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文档简介
2025届北京科技大学附属中学高一数学第一学期期末预测试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.若是三角形的一个内角,且,则三角形的形状为()A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定2.函数(且)的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最大值为A. B.C. D.3.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍,则与最接近的是(当较小时,)A.1.24 B.1.25C.1.26 D.1.274.若是的一个内角,且,则的值为A. B.C. D.5.平行四边形中,,,,点满足,则A.1 B.C.4 D.6.在正方体AC1中,AA1与B1D所成角的余弦值是()A. B.C. D.7.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,且,则下列说法正确的是A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则8.等边三角形ABC的边长为1,则()A. B.C. D.9.设函数的定义域为.则“在上严格递增”是“在上严格递增”的()条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要10.已知集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有2个元素,则()A.k≥4 B.k>4C.k≥8 D.k>8二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.直线3x+2y+5=0在x轴上的截距为_____.12.已知扇形的弧长为,且半径为,则扇形的面积是__________.13.某种商品在第天的销售价格(单位:元)为,第x天的销售量(单位:件)为,则第14天该商品的销售收入为________元,在这30天中,该商品日销售收入的最大值为________元.14.已知函数,则函数的零点个数为__________15.已知,则函数的最大值是__________16.已知,则________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知,且(1)求的值;(2)求的值.18.已知四棱锥P-ABCD的体积为,其三视图如图所示,其中正视图为等腰三角形,侧视图为直角三角形,俯视图是直角梯形.(1)求正视图的面积;(2)求四棱锥P-ABCD的侧面积.19.已知函数为奇函数.(1)求的值;(2)判断并证明在的单调性.20.已知,,全集.(1)求和;(2)已知非空集合,若,求实数的取值范围.21.某市郊区有一加油站,2018年初汽油的存储量为50吨,计划从年初起每周初均购进汽油吨,以满足城区内和城外汽车用油需求,已知城外汽车用油每周5吨;城区内汽车用油前个周需求量吨与的函数关系式为,为常数,且前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨.(1)试写出第个周结束时,汽油存储量(吨)与的函数关系式;(2)要使16个周内每周按计划购进汽油之后,加油站总能满足城区内和城外的需求,且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨,试确定的取值范围.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】已知式平方后可判断为正判断的正负,从而判断三角形形状【详解】解:∵,∴,∵是三角形的一个内角,则,∴,∴为钝角,∴这个三角形为钝角三角形.故选:A2、D【解析】∵由得,∴函数(且)的图像恒过定点,∵点在直线上,∴,∵,当且仅当,即时取等号,∴,∴最大值为,故选D【名师点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误3、C【解析】根据题意,代值计算,即可得,再结合参考公式,即可估算出结果.【详解】根据题意可得:可得,解得,根据参考公式可得,故与最接近的是.故选:C.【点睛】本题考查对数运算,以及数据的估算,属基础题.4、D【解析】是的一个内角,,又,所以有,故本题的正确选项为D.考点:三角函数诱导公式的运用.5、B【解析】选取,为基向量,将,用基向量表示后,再利用平面向量数量积的运算法则求解数量积.【详解】,,,故选B【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算,属中档题.向量的运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和).6、A【解析】画出图象如下图所示,直线与所成的角为,其余弦值为.故选A.7、A【解析】本道题目分别结合平面与平面平行判定与性质,平面与平面平行垂直判定与性质,即可得出答案.【详解】A选项,结合一条直线与一平面垂直,则过该直线的平面垂直于这个平面,故正确;B选项,平面垂直,则位于两平面的直线不一定垂直,故B错误;C选项,可能平行于与相交线,故错误;D选项,m与n可能异面,故错误【点睛】本道题目考查了平面与平面平行判定与性质,平面与平面平行垂直判定与性质,发挥空间想象能力,找出选项的漏洞,即可.8、A【解析】直接利用向量的数量积定义进行运算,即可得到答案;详解】,故选:A9、A【解析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数在上严格递增,对任意的、且,,由不等式的性质可得,即,所以,在上严格递增,所以,“在上严格递增”“在上严格递增”;若在上严格递增,不妨取,则函数在上严格递增,但函数在上严格递减,所以,“在上严格递增”“在上严格递增”.