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文档简介
等腰三角形作辅助线的常用方法题型01等腰三角形中有底边中点时,常作底边上的中线【典例分析】【例1-1】(23-24八年级上·浙江宁波·期末)如图,在中,,点D为中点.,绕点D旋转,分别与交于E,F两点.下列结论中错误的是(
)A.B.C.D.始终为等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,连接;A:证即可判断;B:由题意可推出,,据此即可判断;C:根据即可判断;D:根据即可判断;【详解】解:连接,∵是等腰直角三角形,且D为斜边的中点,∴,∴,又∵,∴,∴,∴∴.故A选项中的结论正确.∵,∴,即.∴,又∵,而与不一定相等,∴不一定等于.故B选项中的结论错误.在中,∴.故C选项中的结论正确.∵,∴,又∵,∴是等腰直角三角形.故D选项中的结论正确.故选:B【例1-2】(20-21八年级·辽宁沈阳·阶段练习)如图,在中,的垂直平分线交于点,交于点,为线段的中点,.(1)求证:;(2)若,则的度数为___________.【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质等知识,掌握线段垂直平分线的性质,等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键.(1)根据线段垂直平分线的性质得出,从而可得,然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证;(2)根据等边对等角可得,,根据三角形外角的性质可得,然后根据三角形的内角和定理求解即可.【详解】(1)证明:连接,的垂直平分线交于点,,,,为线段的中点,;(2)解:,,,由(1)知,,,,,,,,.故答案为:.【例1-3】(23-24八年级上·全国·课堂例题)如图所示,在中,,,D为的中点,E,F分别是,上的点,且,试判断的形状,并说明理由.【答案】等腰直角三角形,见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识;通过证明推知;根据全等三角形的性质推知,证出,即可得出结论.熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.【详解】解:为等腰直角三角形.理由:如图所示,连接.∵,D为的中点,∴,∴.∵,,∴.在中,,∴,∴.又∵,∴,∴,∴.在和中,∴,∴,,∴,∴为等腰直角三角形【变式演练】【变式1-1】(23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末)如图,在等腰三角形中,,D为的中点,点E在上,,若点P是等腰三角形的边上的一点,则当为等腰三角形时,的度数是(
)A. B. C.减 D.或【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.过D作,,易证,,再根据四边形内角和即可得到答案.【详解】解:连接,∵,,∴,∵点P是等腰的腰上的一点,,D为的中点,∴,过D作,,∴,在与中,,∴,∴,∵,∴,同理可得,∴,∴,故选C【变式1-2】(23-24八年级上·北京·期末)如图,在中,,D是的中点,过A作,且.求证:(1);(2).【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)连接,利用等腰三角形“三线合一"的性质得,再利用平行线的性质得,从而说明垂直平分,则有;(2)利用等角的余角相等,再利用证明,从而证明结论.【详解】(1)证明:连接AD,,点为的中点,,,,,,,垂直平分,∴;(2)在和中,【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,余角的性质,熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键.【变式1-3】(2024八年级·天津·专题练习)如图,在中,的垂直平分线交于点E,交于点F,D为线段的中点,.(1)求证:.(2)若,求的度数.【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查等腰三角形的性质,垂直平分线的性质,三角形内角和定理.(1)连接,根据垂直平分线的性质,可知,根据等腰三角形三线合一即可知(2)设,由(1)可知,然后根据的内角和为列出方程即可求出x的值.【详解】(1)证明:连接,∵垂直平分,∴,∵,∴∵D是的中点,∴;(2)解:设∵∴°∴由三角形的外角的性质,∵,∴在中,解得,∴题型02等腰三角形中没有底边中点时,常作底边上的高【典例分析】【例2-1】(23-24八年级上·浙江杭州·期末)如图,在中,,点是边的中点,点在边上(不与点,重合),连接.(
