2023北京平谷区初三（上）期末数学试题及参考答案

2023北京平谷初三（上）期末数学注意事项：1.本试卷共8页，包括三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，请将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.2=3（xy≠0）xy23xyx3xy====A.B.C.D.23322yDEBC=2.如图，中，DE分别为AB、AC边上的点，∥，若AD2BD，则的值为（）32212312A.B.C.D.y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）3.抛物线=+2−A.y=2(x+1)2+3B.yx3y=2(x−2−3D.y=2(x−1)2+3C.4.如图，每个小正方形的边长为1ABC均在格点上，则sinB的值是（）343545A.1B.C.D.25.如图，若点A是反比例函数y=(x)0的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点AxxBC是yx轴上任意一点，则的面积为（）A.1B.2C.3D.46.如图，中，点E为AD中点，若△AEO的面积为，则的面积为（）A2B.3C.4D.87.“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，CD为的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，弦AB=10寸，则的半径为多少寸（）A.5B.12C.13D.8.I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2I与v的函数关系为（A.正比例函数关系B.反比例函数关系）C.一次函数关系D.二次函数关系二、填空题（本题共分，每小题2分）=x3中，自变量的取值范围是−x9.y.10.若扇形的圆心角为120，半径为3，则该扇形的弧长为_________．2如图，在Rt△ABC中，C=，如果A=，6=，那么AC的长为___．3=12.如图，在___．中，，C是O上三点，如果ACB=30，弦AB5，那么半径长为13.已知二次函数＝ax2bx+（a）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2++＝0的解为______．14.如图，Rt△中，BAC=90，⊥D，BD1AD=，CD=4，则的长为___．于15.青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在250~360（千米小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差___小时．16.张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有AB两种组合和D、EF商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样，若该小组共有人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁nn3元钱，请给出一个满足条件的购买方案___（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+…；n最多买___商品价格组合A1支笔＋1个本＋1方砚台＋1瓶墨汁）25元组合B1支笔＋1个本＋1瓶墨汁）C118元5元D14元E：一方砚台10元12元F：一瓶墨汁三、解答题（本题共分，第、、20—23、25题，每题5分；第19、24题，每题6分；第26—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．11−3+−27230．+17.计算：5=，BAB=4，求AC的长．18.已知：如图，在中，D为AB边的中点，连接CD，ACDy=x−2x−3．219.已知二次函数（1）求该二次函数顶点坐标；（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；y=x−2x−3的图象；2（3）在平面直角坐标系（4）结合函数图象，直接写出当1x2时，y的取值范围．20.如图，已知劣弧中，画出二次函数AB，如何等分AB？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．方法一：①作射线、；②作的平分线点C即为所求作．，与AB交于点C；证明：∵OC平分，∴AOC=BOC∴___（_____方法二：①连接AB；②作线段AB的垂直平分线EF，直线EF与AB交于点C；点C即为所求作．证明：∵EF垂直平分弦AB，∴直线EF经过圆心O，∴___（___21.某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段AB表示旗杆，已知ACD三点在一条直线上，首先用米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为65，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为，其中，线段CE和DF均表示测角仪，然后测量出CD的距离为米，连接EF并延长交AB于点G．根据这些数据，请计算旗杆AB的长约为多少米．sin65cos65tan652.1)m22.已知：一次函数，与反比例函数=(ymx0)A(4)的图象交与点．y2k0=−()x（1）求一次函数和反比例函数的表达式；()过点作垂直于轴的直线，与反比例函数的图象交于点，与一次函数的（2）已知点P(，n)n0PyB图象交于点，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段、AC与反比例函数图象上AB之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围．23.如图，在Rt△中，ACB=，AD平分BAC交BC边于点D⊥E，DEAB，若4BD=5，B=，求的长．524.如图，已知锐角ABC，以为直径画，交边于点M，BD平分ABC与交于点ABD，过点D作⊥E于点．（1）求证：DE是的切线；（2）连接OE交BD于点，若FABC=60，AB=4，求DF长．25.某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米y=a(x−h)+k(a0)．