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文档简介

江苏省常州市戚墅堰中学2025届高三数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,是空间两条不同的直线,,是空间两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,,则;②若,,,则;③若,,,则;④若,,,,则.其中正确的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④2.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关”D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关”3.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()A.4 B.5 C.6 D.74.将函数向左平移个单位,得到的图象,则满足()A.图象关于点对称,在区间上为增函数B.函数最大值为2,图象关于点对称C.图象关于直线对称,在上的最小值为1D.最小正周期为,在有两个根5.函数f(x)=的图象大致为()A. B.C. D.6.设点是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,若,则()A. B. C. D.7.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B. C. D.8.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()A. B. C. D.9.在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分别为:.假设蚂蚁窝在点,一只蚂蚁从点出发,需要在,上分别任意选择一点留下信息,然后再返回点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是()A. B. C. D.10.已知曲线的一条对称轴方程为,曲线向左平移个单位长度,得到曲线的一个对称中心的坐标为,则的最小值是()A. B. C. D.11.函数的图象大致为()A. B.C. D.12.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:对任意都有零点;则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,的系数为______用数字作答14.在如图所示的三角形数阵中,用表示第行第个数,已知,且当时,每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和,即,若,则正整数的最小值为______.15.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发,为了打赢疫情防控阻击战,我省某医院选派2名医生,6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作,每地一名医生,3名护士,其中甲乙两名护士不到同一地,共有__________种选派方法.16.设点P在函数的图象上,点Q在函数的图象上,则线段PQ长度的最小值为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xoy中,曲线C的方程为.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C的极坐标方程,并求出直线l与曲线C的交点M,N的极坐标;(2)设P是椭圆上的动点,求面积的最大值.18.(12分)某中学准备组建“文科”兴趣特长社团,由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按照,,,,分成5组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为“文科方向”学生,低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计(1)根据已知条件完成下面列联表,并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关?(2)将频率视为概率,现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中“文科方向”的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列、期望和方差.参考公式:,其中.参考临界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)已知动圆经过点,且动圆被轴截得的弦长为,记圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的标准方程;(2)设点的横坐标为,,为圆与曲线的公共点,若直线的斜率,且,求的值.20.(12分)2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用(百万元)和销量(万盒)的统计数据如下:研发费用(百万元)2361013151821销量(万盒)1122.53.53.54.56(1)求与的相关系数精确到0.01,并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:时,可用线性回归方程模型拟合);(2)该药企准备生产药品的三类不同的剂型,,,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测.第一次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,,第二次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,.两次检测过程相互独立,设经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,求的数学期望.附:(1)相关系数(2),,,.21.(12分)设函数,.(1)求函数的极值;(2)对任意,都有,求实数a的取值范围.22.(10分)已知椭圆的短轴长为,离心率,其右焦点为.(1)求椭圆的方程;(2)过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解:①:、也可能相交或异面,故①错②:因为,,所以或,因为,所以,故②对③:或,故③错④:如图因为,,在内过点作直线的垂线,则直线,又因为,设经过和相交的平面与交于直线,则又,所以因为,,所以,所以,故④对.故选:C【点睛】考查线面平行或垂直的判断,基础题.2、B【解析】

通过与表中的数据6.635的比较,可以得出正确的选项.【详解】解:,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”,故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题,属于基础题.3、C【解析】

根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得:,故选:C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算,解题的关键是理解程序框图运行的过程.4、C【解析】

由辅助角公式化简三角函数式,结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式,结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数,则,将向左平移个单位,可得,由正弦函数的性质可知,的对称中心满足,解得,所以A、B选项中的对称中心错误;对于C,的对称轴满足,解得,所以图象关于直线对称;当时,,由正弦函数性质可知,所以在上的最小值为1,所以C正确;对于D,最小正周期为,当,,由正弦函数的图象与性质可知,时仅有一个解为,所以D错误;综上可知,正确的为C,故选:C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简,三角函数图象平移变换,正弦函数图象与性质的综合应用,属于中档题.5、D【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项,再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(-x)=≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称,排除选项B,C.又f(2)==-<0.排除A,故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象,属于中档题.6、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故选B点睛:本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.7、D【解析】

