第05讲多边形的内角和与外角和（原卷版）

第05讲多边形的内角和与外角和1.多边形的内角和：边形的内角和为．注：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于.2.多边形的外角和：任意多边形的外角和都为.注：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.考点剖析（多边形内角和）例1：若一个边形的内角和为，则的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7变式11：已知一个多边形的内角和是，则这个多边形有条边．变式12：如图，六边形的每个内角都相等，连接．(1)求六边形每个内角的度数；(2)求证：．（正多边形内角）例2：正多边形的一个内角的度数不可能是（

）A． B． C． D．变式21：如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是．变式22：已知一个正多边形的边数为．(1)若这个正多边形的一个内角为，求的值．(2)若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求的值．（多边形截角后的内角和）例3：一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（

）．A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8变式31：一个多边形少加一个内角后，其他所有内角的度数和为，则这个内角的度数为°．变式32：（1）如图1，这是一个五角星，则15．（2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．（3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．

（正多边形的外角）例4：如图所示，小华从O点出发，沿直线前进15米后左转，再沿直线前进15米后又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（

）A．120米 B．150米 C．180米 D．240米变式41：《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图，则的度数是．变式42：如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．根据以上信息，解答下列问题：(1)n的值为____________．(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．（多边形外角和）例5：一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12变式51：如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形是边形．变式52：如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．

(1)该五边形广场的内角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是度；(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．（多边形内角和与外角和结合）例6：一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为，则这个正多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8变式61：一个多边形的每一个内角都比外角多60°，那么这个多边形的边数是．变式62：和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．(1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由；(2)设的边数为①若，求的值；②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．过关检测选择题（共6题，每题4分）1．已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为（

）A．6 B．7 C．8 D．92．如图，将一个三角形剪去一个的内角，剩下图形的内角和是（

）A． B． C． D．3．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画6条对角线，则这个多边形的边数为（

）A．7 B．8 C．9 D．104．如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮拼接而成，那么一块正五边形黑皮的内角和是（

）A． B． C． D．5．如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走（

）A．360米 B．480米 C．540米 D．600米6．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（）A．45° B．50° C．55° D．60°填空题（共8题，每题4分）7．正方形的内角和是．8．已知一个多边形的内角和等于，则这个多边形是边形.9．一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形是边形．10．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为的扇形草坪（图中阴影部分），图中草坪的面积为．11．在四边形中，，且与互补，则．12．如图，将等腰三角形剪去顶角后，得到一个四边形，若，则．

13．如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么度．14．（1）如图1所示，；（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为；二环五边形的内角和为；二环n边形的内角和为．解答题（共5题，前三题每题8分，后两题每题10分）15．一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，求：这个多边形是几边形？这个多边形共有多少条对角线？16．如图，在四边形中，，．(1)当时，求的度数．(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．17．如图，在四边形中，平分，平分．(1)若，，求、、的度数．(2)若，则______，______；若，则______，______．(3)根据（2）的结论，请猜想与之间的关系，并说明理由．18．阅读材料：我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其它求角度的问题，如图，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连接对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和为．解决问题：（1）如图①，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的数量．小明得出的结论是．他的证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．证明：连接并延长到点．联系拓广：（2）下面图②的五角星和图③的六角星都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分化成的．请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：①图②中，的度数为__________；②图③中，的度数为______