现测量出x与y的几组2时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系数据如下：x（米）01234……y（米）3.753.75请解决以下问题：（1）求出满足条件的函数关系式；（2）身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为mm0图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．y=ax+bx(a0)，设抛物线的对称轴为x=t．226.在平面直角坐标系中，抛物线（1）当抛物线过点(−0)时，求t的值；（2）若点(−，m)和，n)mn在抛物线上，若，且amn0t的取值范围．27.如图，中，D为AC边中点，E为延长线上一点，连接ED并延长，使=，连接．（1）依题意补全图形；（2）连接BD，若CE2+BF=AB2，猜想BD与DE的数量关系，并证明．2()、()、()、()定义如下：若点A0B0C2D228.如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中P关于直线l的对称点P在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“关联点”．（1）已知点(P−1,2)、点P2(−)、点(−)、点中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是4(−)2,1P34,11___；（2）7O−,13x=t的圆心半径为，若上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线的关联22点，求t的取值范围；（3）圆心()()半径为，若存在rt上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线O1m0x=t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围(m的式子表示．参考答案一、选择题（本题共分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.【答案】C【解析】【分析】根据比例的性质求解即可xy23==【详解】解：A．因为，所以3x2y，故A不符合题意；xy===，所以3x=2y，故B不符合题意；B．因为C．因为23xy2x=3y，所以，所以，故C符合题意；32x3xy=6，故D不符合题意；D．因为2y故选：．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．2.【答案】D【解析】23DEAD23=，再证明△==【分析】先证明，可得．BCAB【详解】解：∵AD2BD，=23=∴，∵∥，∴△，DEAD23==∴，BCAB故选D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明△是解本题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案．【详解】解：抛物线向左平移1个单位可得y2x1=(+2，再向下平移个单位可得y=2(x+)−3，32故选：B【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．4.【答案】C【解析】【分析】过点A作⊥于点D，根据勾股定理求出AB的长度，再根据正弦的定义即可求解．【详解】解：如图：过点A作⊥D，在Rt△中，AB=AD2+BD2=32+4=5，2ADAB35∴sinB==，故选：．【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是构建直角三角形，根据勾股定理求出AB的长度．5.【答案】A【解析】2aa,AB长和点C到AB的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公【分析】设点A的坐标为，将式即可求解．2a,【详解】解：设点A的坐标为，a∵AB⊥x轴，2=∴，a∵点C在y轴上，∴点C到AB的距离为a，12S=a=1，∴2a故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质．6.【答案】C【解析】【分析】根据题意易证∽E为AD中点得出相似比，最后根据相似三角形的面积的面积．比等于相似比的平方即可求出【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC,AD=BC∴∴∴，AEO=CBO,EAO=BCO，∽，∵点E为AD中点，1112===∴，即，22∵△AEO的面积为1，12114SS14===∴，即，S2S=4；解得：故选：．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形面积比等于相似比的平方．7.【答案】C【解析】【分析】连接，构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：连接，如图所示，设直径CD的长为2x，则半径=x，为的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10，11AE=BE=AB=10=5，22而OA=OC=x，x2=5+(x−2，2根据勾股定理得解得x=，即的半径为故选C．【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题关键．8.【答案】D【解析】【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答．I=2【详解】解：根据题意可得：，v2整理得：I2v2，=∴I与v的函数关系为二次函数关系；故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关系式．二、填空题（本题共分，每小题2分）9.【答案】x3【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-3≥0，解得：x≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．10.【答案】2π【解析】【分析】直接代入弧长公式计算即可．3=【详解】解：由题意可得，扇形的弧长为：．180故答案为：．【点睛】本题考查了弧长公式：＝R（弧长为，圆心角度数为n，圆的半径为R180中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．