试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算.8、D【解析】

如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.【详解】如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.因为,故四边形为平行四边形,故.又双曲线为中心对称图形,故.设,则,故,故.因为为直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于的方程,本题属于难题.9、C【解析】

将四面体沿着劈开,展开后最短路径就是的边,在中,利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体沿着劈开,展开后如下图所示:最短路径就是的边.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故选:C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理的内容,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.10、C【解析】

在对称轴处取得最值有,结合,可得,易得曲线的解析式为,结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.,又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..,注意到故的最小值为.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用,涉及到函数的平移、函数的对称性,考查学生数形结合、数学运算的能力,是一道中档题.11、A【解析】

确定函数在定义域内的单调性,计算时的函数值可排除三个选项.【详解】时,函数为减函数,排除B,时,函数也是减函数,排除D,又时,,排除C,只有A可满足.故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,可通过解析式研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等等排除,可通过特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势排除,最后剩下的一个即为正确选项.12、A【解析】

先分别判断每一个命题的真假,再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时,直线和直线,即直线为和直线互相垂直,所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件,当直线和直线互相垂直时,,解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.:“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件,故是假命题.当时,没有零点,所以命题是假命题.所以是真命题,是假命题,是假命题,是假命题.故选:.【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系,考查二次函数的图象,考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令,求出展开式中的系数.【详解】二项展开式的通项为令得的系数为故答案为1.【点睛】利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.14、2022【解析】

根据条件先求出数列的通项,利用累加法进行求解即可.【详解】,,,下面求数列的通项,由题意知,,,,,,数列是递增数列,且,的最小值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用,结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键.综合性较强,属于难题.15、24【解析】

先求出每地一名医生,3名护士的选派方法的种数,再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.【详解】解:每地一名医生,3名护士的选派方法的种数有,若甲乙两名护士到同一地的种数有,则甲乙两名护士不到同一地的种数有.故答案为:.【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题,正难则反,是基础题.16、【解析】

由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于对称,则点到的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值.【详解】由题,因为与互为反函数,则图象关于对称,设点为,则到直线的距离为,设,则,令,即,所以当时,,即单调递减;当时,,即单调递增,所以,则,所以的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),,;(2).【解析】

(1)利用公式即可求得曲线的极坐标方程;联立直线和曲线的极坐标方程,即可求得交点坐标;(2)设出点坐标的参数形式,将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.【详解】(1)曲线的极坐标方程:联立,得,又因为都满足两方程,故两曲线的交点为,.(2)易知,直线.设点,则点到直线的距离(其中).面积的最大值为.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化,涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题,属综合中档题.18、(1)列联表见解析,有;(2)分布列见解析,,.【解析】

(1)由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数,可得列联表.根据列联表计算的值,结合参考临界值表可得到结论;(2)从该校高一学生中随机抽取1人,求出该人为“文科方向”的概率.由题意,求出分布列,根据公式求出期望和方差.【详解】(1)由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为,在之间的学生人数为,所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男8030110女405090总计12080200又,所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人,则该人为“文科方向”的概率为.依题意知,所以(),所以的分布列为0123P所以期望,方差.【点睛】本题考查独立性检验,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,属于中档题.19、见解析【解析】

(1)设,则点到轴的距离为,因为圆被轴截得的弦长为,所以,又,所以,化简可得,所以曲线的标准方程为.(2)设,,因为直线的斜率,所以可设直线的方程为,由及,消去可得,所以,,所以.设线段的中点为,点的纵坐标为,则,,所以直线的斜率为,所以,所以,所以.易得圆心到直线的距离,由圆经过点,可得,所以,整理可得,解得或,所以或,又,所以.20、(1)0.98;可用线性回归模型拟合.(2)【解析】

(1)根据题目提供的数据求出,代入相关系数公式求出,根据的大小来确定结果;(2)求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率,发现它们相同,那么经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,服从二项分布,利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解:(1)由题意可知,,由公式,,∴与的关系可用线性回归模型拟合;(2)药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为,,,由题意,,.【点睛】本题考查相关系数的求解,考查二项分布的期望,是中档题.21、(1)当时,无极值;当时,极小值为;(2).【解析】

(1)求导,对参数进行分类讨论,即可容易求得函数的极值;(2)构造函数,两次求导,根据函数单调性,由恒成立问题求

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