因此,“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件.故选:A.10、D【解析】首先确定集合A,由此得到log2k>3,即可求k的取值范围.【详解】∵集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有2个元素,∴A={2,3},则log2k>3,可得k>8.故选:D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】直接令,即可求出【详解】解:对直线令,得可得直线在轴上截距是,故答案:【点睛】本题主要考查截距的定义,需要熟练掌握,属于基础题12、##【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.【详解】扇形面积.故答案为:.13、①.448②.600【解析】销售价格与销售量相乘即得收入,对分段函数,可分段求出最大值,然后比较【详解】由题意可得(元),即第14天该商品的销售收入为448元.销售收入,,即,.当时,,故当时,y取最大值,,当时,易知,故当时,该商品日销售收入最大,最大值为600元.故答案为:448;600.【点睛】本题考查分段函数模型的应用.根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法14、3【解析】由,得,作出y=f(x),的图象,由图象可知共有3个交点,故函数的零点个数为3故答案为:315、【解析】由函数变形为,再由基本不等式求得,从而有,即可得到答案.【详解】∵函数∴由基本不等式得,当且仅当,即时取等号.∴函数的最大值是故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用,.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).16、【解析】将未知角化为已知角,结合三角恒等变换公式化简即可.【详解】解:因为,所以.故答案为:.【点睛】三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)7(2)【解析】(1)根据题意求得,然后利用两角和的正切公式即可得出答案;(2)利用诱导公式及二倍角的余弦公式,结合平方关系化弦为切计算即可得解.【小问1详解】解:由已知得,或,∴或,又∵,∴或,又∵,∴,∴,∴;【小问2详解】解:.18、(1);(2)【解析】(1)根据四棱锥的体积得PA=,进而得正视图的面积;(2)过A作AE∥CD交BC于E,连接PE,确定四个侧面积面积S△PAB,S△PAD,S△PCD,S△PBC求和即可.试题解析:(1)如图所示四棱锥P-ABCD的高为PA,底面积为S=·CD=×1=∴四棱锥P-ABCD的体积V四棱锥P-ABCD=S·PA=×·PA=,∴PA=∴正视图的面积为S=×2×=.(2)如图所示,过A作AE∥CD交BC于E,连接PE.根据三视图可知,E是BC的中点,且BE=CE=1,AE=CD=1,且BC⊥AE,AB=又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,PA⊥DC,PD=,∴BC⊥面PAE,∴BC⊥PE,又DC⊥AD,∴DC⊥面PAD,∴DC⊥PD,且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE,∴PE2=PA2+AE2=3.∴PE=.∴四棱锥P-ABCD的侧面积为S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=··+··1+·1·+·2·=.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.19、(1)(2)在上单调递增,在上单调递减,证明过程见解析.(1)【解析】(1)根据奇函数的性质和定义进行求解即可;(2)根据函数的单调性的定义进行判断证明即可.【小问1详解】因为是奇函数,所以,因为,所以是奇函数,因此;【小问2详解】在上单调递增,在上单调递减,证明如下:设是上的任意两个实数,且,,当时,,所以在上单调递增,当时,,所以在上单调递减.20、(1)(2)【解析】(1)求得集合,根据集合的交集、并集和补集的运算,即可求解;(2)由,所以,结合集合的包含关系,即可求解.【详解】(1)由题意,集合,因为集合,则,所以,.(2)由题意,因为,所以,又因为,,所以,即实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集和补集的运算,以及利用集合的包含关系求解参数问题,其中解答中熟记集合的基本运算,以及合理利用集合的包含关系求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.21、(1)(2)【解析】(1)根据题意前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨,得,;(2)每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨,故,
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