)
A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】C【分析】本题考查了三角形的中位线,等腰三角形的性质,熟练掌握三角形的中位线定理,等腰三角形的性质是解答本题的关键.过点作,过点作于点,得到是的中位线,得到,进而得到,根据等腰三角形的性质,得到,再根据三角形角和边的关系得到答案.【详解】解:根据题意,如图,过点作,过点作于点,
点是边的中点,是的中位线,,,,,,,,,,,,若,则;若,则;若,则;若,则,故选:【例2-2】(23-24八年级上·浙江温州·阶段练习)如图,在等边三角形中,D是上的一点,E是延长线上一点,连接、,已知.(1)求证:是等腰三角形.(2)当,时,求的面积.【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了等边三角形的性质,等腰三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握等边三角形的性质,等腰三角形的判定与性质.(1)根据等边三角形的性质,即可证明结论;(2)设,则,得,根据三角形内角和定理可得,过D作于H,根据等腰直角三角形的性质即可得的长,进而可得结论.【详解】(1)证明:∵是等边三角形,∴,∵,,,∴,∴,∴是等腰三角形;(2)解:设,则,∴,∴,∴,∴,∴,如图,过D作于H,∵是等腰直角三角形,∴,∴,∴.【例2-3】(23-24八年级上·山东临沂·期末)已知在中,,点D是边上一点,.(1)如图1,试说明的理由;(2)如图2,过点B作,垂足为点E,与相交于点F.①试说明的理由;②如果,求的度数.【答案】(1)见解析(2)①见解析;②【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质,三角形的内角和定理及外角的性质,掌握等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键.(1)根据等腰三角形的性质可得,再利用三角形的外角性质可得,从而可得,然后根据等量代换可得.再根据等角对等边可得,即可解答;(2)①过点A作,垂足为H,利用等腰三角形的三线合一性质得出,利用余角的性质证明,即可得证;②根据三角形的外角性质可得,然后利用三角形内角和定理求出的度数,最后根据即可求解.【详解】(1)证明:∵,,,∴,∵,∴.∴.∴.(2)解:①过点A作,垂足为H.∵,∴.∵,∴,又,∴,又,∴.即;②∵,∴,∵,∴∵,∴,∵,∴,∴,∴.【变式演练】【变式2-1】(23-24八年级上·四川泸州·阶段练习)如图,是的角平分线,,垂足为E,交的延长线于点F,若D恰好是的中点,.给出下列四个结论:①平分;②;③;④,其中正确的结论有(
)个.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】A【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质.证明,可得,,作于点,利用角平分线的性质求得,证明,推出平分;据此即可求解.【详解】解:∵,∴,∵D恰好是的中点,∴,在与中,∵,∴,∴,,故②正确;作于点,∵是的角平分线,∴,∴,∴,∵,且,∴,∴,∴平分;故①正确;∴,∴,∵是的角平分线,∴,故③正确;∵,∴,故④正确;综上,①②③④都是正确的,故选:A【变式2-2】(23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末)如图,已知,,与相交于点G.求的度数.【答案】.【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理及外角的性质等知识,作辅助线构造全等三角形是解题关键.过点A作于点M,过点D作于点N,利用等腰三角形的性质和含30度直角三角形的特征,证明,设,则,,进而得出,再由三角形外角的性质,即可求出的度数.