2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数学案含解析北师大版必修4

PAGE3二倍角的三角函数考纲定位重难突破1.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系．2.能运用二倍角公式推导出半角公式，理解倍角公式和半角公式的内在联系、结构特点．3.娴熟驾驭二倍角的余弦公式及其变形．4.能用三角函数的相关公式解决三角函数的综合问题.重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式及其应用．2.半角公式的应用．难点：二倍角、半角公式的敏捷应用.授课提示：对应学生用书第64页[自主梳理]1．二倍角公式2．半角公式[双基自测]1．sin75°cos75°的值等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．1解析：sin75°cos75°＝eq\f(1,2)sin150°＝eq\f(1,4).答案：A2．若x＝eq\f(π,12)，则cos2x－sin2x的值等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：cos2x－sin2x＝cos2x＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).答案：D3．已知tanα＝－eq\f(3,4)，则tan2α等于()A.eq\f(7,24) B．－eq\f(7,24)C.eq\f(24,7) D．－eq\f(24,7)解析：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－\f(3,4),1－－\f(3,4)2)＝－eq\f(24,7).答案：D授课提示：对应学生用书第64页探究一利用倍角、半角公式求值[典例1](1)已知x∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，sin(eq\f(π,4)－x)＝－eq\f(3,5)，求cos2x的值；(2)已知sin(90°＋θ)＝－eq\f(3,5)，且180°＜θ＜270°，求taneq\f(θ,2).[解析](1)解法一∵sin(eq\f(π,4)－x)＝－eq\f(3,5)，x∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴eq\f(π,4)－x∈(－eq\f(π,4)，0)，cos(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(4,5)，∴cos2x＝sin(eq\f(π,2)－2x)＝sin[2(eq\f(π,4)－x)]＝2sin(eq\f(π,4)－x)cos(eq\f(π,4)－x)＝2×(－eq\f(3,5))×eq\f(4,5)＝－eq\f(24,25).解法二由已知条件得cosx－sinx＝－eq\f(3\r(2),5).将此式两边平方得2sinxcosx＝eq\f(7,25)，∵sin2x＝eq\f(7,25).∴x∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴2x∈(eq\f(π,2)，π)．∴cos2x＝－eq\r(1－sin22x)＝－eq\r(1－\f(7,25)2)＝－eq\f(24,25).(2)解法一由sin(90°＋θ)＝－eq\f(3,5)，得cosθ＝－eq\f(3,5)，∵180°＜θ＜270°，∴90°＜eq\f(θ,2)＜135°，∴taneq\f(θ,2)＜0，∴taneq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))＝－eq\r(\f(1－－\f(3,5),1＋－\f(3,5)))＝－2.解法二由sin(90°＋θ)＝－eq\f(3,5)，得cosθ＝－eq\f(3,5)，∵180°＜θ＜270°，∴sinθ＜0，∴sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\r(1－\f(9,25))＝－eq\f(4,5)，∴taneq\f(θ,2)＝eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(－\f(4,5),1＋－\f(3,5))＝－2.己知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)视察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．1．已知锐角α，β，且tanα＝2，cosβ＝eq\f(5,13)，求：(1)sin2α；(2)tan(2α－β)．解析：(1)∵tanα＝2，∴sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2×2,22＋1)＝eq\f(4,5).(2)∵tanα＝2，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).∵cosβ＝eq\f(5,13)，且β为锐角，∴sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\f(5,13)2)＝eq\f(12,13)，∴tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝eq\f(\f(12,13),\f(5,13))＝eq\f(12,5)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2α·tanβ)＝eq\f(－\f(4,3)－\f(12,5),1＋－\f(4,3)×\f(12,5))＝eq\f(56,33).探究二利用倍角、半角公式化简与证明[典例2]化简：[eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)](1＋tanα·taneq\f(α,2))．[解析][eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)](1＋tanα·taneq\f(α,2))＝(eq\f(1＋cosα,sinα)－eq\f(1－cosα,sinα))(1＋eq\f(sinα,cosα)·eq\f(1－cosα,sinα))＝eq\f(2cosα,sinα)(1＋eq\f(1－cosα,cosα))＝eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(1,cosα)＝eq\f(2,sinα).化简三角函数的多种方法：(1)考虑角不同而想到异角化同角法；(2)考虑角之间的相互关系而想到角变换法；(3)分式形式将分子、分母分别进行变形整理，提取公因式的约分法；(4)根式利用倍角公式去根号时要留意三角函数值的符号；(5)形如1＋cosα化为2cos2eq\f(α,2)，1－cosα化为2sin2eq\f(α,2)；(6)遇到asinx＋bcosx，引入协助角化为Asin(x＋φ)的变换方法．这些是化简三角函数式的特别重要和常用的方法．对于解决三角函数的其他问题，如求值、证明等，都会用到这些常见方法．2．求证：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α.证明：左边＝eq\f(cos2α,\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2α,\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cosα)＝sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)cosα＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右边．∴原式成立．探究三三角恒等变换的应用[典例3]已知函数f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[0，eq\f(π,2)]时，求函数f(x)的最大值及相应的x值．[解析]f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(1)令2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)．(2)由x∈[0，eq\f(π,2)]可得eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6).所以，当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)时，f(x)取最大值，最大值为2.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再探讨f(x)的有关性质，留意运用整体代换的思想将ωx＋φ看成一个整体去探讨最值及单调性问题．3．已知向量a＝(cosx，cosx)，b＝(sinx，－cosx)，记函数f(x)＝2a·b＋1，其中x∈R(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈(0，eq\f(π,2))，且f(eq\f(α,2))＝eq\f(2,3)，求cos2α的值．解析：(1)f(x)＝2(sinxcosx－cos2x)＋1＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))，∴函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，(2)∵f(eq\f(α,2))＝sinα－cosα＝eq\f(2,3)，∴1－2sinαcosα＝eq\f(4,9)，∴2sinαcosα＝eq\f(5,9)，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(14,9).∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα＋cosα＝eq\f(\r(14),3).又cosα－sinα＝－eq\f(2,3)，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝－eq\f(2\r(14),9).给三角函数去肯定值符号时易错[典例]已知：eq\f(3π,2)＜α＜2π，化简eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα)).[规范解答]eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1＋cosα,2)))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cos2\f(α,2)))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)|cos\f(α,2)|).因为eq\f(3π,2)＜α＜2π，所以eq\