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文档简介

专题7.6复数的三角表示(重难点题型检测)【人教A版2019】考试时间:60分钟;满分:100分姓名:___________班级:___________考号:___________考卷信息:本卷试题共22题,单选8题,多选4题,填空4题,解答6题,满分100分,限时60分钟,本卷题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可衡量学生掌握本节内容的具体情况!一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2023·高一课时练习)下列结论中正确的是(

).A.复数z的任意两个辐角之间都差2πB.任何一个非零复数的辐角有无数个,但辐角主值有且只有一个;C.实数0不能写成三角形式;D.复数0的辐角主值是0.2.(3分)(2022·全国·高三专题练习)复数z=cos−2A.8π5 B.−8π5 3.(3分)复数12−3A.cos−π3C.cosπ3−4.(3分)(2023·高一课时练习)将复数1+3i对应的向量ON绕原点按顺时针方向旋转π2,得到的向量为OA.3−i B.3+i C.−35.(3分)(2023·高一课时练习)已知i为虚数单位,z1=2cos60°+isinA.4cos90°+iC.4cos30°−i6.(3分)(2022·全国·高三专题练习)棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7.(3分)(2022·高一课时练习)把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM且模相等,已知zA.−2−2i,3π4 B.−28.(3分)(2022春·福建福州·高二期末)已知i为虚数单位,若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2A.若z=cosπ6+iB.若z=cosπ5+iC.若z1=2(cos7π12+isin7πD.若z1=3(cosπ12−isinπ二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022·全国·高一假期作业)以下不是复数−1−3i的三角形式是(A.−2cosπ3C.2sin7π10.(4分)(2022·高一单元测试)已知单位向量OZ1、OZ2分别对应复数z1A.i B.1 C.−1 D.−11.(4分)(2022春·江苏盐城·高一阶段练习)任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成:z=r(cosθ+isinθ)的形式,通常称之为复数A.z2=|z|2 B.当r=2C.当r=1,θ=π3时,z3=−1 D.当r=1,θ=π12.(4分)(2022·高一单元测试)著名的欧拉公式为:eiπ+1=0,其中i2=−1,e为自然对数的底数,它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系.其广义一般式是eiA.lnB.若复数z满足z=12C.若复数eiα与复数eD.复数eiα与复数三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2023·高一课时练习)−cosα+isinα14.(4分)(2023·高一课时练习)已知z的辐角主值是π4,则它的共轭复数的辐角主值是15.(4分)(2022春·福建漳州·高一期末)如果向量OZ对应复数−2i,OZ绕原点O按顺时针方向旋转π4后再把模变为原来的32倍得到向量OZ116.(4分)(2022春·浙江·高二期末)人教版新教材中增加了如下内容:任何一个复数z=a+bi(其中a、b∈R,i为虚数单位)都可以表示成:z=rcosθ+isinθ的形式,通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:zn=①z2②当r=1,θ=π6时,③当r=2,θ=π3时,④当r=1,θ=π4时,若n为偶数,则复数⑤1+i=四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2023·高一课时练习)求复数−1+cos18.(6分)(2022·高一课时练习)如图,向量OZ对应的复数为1+i,把OZ绕点O按逆时针方向旋转120°,得到OZ'.求向量19.(8分)(2022·高一课时练习)把下列复数表示成三角形式,并画出与之对应的向量.(1)6;(2)1+i(3)1−3(4)−320.(8分)(2022·全国·高一假期作业)计算下列各式:(1)16cos(2)3cos(3)−1+i21.(8分)(2022·高二课时练习)已知复数z1,z2,(1)若z1=32+12i,向量(2)若z1−z22.