3.2.1+单调性与最大（小）值（第二课时） 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学目标

理解函数最大（小）值的概念（重点）01

掌握求简单函数最大（小）值的方法（重点、难点）02

03

04函数的最大（小）值学科素养

函数最大（小）值的概念数学抽象

利用函数的图像求函数的最大（小）值直观想象

利用函数的单调性求函数的最大（小）值逻辑推理

求简单函数最大（小）值的方法数学运算

数据分析

数学建模函数的最大（小）值01知识回顾RetrospectiveKnowledge函数的单调性1、增函数与减函数的定义:

设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I,∀x1,x2∈D,且x1<x2

，如果都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递增;如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减.2、判断函数单调性的方法（1）图象法：看图象从左向右是上升还是下降（2）用定义证明函数单调性的步骤：

①取值②作差③变形④定号⑤结论（3）性质：①若函数y＝f(x)和y＝g(x)都在区间D上单调递增(减),则函数y＝f(x)+g(x)在区间D上单调递减(增）.②若函数y＝f(x)在区间D上单调递增(减),则函数y＝-f(x)在区间D上单调递减(增）.3、函数在某区间单调递增（或递减），则该区间为函数的单调递增（或递减）区间的子区间.02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

观察本节的图3.2-2，可以发现，二次函数

f

(x)=x2的图象上有一个最低点（0，0），即∀x∈R，都有

f

(x)≥

f

(0)．

当一个函数

f

(x)的图象有最低点时，我们就说函数

f

(x)有最小值．

你能以函数f

(x)=－x2为例说明函数的最大值的含义吗?

我们可以发现，二次函数

f

(x)=－x2的图象上有一个最高点（0，0），即∀x∈R，都有

f

(x)≤

f

(0)．当一个函数

f

(x)的图象有最高点时，我们就说函数

f

(x)有最大值．

一般地，设函数

y＝f

(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x∈I，都有f

(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得

f(x0)＝M．那么，称M是函数

y＝f

(x)的最大值．

你能仿照函数最大值的定义，给出函数y＝f

(x)的最小值的定义吗?

一般地，设函数

y＝f

(x)的定义域为I，如果存在实数N，满足：（1）对于任意x∈I，都有f

(x)≥N；（2）存在x0∈I，使得

f(x0)＝N．那么，称N是函数

y＝f

(x)的最小值．例4

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它状到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度

h

(单位:m)与时间

t

(单位:s)之间的关系为

h(t)=－4.9t

²＋14.7t＋18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这是距地面的高度是多少（精确到1m）？解：画出函数

h(t)=－4.9t

²＋14.7t＋18

的图像．显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m．例5已知函数

，求函数的最大值和最小值．分析：由函数f

(x)的图象可知，函数f

(x)在区间[2，6]上单调递减，所以函数f

(x)在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值．练习1

已知函数

，求函数在区间[2，6]的最大值和最小值．03拓展提升ExpansionAndPromotion例1函数的值域为：________.函数的值域求法：利用单调性

配方法：对二次函数型的可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用二次函数的性质（开口，对称性）求函数的值域.函数的值域求法：配方法

配方法：对二次函数型的可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用二次函数的性质（开口，对称性）求函数的值域.函数的值域求法：配方法

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为熟悉或简单的函数，通过求化归后函数的值域来确定原函数的值域.函数的值域求法：换元法函数的值域求法：数形结合法函数的值域求法：二次函数含参问题函数的值域求法：二次函数含参问题函数的值域求法：二次函数含参问题

上述题型分别属于“轴动区间定”和“轴定区间动”的求二次函数最值问题，看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,实质是讨论对称轴与区间的两个端点及两端点中点的位置关系,即分别对称轴在区间左侧、区间内（区间中点左侧、区间中点右侧）、区间右侧时图像的变化情况进行讨论,要注意开口方向及端点情况。函数的值域求法：二次函数含参问题04归纳总结SumUp1．函数的最值：

一般地，设函数

y＝f

(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x∈I，都有f

(x)≤M；存在x0∈I，使得

f(x0)＝M．那么，称M是函数

y＝f

(x)的最大值．（2）对于任意x∈I，都有f

(x)≥N；存在x0∈