＋

b

＝

c

A1234567891011

(第2题)1234567891011【点拨】如图，过点

D

作

DM

⊥

AB

于点

M

.

由题意知

AD

平分∠

BAC

，

DC

⊥

AC

，∴

CD

＝

DM

.

∵∠

C

＝90°，

AB

＝5，

BC

＝3，

D【答案】12345678910113.

[新考法·方程思想2023随州]如图，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝8，

BC

＝6，

D

为

AC

上一点，若

BD

是∠

ABC

的平分线，则

AD

＝

⁠.(第3题)5

1234567891011【点拨】如图，过点

D

作

DE

⊥

AB

于点

E

.

∵∠

C

＝90°，∴

CD

⊥

BC

.

又∵

BD

是∠

ABC

的平分线，∴

CD

＝

DE

.

∴Rt△

BCD

≌Rt△

BED

(H.L.).1234567891011∴

BE

＝

BC

＝6.

∴

AE

＝

AB

－

BE

＝10－6＝4.设

CD

＝

DE

＝

x

，则

AD

＝

AC

－

CD

＝8－

x

.在Rt△

ADE

中，

AE2＋

DE2＝

AD2，∴42＋

x2＝(8－

x

)2，解得

x

＝3.∴

AD

＝8－3＝5.1234567891011知识点2勾股定理与图形的面积4.

[母题·教材P108试一试]如图，所有四边形(阴影部分)都是

正方形，所有三角形都是直角三角形.若正方形

A

，

C

，

D

的面积依次为4，6，18，则正方形

B

的面积为(

A

)A.8B.9C.10D.12(第4题)1234567891011【点拨】如图，由题意得

S正方形

A

＋

S正方形

B

＝

S正方形

E

，

S正方形

D

－

S正

方形

C

＝

S正方形

E

，∴

S正方形

A

＋

S正方形

B

＝

S正方形

D

－

S正方形

C

.

∵正方形

A

，

C

，

D

的面积依次为4，6，18，∴

S正方形

B

＋4＝18－6.∴

S正方形

B

＝8.A【答案】12345678910115.

如图，点

E

在正方形

ABCD

内，满足∠

AEB

＝90°，

AE

＝6，

BE

＝8，则阴影部分的面积是(

C

)A.48B.60C.76D.80(第5题)C在Rt△

ABE

中，由勾股定理可得

AB

＝10，∴

S正方形

ABCD

＝102＝100.

【点拨】12345678910116.

[新考法·计算比较法2023日照]已知直角三角形的三边

a

，

b

，

c

满足

c

＞

a

＞

b

，分别以

a

，

b

，

c

为边作三个正

方形，剪下这三个正方形，把两个较小的正方形放置在最

大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为

S1，均重叠部分的面积为

S2，则(

C

)A.

S1＞

S2B.

S1＜

S2C.

S1＝

S2D.

S1，

S2的大小无法确定(第6题)1234567891011【点拨】∵直角三角形的三边

a

，

b

，

c

满足

c

＞

a

＞

b

，∴该

直角三角形的斜边为

c

.∴

c2＝

a2＋

b2.∴

c2－

a2－

b2＝0.∴

S1＝

c2－

a2－

b2＋

b

(

a

＋

b

－

c

)＝

ab

＋

b2－

bc

.∵

S2＝

b

(

a

＋

b

－

c

)＝

ab

＋

b2－

bc

，∴

S1＝

S2.故选C.

C【答案】12345678910117.

[新考向·传承数学文化2023扬州]我国古代数学家赵爽证

明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为

“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正

方形组成的，如图，直角三角形的直角边长为

a

，

b

，斜

边长为

c

，若

b

－

a

＝4，

c

＝20，则每个直角三角形的面积为

⁠.96

(第7题)1234567891011【点拨】由题意可得

a2＋

b2＝

c2，∴

a2＋

b2＝202，即(

a

－

b

)2＋2

ab

＝400.∴2

ab

＝400－(

a

－

b

)2＝400－42＝384.∴

ab

＝192.

1234567891011易错点

三角形高的位置不明确时，因考虑问题不全面而导致

出错8.

[新考法·分类讨论思想]在△

ABC

中，

AB

＝20，

AC

＝

13，高

AD

＝12，则△

ABC

的面积为(

D

)A.66B.126C.55或44D.126或661234567891011Ⅰ.如图①，高

AD

在△

ABC

内部.在Rt△

ACD

中，由勾股定理得

CD

＝5，在Rt△

ABD

中，由勾股定理得

DB

＝16，∴

CB

＝

CD

＋

DB

＝5＋16＝21.

【点拨】由题意知，分两种情况求解：1234567891011Ⅱ.如图②，高

AD

在△

ABC

外部.在Rt△

ACD

中，由勾股定理得

CD

＝5，在Rt△

ABD

中，由勾股定理得

DB

＝16，∴

CB

＝

BD

－

CD

＝16－5＝11.

综上所述，△

ABC

的面积为66或126.【答案】D1234567891011

利用勾股定理求图形面积

【解】如图，

AP

即为所求.1234567891011(2)在(1)所作图形中，求△

ABP

的面积.

1234567891011

1234567891011

利用勾股定理求线段长10.

[新考向·传承数学文化]《西江月》中描述：平地秋千未

起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾

记……翻译成现代文如下：如图，秋千

OA

静止的时

候，踏板离地高一尺(

AC

＝1尺)，将它往前推进两步(

EB

＝10尺)，此时踏板升高，离地五尺(

BD

＝5尺)，求秋千绳索

OB

的长度.1234567891011【解】设

OA

＝

OB

＝

x

尺.易知

EC

＝

BD

＝5尺，∴

EA

＝

EC

－

AC

＝5－1＝4(尺).∴

OE

＝

OA

－

AE

＝(

x

－4)尺.在Rt△

OEB

中，

OE

＝(

x

－4)尺，

OB

＝

x

尺，

EB

＝10尺，根据勾股定理，得

x2＝(

x

－4)2＋102，整理，得8

x

＝116，解得

x

＝14.5.∴秋千绳索

OB

的长度为14.5尺.1234567891011

利用作差法探究图形中线段关系11.

[新考法·猜想验证法]在△

ABC

中，

BC

＝

a

，

AC

＝

b

，

AB

＝

c

.若∠

C

＝90°，如图①，根据勾股定理，有

a2

＋

b2＝

c2；若△

ABC

不是直角三角形，而是如图②③所

示的锐角三角形和钝角三角形.1234567891011(1)请你类比勾股定理，猜想

a2＋

b2与

c2的关系：图②

中，

a2＋

b2

c2；图③中，

a2＋

b2

c2.(填

“＞”“＜”或“＝”)＞

＜

1234567891011【解】如图①，过点

A

作

BC

边上的高

AD

，则∠

ADC

＝∠

ADB

＝90°.(2)说明你在(1)中猜想的结论的正确性.设

CD

＝

m

.在Rt△

ACD

和Rt△

ABD

中，有

b2－

m2＝

AD2，

c2－(

a

－

m

)2＝

AD2，∴

b2－

m2＝

c2－(

a

－

m

)2，整理，得

a2＋

b2－

c2＝2

am

.∵2

am

＞0，∴

a2＋

b2＞

c2.1234567891011如图②，过点

B

作

AC

边上的高

BD

，则∠

D

＝90°.

设

CD

＝

n

.在Rt△

ABD

和Rt