专题训练：等腰三角形中作辅助线的八种常用方法（解析版）

等腰三角形作辅助线的常用方法题型01等腰三角形中有底边中点时，常作底边上的中线【典例分析】【例1-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D为中点．，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论中错误的是（

）A．B．C．D．始终为等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接；A：证即可判断；B：由题意可推出，，据此即可判断；C：根据即可判断；D：根据即可判断；【详解】解：连接，∵是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，∴∴．故A选项中的结论正确．∵，∴，即．∴，又∵，而与不一定相等，∴不一定等于．故B选项中的结论错误．在中，∴．故C选项中的结论正确．∵，∴，又∵，∴是等腰直角三角形．故D选项中的结论正确．故选：B【例1-2】（20-21八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．(1)求证：；(2)若，则的度数为___________．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的性质得出，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证；（2）根据等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】（1）证明：连接，的垂直平分线交于点，，，，为线段的中点，；（2）解：，，，由（1）知，，，，，，，，．故答案为：．【例1-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，，，D为的中点，E，F分别是，上的点，且，试判断的形状，并说明理由．【答案】等腰直角三角形，见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；通过证明推知；根据全等三角形的性质推知，证出，即可得出结论．熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．【详解】解：为等腰直角三角形．理由：如图所示，连接．∵，D为的中点，∴，∴．∵，，∴．在中，，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴，∴为等腰直角三角形【变式演练】【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（

）A． B． C．减 D．或【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案．【详解】解：连接，∵，，∴，∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，∴，过D作，，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，∴，故选C【变式1-2】（23-24八年级上·北京·期末）如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，利用等腰三角形“三线合一"的性质得，再利用平行线的性质得，从而说明垂直平分，则有；（2）利用等角的余角相等，再利用证明，从而证明结论．【详解】（1）证明：连接AD，，点为的中点，，，，，，，垂直平分，∴；（2）在和中，【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．【变式1-3】（2024八年级·天津·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理．（1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知（2）设，由（1）可知，然后根据的内角和为列出方程即可求出x的值．【详解】（1）证明：连接，∵垂直平分，∴，∵，∴∵D是的中点，∴；（2）解：设∵∴°∴由三角形的外角的性质，∵，∴在中，解得，∴题型02等腰三角形中没有底边中点时，常作底边上的高【典例分析】【例2-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上（不与点，重合），连接．（

）

A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题考查了三角形的中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，等腰三角形的性质是解答本题的关键．过点作，过点作于点，得到是的中位线，得到，进而得到，根据等腰三角形的性质，得到，再根据三角形角和边的关系得到答案．【详解】解：根据题意，如图，过点作，过点作于点，

点是边的中点，是的中位线，，，，，，，，，，，，若，则；若，则；若，则；若，则，故选：【例2-2】（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知．(1)求证：是等腰三角形．(2)当，时，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质．（1）根据等边三角形的性质，即可证明结论；（2）设，则，得，根据三角形内角和定理可得，过D作于H，根据等腰直角三角形的性质即可得的长，进而可得结论．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵，，，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：设，则，∴，∴，∴，∴，∴，如图，过D作于H，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴．【例2-3】（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知在中，，点D是边上一点，．(1)如图1，试说明的理由；(2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F．①试说明的理由；②如果，求的度数．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键．（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答；（2）①过点A作，垂足为H，利用等腰三角形的三线合一性质得出，利用余角的性质证明，即可得证；②根据三角形的外角性质可得，然后利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据即可求解．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∵，∴．∴．∴．（2）解：①过点A作，垂足为H．∵，∴．∵，∴，又，∴，又，∴．即；②∵，∴，∵，∴∵，∴，∵，∴，∴，∴．【变式演练】【变式2-1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若D恰好是的中点，．给出下列四个结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有（