【详解】解:如图,过点A作于点M,过点D作于点N,∵,,∴,∵,∴,∵,∴,,∴,在和中,,∴,∴,设,∴,∵,∴,∵,∴,∴.【变式2-3】(23-24八年级上·山东聊城·期末)如图,是的角平分线,,垂足为交的延长线于点,若恰好平分.(1)求证:;(2)若的面积是18,,求长.【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质定理,证明三角形全等是解题的关键.(1)根据角平分线的性质,平行线的性质,可判断是等腰三角形,再根据等腰三角形的“三线合一”可得是中线,由“”可证;(2)过点作于点,根据角平分线的性质可得,根据中线的性质可得,由三角形的面积公式可求解.【详解】(1)解:平分,,.是角平分线,.在和中,,.(2)解:过点作于点,,,平分,,,,即,.题型03等腰三角形中证与腰有关联的线段时,常作腰的平行线【典例分析】【例3-1】(22-23八年级上·湖北荆门·期中)如图,中,,点从点出发沿线段移动(点不与,重合),同时,点从点出发沿线段的延长线移动,已知点、移动的速度相同,与直线相交于点.(1)求证:;(2)过点作直线的垂线,垂足为,、在移动过程中,线段中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变,理由见详解【分析】(1)过点作交于,根据题意可知,由平行线的性质以及等腰三角形的性质可推导,即可证明,然后证明,由全等三角形的性质证明即可;(2)由(1)可知,,由等腰三角形“三线合一”的性质可知,再由全等三角形的性质证明,即可推导,即为定值.【详解】(1)证明:过点作交于,如下图,∵点、同时出发,且移动的速度相同,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴;(2)解:的长度保持不变,理由如下:由(1)可知,,∵,∴,由(1)可知,,∴,∴,∴为定值.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识,理解题意,正确作出辅助线是解题关键【例3-2】(22-23八年级上·河南鹤壁·期末)问题初探如图①,中,,,点是上一点,连接,以为一边作,使,,连接,猜想和有怎样的数量关系,并说明理由.类比再探如图②,中,,,点是上一点,点是上一点,连接,以一边作,使,,连接,则________.(直接写出答案,不写过程)方法迁移如图③,是等边三角形,点是上一点,连接,以为一边作等边三角形,连接,则、、之间有怎样的数量关系?答案:________(直接写出答案,不写过程).拓展创新如图④,是等边三角形,点是上一点,点是上一点,连接,以为一边作等边三角形,连接,猜想的度数,并说明理由.【答案】(1),理由见解析(2)(3)(4),理由见解析【分析】(1)根据题意可推出,然后利用边角边即可证明,即可推出;(2)过点作交于点,则,同(1)可证:,即可算出;(3)根据题意推出,然后利用边角边即可证明,推出,即可推出;(4)过点作交于点,得到是等边三角形,再证明,得到,根据,即可得解.【详解】解:(1),理由如下:,,即,在和中,,,;(2)如图所示,过点作交于点,,,在中,,,,,同(1)可得:,,,故答案为:;(3)和均为等边三角形,,,,,即,在和中,,,,,,故答案为:;(4),理由如下:如图所示,过点作交于点,,,是等边三角形,,,,,,,.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质.本题的综合性较强,解题的关键是添加辅助线,构造手拉手全等模型,证明三角形全等.【变式演练】【变式3-1】(23-24八年级上·广东广州·期中)如图,在中,,点P从点B出发沿线段移动,同时,点Q从点C出发沿线段的延长线移动,已知点P、Q移动的速度相同,与直线相交于点D,求证:.【答案】见解析【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定定理,全等三角形的性质与判定定理,解决本题关键作出合适的辅助线.过点P作交于点F,根据等腰三角形的判定和性质准备条件,再证即可.【详解】证明:如图,过点P作交于点F,∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴,∵,∴,,又∵,∴,∴,∴,∴,在与中,,∴,∴.【变式3-2】(2024·八年级上·湖北吉林长春·)如图,在等腰中,顶角,点D是边的中点,连接,作于点E,再作交于点F.
