举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题7.6 复数的三角表示（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题7.6复数的三角表示（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·高一课时练习）下列结论中正确的是（

）．A．复数z的任意两个辐角之间都差2πB．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；C．实数0不能写成三角形式；D．复数0的辐角主值是0．2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）复数z=cos−2A．8π5 B．−8π5 3．（3分）复数12−3A．cos−π3C．cosπ3−4．（3分）（2023·高一课时练习）将复数1+3i对应的向量ON绕原点按顺时针方向旋转π2，得到的向量为OA．3−i B．3+i C．−35．（3分）（2023·高一课时练习）已知i为虚数单位，z1=2cos60°+isinA．4cos90°+iC．4cos30°−i6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．（3分）（2022·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知zA．−2−2i，3π4 B．−28．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i为虚数单位，若z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2A．若z=cosπ6+iB．若z=cosπ5+iC．若z1=2(cos7π12+isin7πD．若z1=3(cosπ12−isinπ二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一假期作业）以下不是复数−1−3i的三角形式是（A．−2cosπ3C．2sin7π10．（4分）（2022·高一单元测试）已知单位向量OZ1、OZ2分别对应复数z1A．i B．1 C．−1 D．−11．（4分）（2022春·江苏盐城·高一阶段练习）任何一个复数z=a+bi（其中a,b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z=r(cosθ+isinθ)的形式，通常称之为复数A．z2=|z|2 B．当r=2C．当r=1，θ=π3时，z3=−1 D．当r=1，θ=π12．（4分）（2022·高一单元测试）著名的欧拉公式为：eiπ+1=0，其中i2=−1，e为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是eiA．lnB．若复数z满足z=12C．若复数eiα与复数eD．复数eiα与复数三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·高一课时练习）−cosα+isinα14．（4分）（2023·高一课时练习）已知z的辐角主值是π4，则它的共轭复数的辐角主值是15．（4分）（2022春·福建漳州·高一期末）如果向量OZ对应复数−2i,OZ绕原点O按顺时针方向旋转π4后再把模变为原来的32倍得到向量OZ116．（4分）（2022春·浙江·高二期末）人教版新教材中增加了如下内容：任何一个复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z=rcosθ+isinθ的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn=①z2②当r=1，θ=π6时，③当r=2，θ=π3时，④当r=1，θ=π4时，若n为偶数，则复数⑤1+i=四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·高一课时练习）求复数−1+cos18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量OZ对应的复数为1+i，把OZ绕点O按逆时针方向旋转120°，得到OZ'.求向量19．（8分）（2022·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．(1)6；(2)1+i(3)1−3(4)−320．（8分）（2022·全国·高一假期作业）计算下列各式：(1)16cos(2)3cos(3)−1+i21．（8分）（2022·高二课时练习）已知复数z1,z2,（1）若z1=32+12i,向量（2）若z1−z22．（8分）（2022·全国·高一专题练习）一般地，任何一个复数z=a+bi（a，b∈R）都可以表示成rcosθ+isinθ形式，其中，r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，rcosθ+(1)画出复数z=1−i对应的向量，并把z=1−(2)已知z1=cosθ1+isinθ1，专题7.6复数的三角表示（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·高一课时练习）下列结论中正确的是（

）．A．复数z的任意两个辐角之间都差2πB．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；C．实数0不能写成三角形式；D．复数0的辐角主值是0．【解题思路】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.【解答过程】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为2πB：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；C：0×(cosθ+iD：复数0的辐角主值不唯一，错误.故选：B.2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）复数z=cos−2A．8π5 B．−8π5 【解题思路】设出辐角为θ，利用公式计算出θ=−25π+2【解答过程】设复数z=cos−2则tanθ=所以θ=−25π+2因为argz∈所以当k=1时，满足要求，arg所以辐角主值为8π故选：A.3．（3分）复数12−3A．cos−π3C．cosπ3−【解题思路】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式.【解答过程】由cos(5π3故选：A.4．（3分）（2023·高一课时练习）将复数1+3i对应的向量ON绕原点按顺时针方向旋转π2，得到的向量为OA．3−i B．3+i C．−3【解题思路】先将复数1+3【解答过程】复数1+3i的三角形式是2cos2cos故选：A.5．（3分）（2023·高一课时练习）已知i为虚数单位，z1=2cos60°+isinA．4cos90°+iC．