）个．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．证明，可得，，作于点，利用角平分线的性质求得，证明，推出平分；据此即可求解．【详解】解：∵，∴，∵D恰好是的中点，∴，在与中，∵，∴，∴，，故②正确；作于点，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴平分；故①正确；∴，∴，∵是的角平分线，∴，故③正确；∵，∴，故④正确；综上，①②③④都是正确的，故选：A【变式2-2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，与相交于点G．求的度数．【答案】．【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作于点M，过点D作于点N，利用等腰三角形的性质和含30度直角三角形的特征，证明，设，则，，进而得出，再由三角形外角的性质，即可求出的度数．【详解】解：如图，过点A作于点M，过点D作于点N，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，设，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【变式2-3】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分．(1)求证：；(2)若的面积是18，，求长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，证明三角形全等是解题的关键．（1）根据角平分线的性质，平行线的性质，可判断是等腰三角形，再根据等腰三角形的“三线合一”可得是中线，由“”可证；（2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据中线的性质可得，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）解：平分，，．是角平分线，．在和中，，．（2）解：过点作于点，，，平分，，，，即，．题型03等腰三角形中证与腰有关联的线段时，常作腰的平行线【典例分析】【例3-1】（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变，理由见详解【分析】（1）过点作交于，根据题意可知，由平行线的性质以及等腰三角形的性质可推导，即可证明，然后证明，由全等三角形的性质证明即可；（2）由（1）可知，，由等腰三角形“三线合一”的性质可知，再由全等三角形的性质证明，即可推导，即为定值．【详解】（1）证明：过点作交于，如下图，∵点、同时出发，且移动的速度相同，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：的长度保持不变，理由如下：由（1）可知，，∵，∴，由（1）可知，，∴，∴，∴为定值．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解题意，正确作出辅助线是解题关键【例3-2】（22-23八年级上·河南鹤壁·期末）问题初探如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．类比再探如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程）方法迁移如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）．拓展创新如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由．【答案】（1），理由见解析（2）（3）（4），理由见解析【分析】（1）根据题意可推出，然后利用边角边即可证明，即可推出；（2）过点作交于点，则，同（1）可证：，即可算出；（3）根据题意推出，然后利用边角边即可证明，推出，即可推出；（4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解．【详解】解：（1），理由如下：，，即，在和中，，，；（2）如图所示，过点作交于点，，，在中，，，，，同（1）可得：，，，故答案为：；（3）和均为等边三角形，，，，，即，在和中，，，，，，故答案为：；（4），理由如下：如图所示，过点作交于点，，，是等边三角形，，，，，，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等．【变式演练】【变式3-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，与直线相交于点D，求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定定理，全等三角形的性质与判定定理，解决本题关键作出合适的辅助线．过点P作交于点F，根据等腰三角形的判定和性质准备条件，再证即可．【详解】证明：如图，过点P作交于点F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴，∵，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴．【变式3-2】（2024·八年级上·湖北吉林长春·）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．

(1)求证：；(2)若，则的面积为______．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形中线的性质等知识，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质得出，，利用余角的性质可得出，，利用等边对等角得出，，取中点G，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等边对等角得出，然后利用含的直角三角形的性质即可得证；（2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜边上中线的性质求出，则可求的面积，然后利用三角形中线的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵，点D是边的中点，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，取中点G，连接，

∴，∴，，∴，∴，∴（2）解：∵，∴，∵，G为中点，∴，∴，∵点D是边的中点，∴，故答案为：4题型04等腰三角形中证与底有关联的线段时，常作底的平行线【典例分析】【变式4】（22-23八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：．【答案】见解析【分析】过点C作交于G，利用“角边角”证明，则，推出，再根据等角对等边可得．【详解】证明：过点C作交于G，∴，D是的中点，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【变式演练】【变式4-1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，等边中，在边延长线上一点，延长至，使，于，求证：．【答案】证明见解析【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质等知识点，过点作交的延长线于点，证明，可得，根据等腰三角形三线合一性质即可得证．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．【详解】证明：过点作交的延长线于点，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，，∴是等边三角形，，∴，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴．【变式4-2】（22-23八年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且．(1)如图①，当是边的中点时，求证：；(2)如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；(3)若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)成立，理由见解析(3)【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出，则，即可得出结论；（2）过E作交于F，证是等边三角形，得，再证，得，即可得出结论；（3）过E作交的延长线于F，则为等边三角形，得，再证，得，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵为等边三角形，点E为的中点，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：当点E为线段上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：如图②，过E作交AC于F，∵是等边三角形，∴，∴，，即，∴是等边三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴；（3）解：如图③，过E作交的延长线于F，则为等边三角形，，∴，∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，