(8分)(2022·全国·高一专题练习)一般地,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成rcosθ+isinθ形式,其中,r是复数z的模,θ是以x轴的非负半轴为始边,向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角,rcosθ+(1)画出复数z=1−i对应的向量,并把z=1−(2)已知z1=cosθ1+isinθ1,专题7.6复数的三角表示(重难点题型检测)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2023·高一课时练习)下列结论中正确的是(

).A.复数z的任意两个辐角之间都差2πB.任何一个非零复数的辐角有无数个,但辐角主值有且只有一个;C.实数0不能写成三角形式;D.复数0的辐角主值是0.【解题思路】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.【解答过程】A:复数0的辐角为任意值,其两个辐角之差不一定为2πB:任何一个非零复数的辐角有无数个,但辐角主值有且只有一个,正确;C:0×(cosθ+iD:复数0的辐角主值不唯一,错误.故选:B.2.(3分)(2022·全国·高三专题练习)复数z=cos−2A.8π5 B.−8π5 【解题思路】设出辐角为θ,利用公式计算出θ=−25π+2【解答过程】设复数z=cos−2则tanθ=所以θ=−25π+2因为argz∈所以当k=1时,满足要求,arg所以辐角主值为8π故选:A.3.(3分)复数12−3A.cos−π3C.cosπ3−【解题思路】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式,写出复数的三角形式.【解答过程】由cos(5π3故选:A.4.(3分)(2023·高一课时练习)将复数1+3i对应的向量ON绕原点按顺时针方向旋转π2,得到的向量为OA.3−i B.3+i C.−3【解题思路】先将复数1+3【解答过程】复数1+3i的三角形式是2cos2cos故选:A.5.(3分)(2023·高一课时练习)已知i为虚数单位,z1=2cos60°+isinA.4cos90°+iC.4cos30°−i【解题思路】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【解答过程】∵z∴=4cos60°+300°=4cos故选:D.6.(3分)(2022·全国·高三专题练习)棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解题思路】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可.【解答过程】解:由已知得cosπ∴复数cosπ6+故选:C.7.(3分)(2022·高一课时练习)把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM且模相等,已知zA.−2−2i,3π4 B.−2【解题思路】由题可知z1cosπ4+i【解答过程】由题可知z1则z1∴z可知z1对应的坐标为−2,故选:B.8.(3分)(2022春·福建福州·高二期末)已知i为虚数单位,若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2A.若z=cosπ6+iB.若z=cosπ5+iC.若z1=2(cos7π12+isin7πD.若z1=3(cosπ12−isinπ【解题思路】A.z4=cos4π6B.z5=cosC.z1z2D.z1z2【解答过程】A.若z=cosπ6+isinπ6,则B.若z=cosπ5+isinπC.若z1=2(cos7π12+isin7π12)D.z1=3(cos23π12+isin23π12)故选:A.二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022·全国·高一假期作业)以下不是复数−1−3i的三角形式是(A.−2cosπ3C.2sin7π【解题思路】提取复数的模,结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式.【解答过程】解:−1−3i=2故选:AD.10.(4分)(2022·高一单元测试)已知单位向量OZ1、OZ2分别对应复数z1A.i B.1 C.−1 D.−【解题思路】根据题意,设复数z1=cosθ1【解答过程】因为单位向量OZ1、设复数z1=cos因为OZ1⋅OZ所以z1故选:AD.11.(4分)(2022春·江苏盐城·高一阶段练习)任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成:z=r(cosθ+isinθ)的形式,通常称之为复数A.z2=|z|2 B.