(1)求证:;(2)若,则的面积为______.【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质,含的直角三角形的性质,直角三角形斜边上中线,三角形中线的性质等知识,解题的关键是:(1)利用等腰三角形的性质得出,,利用余角的性质可得出,,利用等边对等角得出,,取中点G,连接,利用直角三角形斜边上中线的性质得出,利用等边对等角得出,然后利用含的直角三角形的性质即可得证;(2)利用(1)中求出,利用直角三角形斜边上中线的性质求出,则可求的面积,然后利用三角形中线的性质求解即可.【详解】(1)证明:∵,点D是边的中点,∴,,∵,∴,∵,,∴,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,取中点G,连接,
∴,∴,,∴,∴,∴(2)解:∵,∴,∵,G为中点,∴,∴,∵点D是边的中点,∴,故答案为:4题型04等腰三角形中证与底有关联的线段时,常作底的平行线【典例分析】【变式4】(22-23八年级上·上海·期中)如图,在中,D是的中点,过D的直线交于E,交的延长线于F,且.求证:.【答案】见解析【分析】过点C作交于G,利用“角边角”证明,则,推出,再根据等角对等边可得.【详解】证明:过点C作交于G,∴,D是的中点,在和中,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.【变式演练】【变式4-1】(23-24八年级上·北京·期末)如图,等边中,在边延长线上一点,延长至,使,于,求证:.【答案】证明见解析【分析】本题考查等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形三线合一性质等知识点,过点作交的延长线于点,证明,可得,根据等腰三角形三线合一性质即可得证.解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形.【详解】证明:过点作交的延长线于点,∴,,∵是等边三角形,∴,,∴,,∴是等边三角形,,∴,∴,又∵,∴,在和中,,∴,∴,又∵,∴.【变式4-2】(22-23八年级上·湖北黄冈·阶段练习)已知:在等边中,点是边所在直线上的一个动点(与、两点均不重合),点在的延长线上,且.(1)如图①,当是边的中点时,求证:;(2)如图②,当是线段边上任意一点时,(1)中的结论是否一定成立?请说明理由;(3)若点是线段的延长线上任一点,,,,求的长.【答案】(1)见解析(2)成立,理由见解析(3)【分析】(1)根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出,则,即可得出结论;(2)过E作交于F,证是等边三角形,得,再证,得,即可得出结论;(3)过E作交的延长线于F,则为等边三角形,得,再证,得,即可得出答案.【详解】(1)证明:∵为等边三角形,点E为的中点,∴平分,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴;(2)解:当点E为线段上任意一点时,(1)中的结论成立,理由如下:如图②,过E作交AC于F,∵是等边三角形,∴,∴,,即,∴是等边三角形,∴,∵,∴,,∵,∴,∴,在和中,,∴,
∴,∴;(3)解:如图③,过E作交的延长线于F,则为等边三角形,,∴,∵,∴,∴,∵是等边三角形,∴,∴,∴,在和中,,
∴,∴,∴.【点睛】本题是三角形综合题目,考查的是等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识,本题综合性强,熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.题型05补形法构造等腰三角形【典例分析】【例5-1】(23-24八年级上·湖北武汉·期中)如图,在中,,为延长线上一点,为上一点,.(1)求证:;(2)若是的中线,交于点,求证:.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、等角的补角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识,正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.(1)由,得,因为,,所以,由,得,所以;(2)作交的延长线于点,则,而,且,所以,可证明,得,所以,再证明,得.【详解】(1)证明:,,,,,,,;(2)证明:作交的延长线于点,则,,,且,,是的中线,,在和中,,,,,在和中,,,【例5-2】(22-23八年级上·河南漯河·阶段练习)已知,分别是,的中线,且,求证.【答案】见解析【分析】本题考查全等三角三角形判定与性质,等腰三角形的性质,倍长中线,构造全等三角形是解题的关键.延长至,使,连接,证明,得,,再证,得,即可得出结论.【详解】证明:延长至,使,连接,如图,是的中线,,在和中,,,,,是的中线,,,,,,,在与中,,,,,,【例5-3】(23-24八年级上·江西上饶·期末)如图,中,,于D,且,求.