∴，∴，∴．【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．题型05补形法构造等腰三角形【典例分析】【例5-1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为延长线上一点，为上一点，．(1)求证：；(2)若是的中线，交于点，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、等角的补角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）由，得，因为，，所以，由，得，所以；（2）作交的延长线于点，则，而，且，所以，可证明，得，所以，再证明，得．【详解】（1）证明：，，，，，，，；（2）证明：作交的延长线于点，则，，，且，，是的中线，，在和中，，，，，在和中，，，【例5-2】（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，分别是，的中线，且，求证．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角三角形判定与性质，等腰三角形的性质，倍长中线，构造全等三角形是解题的关键．延长至，使，连接，证明，得，，再证，得，即可得出结论．【详解】证明：延长至，使，连接，如图，是的中线，，在和中，，，，，是的中线，，，，，，，在与中，，，，，，【例5-3】（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，中，，于D，且，求．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理；延长至，使，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质，作出适当的辅助线，构建等腰是解题的关键．【详解】解：如图，延长至，使，，，，，，，，，，，，解得：．【变式演练】【变式5-1】（23-24八年级上·吉林松原·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．【探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．(1)求证：证明：延长AD到点E，使在和中（已作），（______），（中点定义），∴（______），(2)探究得出的取值范围是______；（直接写出结果即可）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．(3)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．【答案】(1)对顶角相等；SAS(2)(3)【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及等腰三角形的判定和性质．（1）根据题干已知可得；（2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案；（3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得等腰三角形即可求得答案．【详解】（1）证明：延长到点，使在和中，（已作）（对顶角相等）（中点定义）故答案为：对顶角相等；SAS；（2）∵，∴，∴，则，故（3）延长交的延长线于F，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵∴【变式5-2】（23-24八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线.(1)当时，求的度数；(2)当时，求证：.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1），延长至，使，连接，则，再证明，可得，设，则，可表示，及，然后根据三角形内角和定理得出答案；（2），求出，再截取，可证明，进而得出，即可得出结论．【详解】（1）延长至，使，连接，则．，．平分，．，，．设，则，.∵，．在中，，，解得，；（2）∵，且，，在BC上截取，连接DF．平分，．，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义等，构造全等三角形是解题的关键【变式5-3】（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，为等边内一点，连接、，延长到点，使；延长到点，使，连接、．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，则度．【答案】(1)见解析(2)(3)60【分析】（1）证明，再利用全等三角形性质即可得到；（2）根据题意得到，再利用三角形内角和定理即可得到；（3）延长交于点，得到，再利用三角形内角和定理即可得到．【详解】（1）解：在和中，，∴，∴，∴；（2）解：∵，等边，∴，，∴是等腰三角形，，∴，∴；（3）解：延长交于点，如图：，∵且，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形性质及判定，平行线判断，等腰三角形性质及判定，等边三角形性质，三角形内角和定理等．题型06延长（或截取）法构造三角形【典例分析】【例6-1】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）已知，如图，中，为外一点，且于点，连接交于点，连接．(1)若，求的度数；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是通过作辅助线构造全等三角形．（1）根据等腰三角形的性质，，由，得到，根据三角形内角和定理结合，得到，由即可求解；（2）延长交于点G，证明，得到，，证明，得到，根据，即可证明结论．【详解】（1）解：，，，，，，；（2）证明：如图，延长交于点G，则，，，，，，，，，，，，，，，．【例6-2】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：在中，是边上的中线，分别以边、边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：．【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．延长至点，使得，连接，，先证明，即可求得，即可求证，即可解题．【详解】证明：延长至点，使得，连接，，，，，，同理，，，，，在和中，，，，，【例6-3】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、．

(1)求证：；(2)求证：且；(3)当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)（2）中结论成立，理由见解析【分析】（1）用证明，可得，，利用线段的和差关系即可完成；（2）延长交于点，利用证明，得，,进而得，由（1）的结论即得，最后可得结论成立；（3）延长交于点，用证明，得，,由（1），得，由等腰三角形的性质即得结论成立．【详解】（1）证明：，，，，，，．在与中，，，，，即．（2）证明：延长交于点，，，，，是中点，，在与中，，，，．在中，是中点，，．而由（1），，又，．

（3）证明：延长交于点，，，，，是中点，，在与中，，，，．在中，是中点，，由（1），，，∴，又，．

【点睛】本题是全等三角形的综合；考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；构造全等三角形是本题的关键与难点【变式演练】【变式6-1】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【答案】C【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．根据正方形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；推导出不是等边三角形，进而得到，故③错误；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故④正确．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵分别是的中点，∴，∴，在与中，∴，∴，故①正确；∵，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴，∴，∵，∴不是等边三角形，∴，故③错误；∵，∴，延长交的延长线于，如图，∵点是的中点，∴，∵，∴，∴，∵是斜边的中线，∴．故④正确；故选：C．【变式6-2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为．

【答案】/32度【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到G使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，即可得到，进而利用三角形内角和解答即可．【详解】解：如图，延长到G使，连接，

在与中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，故答案为：【变式6-3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，．(1)求证：垂直平分；(2)过点作交的延长线于，如果；①求证：是等边三角形；②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①证明见解析；②为最小值时，与的数量关系是【分析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键．（1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明；（2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证；②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系．【详解】（1）证明：，，，，在的垂直平分上，，，在的垂直平分上，垂直平分；（2）①证明：设，，，是的外角，，由（1），，，，，，，，即，则，，，是等边三角形；②为最小值时，与的数量关系是，理由：延长至，使，，与关于成轴对称，过作于交于，连接，，，此时为最小，由①知：，即，即，在中，，，为最小值时，与的数量关系是．题型07倍长中线法构造等腰三角形【典例分析】【例7-1】（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，为中线，点在上，交于点．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长至点，使，连接，证明，得到，进而得到，得到，根据对顶角相等，推出，即可．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．【详解】证明：延长至点，使，连接，∵为中线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【例7-2】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）问题探究：小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小圣证明的判定定理是______；(2)的取值范围是______；方法运用：(3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：．【答案】(1)边角边(2)(3)证明过程见详解【分析】本题主要考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）根据三角形的判定方法即可求解；（2）运用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解；（3）如图所示，延长至点，使得，可证，可得，再根据可证，由此即可求解．【详解】（1）解：是的中线，∴，∵延长到，使，，∴，∴运用的是“边角边”判定定理证明，故答案为：边角边．（2）解：由（1）可知，，∴，在中，，∴，即，∵，∴，故答案为：．（3）证明：如图所示，延长至点，使得，∵是中点，且，，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，且，∴．【例7-3】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到的理由是．A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范围是．A．