【答案】4【解析】ACAB23【分析】根据cosA==，再代入数据解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中2C=90，A=∵∴，3ACAB23cosA==，又∵=6，23=∴，6∴AC=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．12.【答案】5【解析】【分析】如图，作直径AD，连接，则D=ACB=30，从而可得答案．，可得=2=，【详解】解：如图，作直径AD，连接，则D=ACB=30，，∵AB=5，∴=2=，∴的半径为5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，含30的直角三角形的性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．x=−x=113.【答案】12【解析】【分析】根据函数图象可知抛物线与坐标轴交于点(−3,0个交点，进而求得方程ax+bx+c0的解．)，对称轴为x=1，根据对称性即可求得另一−【详解】解：∵函数图象可知抛物线与坐标轴交于点(−3,0)，对称轴为x=1，−∴另一个交点为()，1,0x的一元二次方程2++＝0的解为x=−x=112x=−x=1故答案为：12【点睛】本题考查了图像法求一元二次方程的解，掌握二次函数的对称性是解题的关键．14.【答案】2【解析】【分析】先判定△ABDCAD，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：∵BAC90，=⊥，B+C=90,B+BAD=∴，∴B=，∵=CDA，∴△ABDCAD，==BDCD=14=4，∴，即AD2CD解得：AD2=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．15.【答案】【解析】k【分析】设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为t=数表达式，即可求解．(6)代入求出函vk【详解】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为t=，vk把点(6)代入得：6=，300解得：k1800，=1800∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为t=，v1800当v=250时，t=当v=360时，t==7.22501800360=57.2−5=2.2故答案为：．【点睛】本题主要考查了求反比例函数的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．①.5A7C7DE+++②.516.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，一共需要12支笔，12个本，6方砚台，组合A是最便宜，尽量多买，再根据砚台2A最多买66A最多买5差一个，最后补全笔和本的数量即可．【详解】解：根据题意可得，砚台2人一方，当够买6件组合A时，剩余的钱为：200−256=还需要6个组合B或单独够买6支笔和6个本，6个组合B需要：186=108单独够买6支笔和6个本，56+46=54元，∵505054，∴最多够买5个组合，当够买5件组合A时，剩余的钱为：200−255=75再够买一个砚台，剩余的钱为：75−10=65单独够买7支笔和7个本，剩余的钱为：65−47−57=2综上：满足条件的购买方案为：够买5个组合，再单独够买7支笔和7个本和1个砚台；墨汁对多有5瓶．故答案为：5A+7C+7D+E，．【点睛】本题主要考查了根据方案的选择，解题的关键是根据题意，确定组合A是最便宜的，应该尽可能多的选择组合A，从而恰当的方案．三、解答题（本题共分，第、、20—23、25题，每题5分；第19、24题，每题6分；第26—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】5−3【解析】【分析】先将绝对值、负整数幂、二次根式化简，将锐角三角函数转化为实数，再进行计算即可．3=3+5−33+2【详解】解：原式2=3+5−33+3=5−3．【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是的熟练掌握特殊角度的锐角三角函数值，绝对值的定义，负整数幂的运算法则，以及二次根式的化简方法．18.【答案】22【解析】【分析】先证明∽，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：∵D为AB边的中点，AB4，=12∴==2，∵ACD=B，=CAD，∴∽==ABAD=8，∴，即AC2解得：AC=22【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．(−)419.）（2）该二次函数图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(−1,0)，与轴的交点坐标为(−)3y4y0（）（3）见解析【解析】）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；y=0，x=0（2）分别将代入二次函数表达式，即可求出与x轴、y轴的交点坐标；（3）根据列表，描点，连线的步骤即可画出二次函数的图象；（4）根据图象即可进行解答．【小问1详解】解：∵y=x−2x−3=(x−)−4，22∴该二次函数的顶点坐标为4)．【小问2详解】y=0代入y=x2−2x−3得：0=x2−2x−3，把x=3x=−1解得：，，12∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(−1,0)，把x=0代入y=x−2x−3得：y=−3，2∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为(−3)；【小问3详解】列表：xy…………−01230…………1−3−4−30函数图象如图所示：【小问4详解】由图可知：当1x2时，4y0．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握y=(−)xh+k的顶点坐标为2(h,k)，牢记坐标轴上点的坐标特征．20.【答案】方法一：画图见解析，，BC，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解析，，BC，垂径定理．