【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质,线段垂直平分线的性质,三角形外角的性质,三角形内角和定理;延长至,使,由等腰三角形的性质得,由三角形外角的性质得,由线段垂直平分线的性质得,由等腰三角形的性质得,由三角形内角和定理得,即可求解;掌握性质,作出适当的辅助线,构建等腰是解题的关键.【详解】解:如图,延长至,使,,,,,,,,,,,,解得:.【变式演练】【变式5-1】(23-24八年级上·吉林松原·期中)数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图1,在中,,,D是的中点,求边上的中线的取值范围.【探究】小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使,请补充完整证明“”的推理过程.(1)求证:证明:延长AD到点E,使在和中(已作),(______),(中点定义),∴(______),(2)探究得出的取值范围是______;(直接写出结果即可)【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.(3)如图2,中,,,是的中线,,,且,求的长.【答案】(1)对顶角相等;SAS(2)(3)【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及等腰三角形的判定和性质.(1)根据题干已知可得;(2)根据全等三角形性质得,利用三角形三边关系即可求得答案;(3)延长交于点,证明,根据全等性质得,,利用得等腰三角形即可求得答案.【详解】(1)证明:延长到点,使在和中,(已作)(对顶角相等)(中点定义)故答案为:对顶角相等;SAS;(2)∵,∴,∴,则,故(3)延长交的延长线于F,∵,,∴,在和中,,∴,∴,,∵,∴,∵∴【变式5-2】(23-24八年级上·江西南昌·期末)如图,在中,,是的角平分线.(1)当时,求的度数;(2)当时,求证:.【答案】(1)(2)见解析【分析】(1),延长至,使,连接,则,再证明,可得,设,则,可表示,及,然后根据三角形内角和定理得出答案;(2),求出,再截取,可证明,进而得出,即可得出结论.【详解】(1)延长至,使,连接,则.,.平分,.,,.设,则,.∵,.在中,,,解得,;(2)∵,且,,在BC上截取,连接DF.平分,.,,,,,,,.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,三角形内角和定理,角平分线定义等,构造全等三角形是解题的关键【变式5-3】(23-24八年级上·吉林白山·阶段练习)如图,为等边内一点,连接、,延长到点,使;延长到点,使,连接、.(1)求证:;(2)求的度数;(3)若,则度.【答案】(1)见解析(2)(3)60【分析】(1)证明,再利用全等三角形性质即可得到;(2)根据题意得到,再利用三角形内角和定理即可得到;(3)延长交于点,得到,再利用三角形内角和定理即可得到.【详解】(1)解:在和中,,∴,∴,∴;(2)解:∵,等边,∴,,∴是等腰三角形,,∴,∴;(3)解:延长交于点,如图:,∵且,∴,∴,∵,∴,故答案为:.【点睛】本题考查全等三角形性质及判定,平行线判断,等腰三角形性质及判定,等边三角形性质,三角形内角和定理等.题型06延长(或截取)法构造三角形【典例分析】【例6-1】(23-24八年级上·重庆开州·阶段练习)已知,如图,中,为外一点,且于点,连接交于点,连接.(1)若,求的度数;(2)求证:.【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,三角形内角和定理,关键是通过作辅助线构造全等三角形.(1)根据等腰三角形的性质,,由,得到,根据三角形内角和定理结合,得到,由即可求解;(2)延长交于点G,证明,得到,,证明,得到,根据,即可证明结论.【详解】(1)解:,,,,,,;(2)证明:如图,延长交于点G,则,,,,,,,,,,,,,,,.【例6-2】(22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习)已知:在中,是边上的中线,分别以边、边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图,求证:.【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证是解题的关键.延长至点,使得,连接,,先证明,即可求得,即可求证,即可解题.【详解】证明:延长至点,使得,连接,,,,,,同理,,,,,在和中,,,,,【例6-3】(23-24八年级上·安徽合肥·期末)如图,在中,,,直线经过点,如图1,直线与线段相交,于,于D,F是的中点,连接、.
(1)求证:;(2)求证:且;(3)当直线与线段不相交,如图2,(2)中的结论还成立吗?请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(2)中结论成立,理由见解析【分析】(1)用证明,可得,,利用线段的和差关系即可完成;(2)延长交于点,利用证明,得,,进而得,由(1)的结论即得,最后可得结论成立;(3)延长交于点,用证明,得,,由(1),得,由等腰三角形的性质即得结论成立.【详解】(1)证明:,,,,,,.在与中,,,,,即.(2)证明:延长交于点,,,,,是中点,,在与中,,,,.在中,是中点,,.而由(1),,又,.
