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文档简介

2025届山东省招远市第一中学数学高三第一学期期末检测试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是()A. B.C. D.2.复数满足,则()A. B. C. D.3.如图,四边形为平行四边形,为中点,为的三等分点(靠近)若,则的值为()A. B. C. D.4.函数()的图象的大致形状是()A. B. C. D.5.已知命题p:直线a∥b,且b⊂平面α,则a∥α;命题q:直线l⊥平面α,任意直线m⊂α,则l⊥m.下列命题为真命题的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)6.已知函数,若关于的方程恰好有3个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.复数(为虚数单位),则的共轭复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8.函数在的图象大致为()A. B.C. D.9.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. B. C. D.10.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.11.函数图象的大致形状是()A. B.C. D.12.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为()A.1 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.己知双曲线的左、右焦点分别为,直线是双曲线过第一、三象限的渐近线,记直线的倾斜角为,直线,,垂足为,若在双曲线上,则双曲线的离心率为_______14.三个小朋友之间送礼物,约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),则三人都收到礼物的概率为______.15.给出下列等式:,,,…请从中归纳出第个等式:______.16.设为抛物线的焦点,为上互相不重合的三点,且、、成等差数列,若线段的垂直平分线与轴交于,则的坐标为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,求的最小值.18.(12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,,,,底面,且,为的中点.(1)证明:;(2)设点是线段上的动点,当直线与直线所成的角最小时,求三棱锥的体积.19.(12分)已知函数,设为的导数,.(1)求,;(2)猜想的表达式,并证明你的结论.20.(12分)在中,角的对边分别为,且,.(1)求的值;(2)若求的面积.21.(12分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.22.(10分)已知函数,曲线在点处的切线方程为求a,b的值;证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大,它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选D.2、C【解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解:,故选:C【点睛】本题考查复数除法运算,考查复数的模,考查计算能力,属于基础题.3、D【解析】

使用不同方法用表示出,结合平面向量的基本定理列出方程解出.【详解】解:,又解得,所以故选:D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义,属于基础题.4、C【解析】

对x分类讨论,去掉绝对值,即可作出图象.【详解】故选C.【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.5、C【解析】

首先判断出为假命题、为真命题,然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性,判断出正确选项.【详解】根据线面平行的判定,我们易得命题若直线,直线平面,则直线平面或直线在平面内,命题为假命题;根据线面垂直的定义,我们易得命题若直线平面,则若直线与平面内的任意直线都垂直,命题为真命题.故:A命题“”为假命题;B命题“”为假命题;C命题“”为真命题;D命题“”为假命题.故选:C.【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断,考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断,属于基础题.6、D【解析】

讨论,,三种情况,求导得到单调区间,画出函数图像,根据图像得到答案.【详解】当时,,故,函数在上单调递增,在上单调递减,且;当时,;当时,,,函数单调递减;如图所示画出函数图像,则,故.故选:.【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.7、C【解析】

由复数除法求出,写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析:,,对应点为,在第三象限.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,复数的几何意义.掌握复数除法法则是解题关键.8、B【解析】

先考虑奇偶性,再考虑特殊值,用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数,排除C,D;,排除A.故选:B.【点睛】本题考查函数图象的判断,属于常考题.9、D【解析】

可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出∠CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.10、A【解析】

在中,设,,,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,,,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中,设,,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,则,所以,,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、、,为线段上的一点,则存在实数使得,,设,,则,,,,,消去得,,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.11、B【解析】

判断函数的奇偶性,可排除A、C,再判断函数在区间上函数值与的大小,即可得出答案.【详解】解:因为,所以,所以函数是奇函数,可排除A、C;又当,,可排除D;故选:B.【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像,属于中档题.12、A【解析】

设,因为,得到,利用直线的斜率公式,得到,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,抛物线的焦点坐标为,设,因为,即线段的中点,所以,所以直线的斜率,当且仅当,即时等号成立,所以直线的斜率的最大值为1.故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用,直线的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由,则,所以点,因为,可得,点坐标化简为,代入双曲线的方程求解.【详解】设,则,即,解得,则,所以,即,代入双曲线的方程可得,所以所以解得.故答案为:【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,及三角恒等变换,还考查了运算求解的能力和数形结合的思想,属于中档题.14、【解析】

基本事件总数,三人都收到礼物包含的基本事件个数.由此能求出三人都收到礼物的概率.【详解】三个小朋友之间准备送礼物,约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),基本事件总数,三人都收到礼物包含的基本事件个数.则三人都收到礼物的概率.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力,属于基础题.15、【解析】

通过已知的三个等式,找出规律,归纳出第个等式即可.【详解】解:因为:,,,等式的右边系数是2,且角是等比数列,公比为,则角满足:第个等式中的角,所以;故答案为:.【点睛】本题主要考查归纳推理,注意已知表达式的特征是解题的关键,属于中档题.16、或【解析】

设出三点的坐标,结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.【详解】抛物线的准线方程为:,设,由抛物线的定义可知:,,,因为、、成等差数列,所以有,所以,因为线段的垂直平分线与轴交于,所以,因此有,化简整理得:或.若,由可知;,这与已知矛盾,故舍去;若,所以有,因此.故答案为:或【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用,考查了等差数列的性质,考查了数学运算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

讨论和的情况,然后再分对称轴和区间之间的关系,最后求出最小值【详解】当时,,它在上是减函数故函数的最小值为当时,函数的图象思维对称轴方程为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为综上,【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题。18、(1)见解析;(2).【解析】

(1)要证明,只需证明平面即可;(2)以C为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法求,并求其最大值从而确定出使问题得到解决.【详解】(1)连结AC、AE,由已知,四边形ABCE为正方形,则①,因为底面,则②,由①②知平面,所以.(2)以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设,,则,所以,设,则,所以当,即时,取最大值,从而取最小值,即直线与直线所成的角最小,此时,则,因为,,则平面,从而M到平面的距离,所以.【点睛】本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积,考查的内容较多,计算量较大,解决此类问题最关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.19、,;,证明见解析【解析】

对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;根据中,的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.【详解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用数学归纳法证明:①当时,成立,②假设时,猜想成立即当时,当时,猜想成立由①②对成立【点睛】本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.20、(1)3(2)78【解析】试题分析:(1)由两角和差公式得到,由三角形中的数值关系得到,进而求得数值;(2)由三角形的三个角的关系得到,再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.解析:(1)在中,由,得为锐角,所以,所以,所以.(2)在三角形中,由,所以,由,由正弦定理,得,所以的面积.21、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析【解析】

运用数学归纳法证明即可得到结果化简,运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【详解】(Ⅰ)数学归纳法证明时,①当时,成立;②当时,假设成立,则时所以时,成立综上①②可知,时,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【点睛】本题考查了数列的综合,运用数学归纳法证明不等式的成立,结合已知条件进行化简求出化简后的结果,利用放缩法求出不等式,然后两边同时取对数再进行证明,本题较为困难。22、(1);(2)见解析【解析】分析:第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上,从而建立关于的等量关系式,从而求得结果;第二问可以有两种方法,一是将不等式转化,构造新函数,利用导数研究函数的最值,从而求得结果,二是利用中间量来完成,这样利用不等式的传递性来完成,再者这种方法可以简化运算.详解:(1)解:,由题意有,

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