【解析】【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作．证明：∵OC平分，∴AOC=BOC∴=方法二：如图，点C即为所求作．证明：∵EF垂直平分弦AB，∴直线EF经过圆心O，∴=【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质．21.【答案】米【解析】BG=x，根据锐角三角函数，将和GE用x表示出来，最后根据GF−GE=EF程求解即可．【详解】解：∵CD=米，∴EF=CD=5.5米，设BG=x，BFG=45,BEG=65∵，tan45x∴==x，==，6565∵GF−GE=EF，xx−=5.5，∴tan65tan65tan65−1x=5.510.5，解得：∵AG=1.5米，∴=+12米，答：旗杆AB的长约为米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．8y=3x−2y=；反比例函数的表达式为22.）一次函数的表达式为x（2）1n2或7n8【解析】m）把点()分别代入=−()和y=()mx0求出k和m的值即可；A4y2k0x（2）画出图形，分两种情况进行讨论即可．【小问1详解】解：把点()代入y=−2(k0)得：42k2=−，A4解得：k=3，y=3x−2∴一次函数的表达式为：，mm把点()代入y=(mx0)4=得：，A4x2解得：m=8，8y=∴反比例函数的表达式为：；x【小问2详解】如图所示，①当线段在点A上方时，点P在7和8之间时，恰有3个整点，此时7n8；②当线段点A下方时，点P在1和2之间时，恰有3个整点，此时1n2；综上：当1n2或7n8时，恰有3个整点．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会画函数图象．23.【答案】6【解析】4BD=5，B=求出DE54可得CD=DEB=AB5的长度．4【详解】解：∵DEAB，⊥BD=5，B=，54∴在中，BE=BDB=5=4，5在中，根据勾股定理可得：=BD2−BE2=52−4=3，2∵AD平分BAC，ACB，=DE⊥AB，∴CDDE3，==∴=+CD=5+3=8，==，在Rt△中，B∴在Rt△中，根据勾股定理可得：AC=AB2−BC2=102−8=62【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是掌握根据锐角三角函数解直角三角形的方法和步骤，角平分线上的点到两边的距离相等．43524.）见解析（）=【解析】1）连接，根据=BO可得=，根据角平分线的定义DBE=OBD，则=DBE，最后根据⊥，+=，即可证明=+BDE=；AD,DOADB=90（2ADBD的长度，通过证明【小问1详解】∽，即可根据相似三角形对应边成比例求解．证明：连接，∵=BO，∴=，∵平分ABC，∴DBE=OBD，∴=DBE，∵⊥，∴+=，∴=+BDE=，∴DE是【小问2详解】的切线；AD,DO如图：连接，∵AB为直径，AB4，=∴ADB=90，=BD平分ABC∵ABC60，，1ABD=DBC=ABC=30∴，212∴=2，=在Rt△中，根据勾股定理可得BD=AB2−AD=23，21==3∴，2在中，根据勾股定理可得BE=BD2−DE=3，2∵=90，⊥，∴OD∥BC，=EBF,=BEF∴∴，∽，2DF==∴，即，323−DFBEBF435解得：=．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．1=−(−)x32+425.）抛物线为：y4（2）画图见解析，6m7【解析】）由表格信息先求解抛物线的对称轴，再求解得到坐标，再把(0,1.75)代入求解即可；（2）先画抛物线的实际图象，结合图象再求解抛物线与x轴的交点坐标，从而可得答案．【小问1详解】解：由表格信息可得抛物线过(2,3.75)，(4,3.75)，2+4x==3，∴抛物线的对称轴为直线：2∴顶点坐标为：(4.0)，=(−)∴抛物线为：yax3+42把(0,1.75)代入可得，9a+4=1.75，1a=−解得：，41=−(−)x3+42y∴抛物线为：．4【小问2详解】如图，根据表格信息结合抛物线的对称性先描点，再连线画图如下：当当y=1.75时，结合抛物线的对称性可得：1=0x=6，或212y=0−(−)x3+4=0时，则，4x=1x=7，解得：，12∴小明被水枪淋到m的取值范围为：6m7．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图象，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键．26.）t（2a0时，【解析】=1112−t−1；当0时，t2）把点(−2,0)代入yaxbx，得出a和b的数量关系，即可求解；=2+（2）根据题意进行分类讨论即可，当a0时，当0时．【小问1详解】解：把点(−2,0)代入yaxbx得：04ab，=−=2+∴4a=b，整理得：2a=b，bx=−=−1，∴抛物线的对称轴为2a∴t=1．【小问2详解】当x=0时，y=0，∴该函数经过(0)，设该函数与x轴的另一个交点坐标为(a)，0+aa∴t==22①当a0时，∵点(−，m)和，n)∴mn0，在抛物线上，mn，amn0，即点(−，m)到对称轴距离大于点，n)到对称轴距离，1t−−21−t()t−∴，解得：，2∵该函数经过(0)、，n)n0，且1，∴该函数与x轴的另一个交点横坐标aa12∴，21∴t，2112∴当a0时，−t；2②当0时，∵点(−，m)和，n)∴m0n，在抛物线上，mn，amn0，即点(−，m)到对称轴距离小于点，n)到对称轴距离，1t−−21−t，解得：t−()∴，2∵该函数经过(0)、(−，m)，且m0∴该函数与x轴的另一个交点横坐标a−2，a∴−1，2∴t−1，∴当0时，t−1；112综上：当a0时，−t；当0时，t−1．2【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴的求法以及二次函数图象上点的坐标特征．27.）补全图形见解析（2）BDDE，证明见解析=【解析】）根据题意延长ED至F，再连接即可；（）连接，，证明≌S)，可得AF=CE，再证明2+=AB2，可得2AFB=90，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得结论．【小问1详解】解：如图，补全图形如下：【小问2详解】BD=DE，理由如下：连接BD，，D为AC边中点，∴AD=CD，，=CDE∵=，∴)，≌∴AF=CE，∵CE∴2+BF2=A