(3)证明:延长交于点,,,,,是中点,,在与中,,,,.在中,是中点,,由(1),,,∴,又,.
【点睛】本题是全等三角形的综合;考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质;构造全等三角形是本题的关键与难点【变式演练】【变式6-1】(22-23八年级上·河南郑州·阶段练习)如图,在正方形中,E、F分别是的中点,交于点G,连接.下列结论:①;②;③;④.其中正确的是()A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③【答案】C【分析】此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.根据正方形的性质得到,得到,根据全等三角形的性质得到,故①正确;求得,根据垂直的定义得到,故②正确;推导出不是等边三角形,进而得到,故③错误;延长交的延长线于,根据线段中点的定义得到,根据全等三角形的性质得到,由是斜边的中线,得到,求得,根据余角的性质得到.故④正确.【详解】解:∵四边形是正方形,∴,∵分别是的中点,∴,∴,在与中,∴,∴,故①正确;∵,∴,∴,∴,故②正确;∵,∴,∴,∵,∴不是等边三角形,∴,故③错误;∵,∴,延长交的延长线于,如图,∵点是的中点,∴,∵,∴,∴,∵是斜边的中线,∴.故④正确;故选:C.【变式6-2】(22-23八年级上·湖北武汉·期中)如图,在中,D是的中点,E是上一点,,的延长线交于点F,若,,则求的度数为.
【答案】/32度【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.延长到G使,连接,通过,根据全等三角形的性质得到,,等量代换得到,由等腰三角形的性质得到,即可得到,进而利用三角形内角和解答即可.【详解】解:如图,延长到G使,连接,
在与中,∴,∴,,∵,∴,∴,∵,∴,∵,,∴,,∴,故答案为:【变式6-3】(23-24八年级上·福建厦门·期中)如图,,与相交于点,.(1)求证:垂直平分;(2)过点作交的延长线于,如果;①求证:是等边三角形;②如果、分别是线段、线段上的动点,当为最小值时,请确定点的位置,并思考此时与有怎样的数量关系.【答案】(1)见解析(2)①证明见解析;②为最小值时,与的数量关系是【分析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质,综合题,理解题意是解决问题的关键.(1)根据,可得,再由证明,则,利用中垂线的判定定理即可证明;(2)①设,根据可得,由于,可得,根据是的外角,则,由于,所以,从而,进而,结论得证;②延长至,使,可得与关于成轴对称,过作于交于,即可,再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系.【详解】(1)证明:,,,,在的垂直平分上,,,在的垂直平分上,垂直平分;(2)①证明:设,,,是的外角,,由(1),,,,,,,,即,则,,,是等边三角形;②为最小值时,与的数量关系是,理由:延长至,使,,与关于成轴对称,过作于交于,连接,,,此时为最小,由①知:,即,即,在中,,,为最小值时,与的数量关系是.题型07倍长中线法构造等腰三角形【典例分析】【例7-1】(22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习)如图,为中线,点在上,交于点.求证:.【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质.延长至点,使,连接,证明,得到,进而得到,得到,根据对顶角相等,推出,即可.解题的关键是添加辅助线,构造全等三角形.【详解】证明:延长至点,使,连接,∵为中线,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴.【例7-2】(23-24八年级上·湖南怀化·期中)问题探究:小圣遇到这样一个问题:如图1,中,是中线,求的取值范围.他的做法是:延长到,使,连接,证明,经过推理和计算使问题得到解决.请回答:(1)小圣证明的判定定理是______;(2)的取值范围是______;方法运用:(3)如图2,是的中线,在上取一点,连接并延长交于点,使,求证:.【答案】(1)边角边(2)(3)证明过程见详解【分析】本题主要考查三角形中线的性质,全等三角形的判定和性质,等边对等角,等角对等边的知识的综合,掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.(1)根据三角形的判定方法即可求解;(2)运用三角形三边关系“两边之差小于第三边,两边之和大于第三边”,由此即可求解;(3)如图所示,延长至点,使得,可证,可得,再根据可证,由此即可求解.【详解】(1)解:是的中线,∴,∵延长到,使,,∴,∴运用的是“边角边”判定定理证明,故答案为:边角边.(2)解:由(1)可知,,∴,在中,,∴,即,∵,∴,故答案为:.(3)证明:如图所示,延长至点,使得,∵是中点,且,,∴,∴,,∵,∴,∵,,∴,∴,且,∴.【例7-3】(23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,中,若,求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长到点,使,请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到的理由是.A.