4cos30°−i【解题思路】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【解答过程】∵z∴=4cos60°+300°=4cos故选：D.6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解题思路】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．【解答过程】解：由已知得cosπ∴复数cosπ6+故选：C．7．（3分）（2022·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知zA．−2−2i，3π4 B．−2【解题思路】由题可知z1cosπ4+i【解答过程】由题可知z1则z1∴z可知z1对应的坐标为−2,故选：B.8．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i为虚数单位，若z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2A．若z=cosπ6+iB．若z=cosπ5+iC．若z1=2(cos7π12+isin7πD．若z1=3(cosπ12−isinπ【解题思路】A.z4=cos4π6B.z5=cosC.z1z2D.z1z2【解答过程】A.若z=cosπ6+isinπ6，则B.若z=cosπ5+isinπC.若z1=2(cos7π12+isin7π12)D.z1=3(cos23π12+isin23π12)故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一假期作业）以下不是复数−1−3i的三角形式是（A．−2cosπ3C．2sin7π【解题思路】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【解答过程】解：−1−3i=2故选：AD.10．（4分）（2022·高一单元测试）已知单位向量OZ1、OZ2分别对应复数z1A．i B．1 C．−1 D．−【解题思路】根据题意，设复数z1=cosθ1【解答过程】因为单位向量OZ1、设复数z1=cos因为OZ1⋅OZ所以z1故选：AD.11．（4分）（2022春·江苏盐城·高一阶段练习）任何一个复数z=a+bi（其中a,b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z=r(cosθ+isinθ)的形式，通常称之为复数A．z2=|z|2 B．当r=2C．当r=1，θ=π3时，z3=−1 D．当r=1，θ=π【解题思路】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.【解答过程】对于复数z=a+biz2∴z2=根据复数的三角形式，r=2，θ=π6时，此时，z=r=1，θ=π3根据棣莫弗定理，z3r=1，θ=π4时，zn设n=2k,k∈Z∗,zn所以k为奇数时，zn为纯虚数；k为偶数时z故选：AC.12．（4分）（2022·高一单元测试）著名的欧拉公式为：eiπ+1=0，其中i2=−1，e为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是eiA．lnB．若复数z满足z=12C．若复数eiα与复数eD．复数eiα与复数【解题思路】对于A：根据已知得12对于B：由已知计算得z2021对于C：由已知得eiα对应的向量坐标为cosα,sinα对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．【解答过程】∵12+32∵12+32∵eiα对应的向量坐标为cosα,sinα∴cosαcosβ+sinβsinα=0，即cosα−β=0，又∵eiα=cosα+isinα，复数ie故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·高一课时练习）−cosα+isinα【解题思路】设−cosα+isinα【解答过程】令−cosα+i所以r=1cosθ=−cos所以三角形式可写成cos(故答案为：cos(14．（4分）（2023·高一课时练习）已知z的辐角主值是π4，则它的共轭复数的辐角主值是7π【解题思路】根据复数的三角表示可得z=r22+【解答过程】解：z的辐角主值是π4，则z=rcosπ所以共轭复数z=r则共轭复数的辐角主值是7π故答案为：7π15．（4分）（2022春·福建漳州·高一期末）如果向量OZ对应复数−2i,OZ绕原点O按顺时针方向旋转π4后再把模变为原来的32倍得到向量OZ1【解题思路】先求出复数−2i的三角形式，然后利用三角形式变换求解O【解答过程】解：因为−2i所以由题意可得OZ2=3=3=3×=−3故答案为：−316．（4分）（2022春·浙江·高二期末）人教版新教材中增加了如下内容：任何一个复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z=rcosθ+isinθ的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn①z2②当r=1，θ=π6时，③当r=2，θ=π3时，④当r=1，θ=π4时，若n为偶数，则复数⑤1+i=【解题思路】利用复数的模长公式可判断①的正误，利用复数的三角运算可判断②③④⑤的正误.【解答过程】对于①，z2所以，z2=r2cos所以，z2=z对于②，当r=1，θ=π6时，z6对于③，当r=2，θ=π3时，z=2cosπ3对于④，当r=1，θ=π4时，取n=4，则z4对于⑤，2cosπ4故答案为：①③⑤.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·高一课时练习）求复数−1+cos【解题思路】根据三角很恒等变换换成Z=a+bi=【解答过程】−1+=2sin故复数−1+cos2π18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量OZ对应的复数为1+i，把OZ绕点O按逆时针方向旋转120°，得到OZ'.求向量【解题思路】根据复数乘法的几何意义，向量OZ'对应的复数是复数1+i与z0【解答过程】解：向量OZ(1+i)(=(1+i)=−1−19．（8分）（2022·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．(1)6；(2)1+i(3)1−3(4)−3【解题思路】对（1）（2）（3）（4）中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得其三角形式.【解答过程】（1）设复数的模为r，辐角主值为θ．6对应的向量如下图中OZ∵r=6，cosθ=1，sinθ=0，又∴θ=0，∴6=6(cos（2）设复数的模为r，辐角主值为θ．1+i对应的向量如下图中O∵r=2，cosθ=2又θ∈[0,2π)，∴∴1+i（3）设复数的模为r，辐角主值为θ．1−3i对应的向量如下图中∵r=1+3=2，cosθ=又θ∈[0,2π)，∴∴1−3（4）设复数的模为r，辐角主值为θ．−32+∵r=1，cosθ=−32又θ∈[0,2π∴θ=5∴−320．（8分）（2022·全国·高一假期作业）计算下列各式：(1)16cos(2)3cos(3)−1+i【解题思路】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可.【解答过程】(1)16