当r=2C.当r=1,θ=π3时,z3=−1 D.当r=1,θ=π【解题思路】根据复数的相关定义及性质,逐项分析即可得出答案.【解答过程】对于复数z=a+biz2∴z2=根据复数的三角形式,r=2,θ=π6时,此时,z=r=1,θ=π3根据棣莫弗定理,z3r=1,θ=π4时,zn设n=2k,k∈Z∗,zn所以k为奇数时,zn为纯虚数;k为偶数时z故选:AC.12.(4分)(2022·高一单元测试)著名的欧拉公式为:eiπ+1=0,其中i2=−1,e为自然对数的底数,它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系.其广义一般式是eiA.lnB.若复数z满足z=12C.若复数eiα与复数eD.复数eiα与复数【解题思路】对于A:根据已知得12对于B:由已知计算得z2021对于C:由已知得eiα对应的向量坐标为cosα,sinα对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断.【解答过程】∵12+32∵12+32∵eiα对应的向量坐标为cosα,sinα∴cosαcosβ+sinβsinα=0,即cosα−β=0,又∵eiα=cosα+isinα,复数ie故选:ABD.三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2023·高一课时练习)−cosα+isinα【解题思路】设−cosα+isinα【解答过程】令−cosα+i所以r=1cosθ=−cos所以三角形式可写成cos(故答案为:cos(14.(4分)(2023·高一课时练习)已知z的辐角主值是π4,则它的共轭复数的辐角主值是7π【解题思路】根据复数的三角表示可得z=r22+【解答过程】解:z的辐角主值是π4,则z=rcosπ所以共轭复数z=r则共轭复数的辐角主值是7π故答案为:7π15.(4分)(2022春·福建漳州·高一期末)如果向量OZ对应复数−2i,OZ绕原点O按顺时针方向旋转π4后再把模变为原来的32倍得到向量OZ1【解题思路】先求出复数−2i的三角形式,然后利用三角形式变换求解O【解答过程】解:因为−2i所以由题意可得OZ2=3=3=3×=−3故答案为:−316.(4分)(2022春·浙江·高二期末)人教版新教材中增加了如下内容:任何一个复数z=a+bi(其中a、b∈R,i为虚数单位)都可以表示成:z=rcosθ+isinθ的形式,通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:zn①z2②当r=1,θ=π6时,③当r=2,θ=π3时,④当r=1,θ=π4时,若n为偶数,则复数⑤1+i=【解题思路】利用复数的模长公式可判断①的正误,利用复数的三角运算可判断②③④⑤的正误.【解答过程】对于①,z2所以,z2=r2cos所以,z2=z对于②,当r=1,θ=π6时,z6对于③,当r=2,θ=π3时,z=2cosπ3对于④,当r=1,θ=π4时,取n=4,则z4对于⑤,2cosπ4故答案为:①③⑤.四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2023·高一课时练习)求复数−1+cos【解题思路】根据三角很恒等变换换成Z=a+bi=【解答过程】−1+=2sin故复数−1+cos2π18.(6分)(2022·高一课时练习)如图,向量OZ对应的复数为1+i,把OZ绕点O按逆时针方向旋转120°,得到OZ'.求向量【解题思路】根据复数乘法的几何意义,向量OZ'对应的复数是复数1+i与z0【解答过程】解:向量OZ(1+i)(=(1+i)=−1−19.(8分)(2022·高一课时练习)把下列复数表示成三角形式,并画出与之对应的向量.(1)6;(2)1+i(3)1−3(4)−3【解题思路】对(1)(2)(3)(4)中的复数,先画出图像,结合图像求得辐角主值和模,从而求得其三角形式.【解答过程】(1)设复数的模为r,辐角主值为θ.6对应的向量如下图中OZ∵r=6,cosθ=1,sinθ=0,又∴θ=0,∴6=6(cos(2)设复数的模为r,辐角主值为θ.1+i对应的向量如下图中O∵r=2,cosθ=2又θ∈[0,2π),∴∴1+i(3)设复数的模为r,辐角主值为θ.1−3i对应的向量如下图中∵r=1+3=2,cosθ=又θ∈[0,2π),∴∴1−3(4)设复数的模为r,辐角主值为θ.−32+∵r=1,cosθ=−32又θ∈[0,2π∴θ=5∴−320.(8分)(2022·全国·高一假期作业)计算下列各式:(1)16cos(2)3cos(3)−1+i【解题思路】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可.【解答过程】(1)16

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