B.
C.
D.(2)求得的取值范围是.A.
B.
C.
D.【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】如图2,和是两个等腰直角三角形,,,与交于.取的中点,连,探讨与的数量和位置关系.
【答案】(1)B;(2)C;问题解决:,【分析】(1)根据推出和全等即可;(2)根据全等得出,由三角形三边关系定理得出,求出即可;(3)延长到,使,连接,根据证,再根据全等三角形的判定与性质求出即可.【详解】解:∵在和中,,∴,故选:B;(2)解:∵由(1)知:,∴,∵在中,,由三角形三边关系定理得:,∴,故选:C;问题解决:,
理由∶如图2所示,延长到点,使,连接.,延长交于.∵,,,∴,∴,∴,∵,∴.∴,∴.又,∴,∴.,∴
∵,∴,
故,.【点睛】本题考查了三角形的中线,三角形的三边关系定理,等腰三角形性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点,主要考查学生运用定理进行推理的能力.【变式演练】【变式7-1】(23-24八年级上·湖北武汉·期中)如图,是的中线,是上一点,交于,若,,,则的长度为(
)
A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,延长到使得,连接,证明,根据全等三角形的性质可得到,等量代换得到,再由已知条件即可解决问题;【详解】如图,延长到使得,连接,
∵是的中线,∴,在与中,,∴,∴,∵,∴又∵∴∴∴,∴,∵,∴∴故选:D【变式7-2】(22-23八年级上·上海杨浦·期末)已知,如图:中,,是的中线:求证:.
【答案】见解析【分析】利用中线加倍证,可得,,由,可得进而可证,再证即可.【详解】证明:延长到F,使,连接,
∵E是中点,∴,∴在和中,,∴,∴,,∵,∴,又∵,,∴,在和中,,∴,∴.【点睛】本题考查中线加倍构图,三角形全等判定与性质,等腰三角形性质,掌握中线加倍构图,三角形全等判定与性质,等腰三角形性质是解题关键【变式7-3】(23-24八年级上·江苏苏州·期末)【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,中,若,,求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长到点,使,请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到的理由是(
)A.
B.
C.
D.
(2)求得的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.【感悟】解题时,条件中若出现“中点”和“中线’字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,是的中线,交于,交于,且.求证:.【答案】(1)B;(2)A;(3)见解析【分析】本题考查了三角形的中线,三角形的三边关系定理,等腰三角形性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点,主要考查学生运用定理进行推理的能力.(1)根据,,推出和全等即可;(2)根据全等得出,,由三角形三边关系定理得出,求出即可;(3)延长到,使,连接,根据证,推出,,根据,推出,求出,根据等腰三角形的性质求出即可.【详解】(1)解:在和中,,故选B;(2)解:由(1)知:,,,在中,,由三角形三边关系定理得:,,故选C;(3)证明:如图2,延长到,使,连接,是中线,,在和中,,,,,,,,,即.题型08截长补短法构造等腰三角形【典例分析】【例8-1】(23-24八年级下·江西上饶·开学考试)(1)如图1,在中,,点是边上一点,连接,,两点都在线段上,连接,,过作交延长线于点,若,.求证:;(2)如图2,在中,,点为下方一点,连接,,过作交于点,若,,,求的长.【答案】见解析【分析】(1)由,得,则,由,得,所以,而,,即可根据“”证明,则;(2)在上截取,连接,可证明,得,,则,根据平行线的性质得,则,所以,则.【详解】(1)证明:,,,,,∵,,,在和中,,∴,;(2)解:如图2,在上截取,连接,在和中,,,,,,∵,,,,,的长是2.【点睛】此题重点考查等角的补角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识,正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.【例8-2】(22-23八年级上·辽宁大连·阶段练习)数学课上,小白遇到这样一个问题:如图1,在等腰中,,,,求证;在此问题的基础上,老师补充:过点作于点,交于点,过作交于点,交于点,试探究线段之间的数量关系,并说明理由.小白通过研究发现,与有某种数量关系:小明通过研究发现,将三条线段中的两条放到同一条直线上,即截长补短,再通过进一步推理,可以得出结论.阅读上面材料,请回答下面问题:
(1)求证;(2)猜想与的数量关系,并证明;(3)探究线段之间的数量关系,并证明.【答案】(1)见解析(2)相等,见解析(3),见解析【分析】(1)根据“边角边”判定和全等即可求证;(2)是等腰直角三角形,设,根据,用含的式子表示,根据,用含的式子表示,由此即可求解;(3)过点作交延长线于点,延长交于点,可证,可得,根据(2)的结论,可证,可得,再根据可得是等腰三角形,可找出的关系,由此求解.【详解】(1)解:∵在和中,∵,,,∴,∴.(2)解:∵是等腰直角三角形,,,∴,由(1)可知,,设,∵,∴,且,∴在中,,∵,∴,∵,∴,∴.(3)解:过点作交延长线于点,延长交于点,
∵,,∴,在和中,∵,,,∴,∴,,由(2)可知,,∵,∴,∵,,∴,∵,,,∴,∴,,∴,则是等腰三角形,∴,∴,∴.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,线段的和差计算的综合,掌握以上知识的运用是解题的关键【例8-3】(23-24八年级上·辽宁大连·期末)【问题情境】在数学活动课上,李老师给出如下的问题:如图1,已知,,过点B作射线l,点E在的内部,点A和点E关于l对称,交l于点D,连接.证明:.【探究合作】同学们根据问题进行小组合作,下面是第一小组的同学分享的解题过程:小红:除已知所给相等的边和角之外,我们小组还推理得到;小鹏:从结论出发可以“截”较长的线段,本题转化为证明两条线段相等的问题.如图2,在上截取,再证明;小亮:要证明,观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法,如图3,连接,以为目标构造与之全等的三角形;小明:与小鹏的想法类似,但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法.如图4,延长到点G,使,连接,再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明.【推理证明】(1)请你推理出小红的结论;(2)根据第一小组同学们的解题思路,任选一种方法证明.【反思提升】李老师:小鹏和小明利用“截长补短”的方法,将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”,这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决,转化思想在数学学习中无处不在.请同学们反思后解决下面的问题:(3)如图,,,点D是的角平分线上一动点,的垂直平分线交射线于E,求的最小值.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析(3)的最小值是3【分析】(1)对称的性质得到,,,,,推出,设,等边对等角,三角形外角的性质,推出即可;(2)采用小明的方法:连接,易得是等边三角形,证明是等边三角形,推出,即可得出结论.(3)过点C作交BA于点H,交的平分线于点D,垂直平分线的性质,角平分线平分角,推出,进而得到,根据含30度角的直角三角形,得到,进而得到,进而得到当三点共线时,取得最小值为的长,进一步求出结果即可.【详解】(1)∵A、E两点关于l对称∴,,,,,∵,∴,设,则∴∵,∴∵∴∴(2)连接.∵,,∴是等边三角形,∴,,又∵,,∴是等边三角形,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴;(3)过点C作交BA于点H,交的平分线于点D,此时取得最小值;∵点E在的垂直平分线上∴.∴∵BD平分∴∴∴∴在中,∴∴当C、D、H三点共线时最短,此时在中,∴∴的最小值是3.【点睛】本题考查轴对称的性质,等腰三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质.综合性强,难度较大,
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