B．

C．

D．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如图2，和是两个等腰直角三角形，，，与交于．取的中点，连，探讨与的数量和位置关系．

【答案】（1）B；（2）C；问题解决：，【分析】（1）根据推出和全等即可；（2）根据全等得出，由三角形三边关系定理得出，求出即可；（3）延长到，使，连接，根据证,再根据全等三角形的判定与性质求出即可．【详解】解：∵在和中，，∴，故选：B；（2）解：∵由（1）知：，∴，∵在中，，由三角形三边关系定理得：，∴，故选：C；问题解决：，

理由∶如图2所示，延长到点，使，连接．，延长交于．∵，，，∴，∴，∴，∵，∴．∴，∴．又，∴，∴．，∴

∵，∴，

故，．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．【变式演练】【变式7-1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,延长到使得，连接，证明，根据全等三角形的性质可得到，等量代换得到，再由已知条件即可解决问题；【详解】如图，延长到使得，连接，

∵是的中线，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴又∵∴∴∴，∴，∵，∴∴故选：D【变式7-2】（22-23八年级上·上海杨浦·期末）已知，如图：中，，是的中线：求证：．

【答案】见解析【分析】利用中线加倍证，可得，，由，可得进而可证，再证即可．【详解】证明：延长到F，使，连接，

∵E是中点，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，∴，又∵，，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键【变式7-3】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到的理由是（

）A．

B．

C．

D．

（2）求得的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”和“中线’字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：．【答案】（1）B；（2）A；（3）见解析【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．（1）根据，，推出和全等即可；（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；（3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】（1）解：在和中，，故选B；（2）解：由（1）知：，，，在中，，由三角形三边关系定理得：，，故选C；（3）证明：如图2，延长到，使，连接，是中线，，在和中，，，，，，，，，即．题型08截长补短法构造等腰三角形【典例分析】【例8-1】（23-24八年级下·江西上饶·开学考试）（1）如图1，在中，，点是边上一点，连接，，两点都在线段上，连接，，过作交延长线于点，若，．求证：；（2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，，过作交于点，若，，，求的长．【答案】见解析【分析】（1）由，得，则，由，得，所以，而，，即可根据“”证明，则；（2）在上截取，连接，可证明，得，，则，根据平行线的性质得，则，所以，则．【详解】（1）证明：，，，，，∵，，，在和中，，∴，；（2）解：如图2，在上截取，连接，在和中，，，，，，∵，，，，，的长是2．【点睛】此题重点考查等角的补角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【例8-2】（22-23八年级上·辽宁大连·阶段练习）数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：

(1)求证；(2)猜想与的数量关系，并证明；(3)探究线段之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)相等，见解析(3)，见解析【分析】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证；（2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解；（3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解．【详解】（1）解：∵在和中，∵，，，∴，∴．（2）解：∵是等腰直角三角形，，，∴，由（1）可知，，设，∵，∴，且，∴在中，，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，

∵，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，由（2）可知，，∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，则是等腰三角形，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键【例8-3】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出如下的问题：如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：．【探究合作】同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程：小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到；小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明；小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形；小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明．【推理证明】（1）请你推理出小红的结论；（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明．【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在．请同学们反思后解决下面的问题：（3）如图，，，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3【分析】（1）对称的性质得到，，，，，推出，设，等边对等角，三角形外角的性质，推出即可；（2）采用小明的方法：连接，易得是等边三角形，证明是等边三角形，推出，即可得出结论．（3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，垂直平分线的性质，角平分线平分角，推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，取得最小值为的长，进一步求出结果即可．【详解】（1）∵A、E两点关于l对称∴，，，，，∵，∴，设，则∴∵，∴∵∴∴（2）连接．∵，，∴是等边三角形，∴，，又∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值；∵点E在的垂直平分线上∴．∴∵BD平分∴∴∴∴在中，∴∴当C、D、H三点共线时最短，此时在中，∴∴的最小值是3．【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．综合性强，难度较大，